羅震

【摘要】掌握數(shù)學概念是學習數(shù)學的基礎.概念教學是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象等學科核心素養(yǎng)的重要方式.APOS理論能有效指導數(shù)學概念的教學.本文基于APOS理論進行的教學設計，較好地促進了學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的達成.

【關鍵詞】APOS理論;圓的標準方程;教學設計

2017年版的普通高中數(shù)學課程標準強調(diào)課堂教學應以人為本，教師要轉(zhuǎn)變角色和教學行為，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，引導學生用數(shù)學的視角深度思考、厘清數(shù)學概念的來龍去脈，凸顯教學的生成性.美國數(shù)學家Dubinsky等人提出的APOS理論的四個發(fā)展階段（操作Action、過程Process、對象Object、圖示Schema）從認知心理學視角上揭示了學生進行數(shù)學概念學習的心理全過程.運用APOS理論進行數(shù)學概念教學有助于學生在教學情境中加深對數(shù)學概念的理解、自主建構知識體系，有利于學生掌握概念的本質(zhì)內(nèi)涵.本文基于此理論進行了“圓的標準方程”的教學設計.

1 教學設計分析

1.1 教材分析

1.1.1 教學內(nèi)容

本節(jié)的教學內(nèi)容是人教A版普通高中教科書《數(shù)學》選擇性必修第一冊第二章2.4.1圓的標準方程，探討在平面直角坐標系中確定圓的基本幾何要素，并使用坐標表示這些幾何要素，進而得到圓上動點的坐標所滿足的關系式，建立圓的標準方程.

1.1.2 在教材中的地位與作用

教材安排在直線和圓錐曲線之間學習圓的有關知識，意在讓學生進一步熟悉坐標法，為學生以后學習三大圓錐曲線做準備.

1.2 學情分析

本節(jié)內(nèi)容對高中的學生來說，入門不難，但這節(jié)課需要學生構建幾何、代數(shù)之間的橋梁，運用代數(shù)方法研究圓的性質(zhì).

1.3 教學目標

知識與技能目標：會用定義推導圓的標準方程;熟悉圓的標準方程的特點和求法;準確地確定點和圓的位置關系.

過程與方法目標：創(chuàng)設問題情境，重點講解、變式辨析、歸納小結，激發(fā)學生思維，使學生能用坐標法、待定系數(shù)法和數(shù)形結合思想去解決圓的有關問題.

情感態(tài)度與價值觀目標：通過學習本節(jié)知識，引導學生進行有深度的思考和交流討論，用代數(shù)方法解決一些有關圓的簡單的實際問題，促成學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算等數(shù)學學科核心素養(yǎng)的實現(xiàn).

1.4 學習重點、難點

重點：圓的標準方程的求法;

難點：圓的標準方程的應用.

2 教學設計

2.1 操作（Action）階段：創(chuàng)設情境，感知圓

情境1：教師讓學生看幾張生活中的圓圖案：摩天輪、奧運五環(huán)等，問學生在初中，圓的定義是怎樣的.

情境2：教師讓學生自己動手畫圓.

師引入數(shù)學文化“墨子、古希臘歐幾里得關于圓的定義”，讓學生了解人們對圓的認識過程，感悟數(shù)學的文化價值.

2.2 過程（Process）階段：探究新知，建構圓的定義

問題：類比在平面直角坐標系中確定一條直線的幾何要素，你們知道確定圓需要幾個要素嗎？這些要素能否推導出圓的方程？

2.3 對象（Object）階段：建構對象，通過圓的定義推導出圓的標準方程

2.3.1 探究圓的標準方程

問題1：在平面直角坐標系中，已知圓心A的坐標為（a，b），則半徑為r的圓的方程是什么？如何推導？

（1）建系設點.

教師請學生在黑板上畫出直角坐標系（強調(diào)僅就一般情況推導）.設圓上任一點M坐標為（x，y）.

（2）寫點集.

根據(jù)定義，圓就是集合P={M||MA|=r}.

（3）列方程.

由兩點間的距離公式得：（x-a）2+（y-b）2=r.

（4）化簡方程.

將上式兩邊平方得： （x-a）2+（y-b）2=r2. （1）

教師讓學生從正反兩方面來解釋點坐標與方程（1）的關系，繼而給出圓的標準方程的定義.

問題2：此方程展開后有什么特點？當原點為圓心時，此方程變?yōu)槭裁矗?/p>

師小結：圓的位置和大小需要圓心和半徑分別確定，所以確定了a，b，r三個量且r>0，圓的方程就確定了.即確定圓的方程必須具備三個獨立的條件，利用待定系數(shù)法即可確定a，b，r.

2.3.2 鞏固練習

（1）說出下列圓的圓心坐標和半徑.

①（x-3）2+（y+2）2=4;

②（x+4）2+（y-2）2=7;

③x2+（y+1）2=16;

④2x2+2y2=8.

（2）寫出下列各圓的標準方程.

①圓心在原點，半徑是4;

②圓心為C（-3，4），半徑是5;

③圓心為C（-8，3），且經(jīng)過點M（-5，-1）.

2.3.3 探究點與圓的位置關系

例1 已知P 1（4，9），P 2（6，3）兩點，求以線段P 1P 2為直徑的圓的標準方程，并判斷點M 1（6，9），M 2（3，3），M 3（5，3）與圓的位置關系.

思考 怎樣判斷點M 0（x 0，y 0）在圓內(nèi)，圓上，還是圓外呢？（學生小結）

變式1 已知M（5，7）和圓 （x-2）2+（y+3）2=25，則點M在（? ）.

A.圓內(nèi)B.圓上

C.圓外D.無法確定

變式2 點P（m，5）與圓x2+y2=25的位置關系為（ ?）.

A.在圓外B.在圓上

C.在圓內(nèi)D.在圓上或圓外

變式3 以點（2，-1）為圓心且與直線3x-4y+5=0相切的圓的方程為（? ）.

A.（x-2）2+（y+1）2=3

B.（x+2）2+（y-1）2=3

C.（x-2）2+（y+1）2=9

D.（x+2）2+（y-1）2=9

2.4 圖示（Schema）階段：鞏固提高

例2 一圓過三點A（-1，5），B（5，5），C（6，-2），求它的標準方程.

學生小組合作交流并小結及思考是否還有其他方法.

例3 已知圓C經(jīng)過原點和點A（2，1），且圓心在直線l：x-2y-1=0上，求此圓的標準方程.

教師通過例題示范和變式使學生加深對概念的理解，學生通過鞏固提高練習銜接了概念所蘊含的內(nèi)在知識點之間的聯(lián)系，也即通過多次的APOS循環(huán)過程螺旋上升建構出圓的標準方程的心理圖示.

本課小結及作業(yè)略.

3 教學設計反思

教學中，教師要引導，學生要自主建構.

APOS理論闡述了教師引導學生經(jīng)過操作（Action）階段內(nèi)化到過程（Process）階段，然后壓縮到對象（Object）階段，最后順應到圖示（Schema）階段.學生通過對新知識的探索、發(fā)現(xiàn)，達到對所學新知識本質(zhì)的自主建構、反思和遷移，厘清問題本質(zhì)，掌握概念內(nèi)涵，最終順利解決問題.

在Action階段，教師聯(lián)系實際生活創(chuàng)設適當?shù)膯栴}情境，讓學生感知圓的美和認識圓的歷史.

在Process階段，教師類比直線，挖掘和利用學生已有的經(jīng)驗，引導學生從數(shù)學的角度去發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學的語言和方法思考如何解決問題，使學生思維水平提高.

在Object階段，教師采用小組討論、合作交流、學生展示等形式，以問題為引，引導學生運用坐標法探究圓的方程，發(fā)揮學生的主體性、主動性.

在Schema階段，教師通過例題示范、變式練習，從代數(shù)和幾何角度探索一題多解，數(shù)形結合，引導學生總結出新知識的有關規(guī)律，在腦海中構成新的認知圖示.這個階段不是一蹴而就的，不是線性的，是需要反復調(diào)整、反思、對比、檢驗的，是不間斷地把單個認知淺表圖示依照邏輯和概念間的內(nèi)在聯(lián)系，通過知識線串聯(lián)而構成知識面，螺旋上升到更高的層次，最終把知識面依照其邏輯因果等關系組成有深度的多個圖示.

4 結論

綜上所述，基于APOS理論指導的教學設計，遵循了學生的認知規(guī)律，強調(diào)了學生的主動參與，凸顯了學生的主體性.它一方面使教師能夠預設有效的教學途徑啟發(fā)學生思考，關注學生生成性的發(fā)展;另一方面實施基于生活、內(nèi)含問題的教學情境的互動式、探究式的數(shù)學概念教學，賦予知識以鮮活的背景，通過教師價值引領、鼓勵和倡導合作交流，幫助學生自主建構新知識，在把握知識來龍去脈的過程中獲得情感的體驗，促進了學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的有效生成.

【參考文獻】

[1]吳統(tǒng)勝.基于APOS理論的概念教學設計研究與實踐：以“分層抽樣”教學設計為例[J].中學數(shù)學研究（華南師范大學），2020（08）：6-10.

[2]戚艷興.基于核心素養(yǎng)與APOS理論的高中生函數(shù)的概念學習進階研究[D].上海：華東師范大學，2020.