李佳彬

【摘要】在新課程標(biāo)準(zhǔn)背景下，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科思維以及核心素養(yǎng)已經(jīng)成為教育者們的普遍共識.數(shù)學(xué)是義務(wù)教育階段的基礎(chǔ)性學(xué)科，也是學(xué)生們學(xué)習(xí)高階數(shù)學(xué)知識的前提.教師在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的過程中，探索提高數(shù)學(xué)解題質(zhì)量的方法極具重要意義.下文將重點(diǎn)介紹轉(zhuǎn)化思想、逆向思維類比思想、函數(shù)方程思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，以提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，以供參考.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);解題策略;實(shí)施路徑

一、轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

（一）轉(zhuǎn)化思想在數(shù)形轉(zhuǎn)化之間的應(yīng)用，讓抽象試題直觀化

數(shù)與形一直都是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，初中階段的學(xué)習(xí)為后續(xù)進(jìn)行高階學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).數(shù)形轉(zhuǎn)化思想能讓抽象思維與形象思維無縫結(jié)合，利用“以數(shù)解形”以及“以形助數(shù)”的方式讓抽象問題直觀化，為學(xué)生掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)奠定基礎(chǔ)，同時(shí)也能夠幫助學(xué)生厘清解題思路，提高解題的針對性以及準(zhǔn)確性[1].

例1如果a的絕對值為3，那么a的值為多少？

解析按照數(shù)形轉(zhuǎn)化思想，該題可以通過數(shù)軸解決.結(jié)合數(shù)軸，學(xué)生對絕對值的概念會更加清晰.隨后教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生按照此邏輯解下面例題：在坐標(biāo)（x，4）中，如果x的取值分別為0、1、2、3、4、-4、-3、-2、-1，那么其對應(yīng)的點(diǎn)都在同一直線上嗎？所得直線和x軸存在怎樣關(guān)系？此題乍看較為抽象，但是我們依照題意將對應(yīng)的點(diǎn)標(biāo)在坐標(biāo)系中，這一抽象問題也迎刃而解了.

（二）轉(zhuǎn)化思想在函數(shù)和方程之間的應(yīng)用，化繁為簡

新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：學(xué)生應(yīng)該具備解答簡單函數(shù)以及方程式的能力.由于方程以及函數(shù)性質(zhì)較為復(fù)雜，學(xué)生在解此類題目時(shí)往往會出現(xiàn)明顯錯(cuò)誤.所以教師在引導(dǎo)學(xué)生解此類題目時(shí)，應(yīng)該運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將函數(shù)和方程相互轉(zhuǎn)化，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想的能力.

例2已知一次函數(shù)y=-x+2與反比例函數(shù)y=-8x相交于A、B兩點(diǎn)，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo).

解析根據(jù)題設(shè)條件，可做如下轉(zhuǎn)化：

由于兩個(gè)函數(shù)圖像相交于A、B兩點(diǎn)，這意味著相交點(diǎn)A、B同時(shí)位于兩個(gè)函數(shù)上，因此可以聯(lián)立方程組，最終求解得到兩個(gè)相交點(diǎn)的坐標(biāo).這個(gè)過程意味著可以將函數(shù)轉(zhuǎn)化成為解方程組，即y=-x+2和y=-8x，通過解二元一次方程組得到對應(yīng)的坐標(biāo).

二、逆向思維在初中解題中的應(yīng)用

逆向思維又被稱作反向思維，其核心在于做傳統(tǒng)方式相反的思考.逆向思維的明顯特點(diǎn)為新穎性、普遍性以及批判性，這一數(shù)學(xué)思維方式廣泛存在于日常生活以及初中教學(xué)之中.在實(shí)踐工作中如果慣性思維無法解決實(shí)際問題，我們就可以利用逆向思維拓展解題思路，此方法可幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率[2].

（一）利用逆向思維，讓解題過程更加便捷化

在初中階段，數(shù)學(xué)知識間的關(guān)聯(lián)性逐步加深，這使得習(xí)題的難度明顯提高.如果學(xué)生在解題時(shí)使用常規(guī)解題思路受挫，就可以利用逆向思維嘗試尋找解決問題的有效方法.

例3請計(jì)算1+2+22+23+…+2n的和.

解析很明顯，如果學(xué)生按照傳統(tǒng)方式依次計(jì)算，在短時(shí)間并不會得出結(jié)果，此時(shí)可以借助逆向思維假設(shè)S=1+2+22+23+…+2n，如果等式兩邊同時(shí)乘一個(gè)相同數(shù)，那么原等式保持不變.所以，等式兩邊都乘以2，那么有2S=2+22+23+…+2n+2n+1，再將S=1+2+22+23+…+2n代入上式中即可快速求解.

（二）借助逆向思維推導(dǎo)結(jié)論

在處理幾何問題的過程中，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)往往并不能通過已知條件得出結(jié)論，導(dǎo)致解題極為困難.在這種情況下，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生借助逆向思維化解正面無法推進(jìn)的情形，再從結(jié)論回推逐步分析與研究，最終證明結(jié)論.

例4如下圖，在△ABC中，E和D分別是AC邊上的點(diǎn)，已知AD=AB，∠DBC=∠DBE，證明：AD2=AC·AE.

解析按常規(guī)思路并結(jié)合題干條件，較難找到AD、AC以及AE之間的關(guān)系，所以我們可嘗試?yán)媚嫦蛩季S進(jìn)行突破.從求證的結(jié)論AD2=AC·AE出發(fā)，將其轉(zhuǎn)變成比例關(guān)系A(chǔ)CAD=ADAE，從題設(shè)條件AD=AB可得ACAB=ABAE.由此可見，只要證明△ABC與△AEB為相似三角形即可，而根據(jù)題設(shè)條件，△ABC與△AEB相似的證明條件較為充分，所以最終可以證明AD2=AC·AE.

（三）如果正面解題困難，也可以利用反例加以解決

根據(jù)傳統(tǒng)的解題流程，學(xué)生在審題過程中通常會應(yīng)用常規(guī)、固有的思維模式，然而這一思維方式在解答部分題型時(shí)無從下手，所以在正面解題困難重重的情況下，我們可以利用舉反例的方式來改變解題流程.

三、類比思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

類比思想主要指的是學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識的過程中，調(diào)用在特征或性質(zhì)上具有一定相似度的已學(xué)知識，將相似點(diǎn)作為學(xué)習(xí)新知識的切入點(diǎn)，進(jìn)而加深對新知識的理解.在學(xué)習(xí)和應(yīng)用新知識的過程中，學(xué)生往往無法快速解決新題型或者題目變形，不能做到觸類旁通，所以教師引導(dǎo)學(xué)生利用類比推理的方式將復(fù)雜的、全新的問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐褜W(xué)知識點(diǎn)，提升學(xué)生的解題效率.

例如，類比推理法在初中數(shù)學(xué)折疊問題中的應(yīng)用.教師可以借助問題鏈的方式，引導(dǎo)學(xué)生圍繞問題及題型進(jìn)行類比分析，從根本上把握解決此類問題的規(guī)律和方法.

例5如圖3，四邊形ABCD為長方形，E是CD上的一點(diǎn)，連接AE，并把長方形沿著AE對折，其頂點(diǎn)D恰好落在BC上的F點(diǎn)，其中AB、CE的長度分別為8和3，請計(jì)算△ABF的面積.

例6在長方形ABCD中，CD和BC的長度分別為1和3，將此長方形沿著對角線BD對折，頂點(diǎn)C恰好落在C′處，請計(jì)算△BED的面積.

解析教師需引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真研究以上兩道例題，并讓其找出其中的相似之處.教師可向?qū)W生提出以下問題，幫助其思考和對比：

（1）在求三角形面積過程中，運(yùn)用到了哪些定理和方法？

（2）結(jié)合求解過程中，你能總結(jié)出哪些規(guī)律？

（3）根據(jù)上述總結(jié)和分析，你能解決下面的例題嗎？

例7四邊形ABCD為矩形，其中AB、BC長度分別為6和8，現(xiàn)在把ABCD沿著CE對折，對折后矩形頂點(diǎn)D落在AC上的F點(diǎn).請計(jì)算EF的長度以及梯形ABCE的面積.

學(xué)生帶著問題，利用類比思想以及歸納法可知，解決例5、例6，主要應(yīng)用了方程、軸對稱、相似三角形以及勾股定理等知識點(diǎn)，其解題邏輯為借助勾股定理建立方程.學(xué)生吸收這一邏輯后，通過類比方法就可以較為快速地解決例7的問題.所以利用類比思想歸納解題邏輯對于提升學(xué)生解題效率具有明顯幫助.

四、函數(shù)方程思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

函數(shù)思想與方程思想在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有較大比重，學(xué)生掌握并運(yùn)用函數(shù)和方程思想有助于進(jìn)一步提高解題效率，并且也是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的前提.函數(shù)思想體現(xiàn)了自然界中數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，最終形成數(shù)學(xué)模型[3].初中階段函數(shù)模型類型包括一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)以及銳角三角函數(shù)等.而方程思想則是將題干信息轉(zhuǎn)變?yōu)閷?yīng)的數(shù)學(xué)語言，最終形成數(shù)學(xué)模型，例如方程、不等式或者混合式等，初中階段，設(shè)立未知數(shù)以及列方程都體現(xiàn)了方程思想.

五、結(jié)束語

綜上所述，在培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的大背景下，教師必須注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng).初中數(shù)學(xué)知識關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)，學(xué)生解題存在一定難度，影響解題效率.因此需要教師在教學(xué)中有針對性地滲透和應(yīng)用函數(shù)方程思想、類比思想、轉(zhuǎn)化思想以及逆向思維，只有這樣才能提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力[4].

【參考文獻(xiàn)】

[1]謝娟.淺談如何在解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的審題能力[J].科學(xué)咨詢（教育科研），2020（07）：262.

[2]李惠娟.初中數(shù)學(xué)解題中隱含條件及應(yīng)用分析[J].課程教育研究，2020（19）：143-144.

[3]章青欽.分析函數(shù)思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用路徑[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（09）：140.

[4]范小建.初中數(shù)學(xué)解題思路與方法應(yīng)用探討[J].才智，2020（13）：193.