過曉偉

【摘要】數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)特性之一，它可以讓學(xué)生積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗，更好地理解數(shù)學(xué)概念、方法、體系，養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣，能主動地用數(shù)學(xué)抽象的思維方式去解決問題.小學(xué)階段則更多通過抽象概括、符號應(yīng)用和模型思想來培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為今后數(shù)學(xué)抽象打下基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)抽象;數(shù)學(xué)思維

抽象是數(shù)學(xué)的特性之一，是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程.可以講，沒有抽象就沒有數(shù)學(xué)的研究對象，數(shù)學(xué)的推理和應(yīng)用都離不開抽象.小學(xué)階段的數(shù)學(xué)抽象，更多表現(xiàn)為概括、推理、符號應(yīng)用和模型建立.如果我們能把握住學(xué)生學(xué)習(xí)的規(guī)律和數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)特點，加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，就能讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識之間的層次性和結(jié)構(gòu)規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展.以下以蘇教版小學(xué)三年級上冊“長方形面積計算”為例，談一談數(shù)學(xué)抽象在小學(xué)階段的滲透與應(yīng)用.

一、經(jīng)歷過程，由繁至簡，發(fā)揮表象作用

經(jīng)歷是數(shù)學(xué)活動的過程性目標(biāo)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識、技能形成過程，能更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).幾何形體在生活中比較常見，但是對于幾何形體的內(nèi)在認(rèn)識，學(xué)生由于思維特點和實踐經(jīng)驗的不足，不能對相關(guān)知識進(jìn)行清晰全面的了解.因此，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中參與觀察、操作、比較、概括等形象的實踐活動，特別是經(jīng)歷知識概念的抽象過程，就能厘清知識的內(nèi)在的聯(lián)系，為進(jìn)一步抽象提供基礎(chǔ)，同時能架起由具體感知到抽象思維的橋梁.

【片段1】

用“面積單位”直接度量長方形的面積

談話：給你一些1平方厘米的小正方形，你能想辦法量出長方形的面積嗎？看誰想的辦法最巧妙.

學(xué)生操作，教師巡視.

交流：你量得的面積是多少？你是怎么看出來的？

預(yù)設(shè)：（1）滿鋪量.（2）半鋪量.（3）簡鋪量.

小結(jié)：像這樣量一量，我們就能知道每排擺4個，擺了這樣的3排.一共有12個1平方厘米的小正方形，面積就是12平方厘米.

（4）一個面積單位度量.

引導(dǎo)：如果只用1個小正方形，你還能量出它的面積嗎？（見圖1、圖2）

指出：用1個小正方形量也能知道每排能擺幾個1平方厘米，能擺幾排，就能知道一共有多少個1平方厘米，也就知道了長方形的面積.

教師讓學(xué)生在豐富的實例中經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程，便于幫助學(xué)生獲得充分的感知，為抽象提供幫助.以上的實踐操作中，學(xué)生經(jīng)歷了用多個面積單位到用1個面積單位度量的過程，在腦中建立了12個面積單位滿鋪的表象，獲得了“數(shù)—算”的經(jīng)驗.學(xué)生在經(jīng)歷多個小正方形的鋪設(shè)的過程中，通過觀察逐漸獲得小正方形數(shù)量總數(shù)就等于長方形的面積，腦中也建立了“求長方形的面積就是求出小正方形的個數(shù)即可”的想法.接著又經(jīng)歷了只用1個面積單位度量的過程，又對度量的數(shù)量計算方法進(jìn)行由繁到簡的自我優(yōu)化，經(jīng)歷了過程，發(fā)展了思維，為接下來的實物抽取過程打下基礎(chǔ).幾何概念的學(xué)習(xí)，經(jīng)歷有思維的學(xué)習(xí)過程十分重要，只有讓學(xué)生在觀察、分析、思考中留下深刻的印象，問題才會在進(jìn)一步抽取共性知識的過程中迎刃而解.

二、把握時機(jī)，由表及里，適時抽象概括

學(xué)生經(jīng)歷了豐富的實踐活動，已經(jīng)獲得了一定的感性認(rèn)識，但他們只是通過原有經(jīng)驗與表面觀察獲得的感性認(rèn)識，還是比較粗糙和膚淺的.教師可以適時進(jìn)行理性思維引導(dǎo)，由表及里，去粗存精，引導(dǎo)學(xué)生從中選取某種本質(zhì)屬性，加工、提煉，這種過程就是抽象概括的過程.抽象概括的過程，實際上就是把感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識的過程.

【片段2】

用“尺”間接計量長方形的面積

引導(dǎo)：如果一個小正方形都沒有，你還能知道每排擺幾個，擺幾排嗎？

（1）出示長方形，追問：你怎么知道一共擺了多少個1平方厘米的小正方形呢？

（2）長方形變化：現(xiàn)在長方形的面積是多少呢？說出思考過程.

（3）長方形繼續(xù)變化：現(xiàn)在，長方形的面積是多少？

（4）再變：長方形的面積是多少？

（5）談話：接著變，還能再變嗎？長方形的面積要怎樣求？（板書：長×寬）（見圖3、圖4）

史寧中教授認(rèn)為，抽象可以在感性具體與理性具體之間搭建思維的橋梁.以上教師首先通過“如果一個小正方形都沒有，你還能知道每排擺幾個，擺幾排嗎？”這個核心問題及連續(xù)幾個變化的問題，讓學(xué)生反思先前的操作過程，特別是計算小正方形的方法，引發(fā)“每排幾個，擺幾排”與長方形的長與寬之間的關(guān)系，通過討論，學(xué)生能概括出“每排幾個”等同于“長”的長度，“擺幾排”等同于“寬”的長度，由此螺旋上升為計算長方形的面積不再需要擺和數(shù)小正方形了，只要丈量長與寬的長度，計算便知.在這充滿思維的情境中，適時進(jìn)行概括，不僅讓學(xué)生經(jīng)歷了長方形的大小變化與尺子刻度之間存在的內(nèi)在關(guān)系，而且能讓學(xué)生在對具體圖形中充分感知，形成表象后，及時地進(jìn)行概括，學(xué)生很快便能抽取出長方形面積計算的方法和條件.充分感知，把握時機(jī)，及時抽象，能使學(xué)生的感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，提高學(xué)生的思維能力.

三、感悟?qū)哟?，由淺入深，建立數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)抽象能力不僅能使學(xué)生厘清各數(shù)學(xué)因素之間的相互聯(lián)系、核心和本質(zhì)，還能培養(yǎng)學(xué)生把具體問題抽象成數(shù)學(xué)模型的能力.對于深度思維的培養(yǎng)，學(xué)生需要經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的過程，體會數(shù)學(xué)知識之間的層次性和結(jié)構(gòu)規(guī)律，教師還需要讓學(xué)生找到數(shù)學(xué)概念的原型，感受到數(shù)學(xué)知識本身的形式化、模式化的特點，逐步建立初步的“模型思想”.

【片段3】

概括提煉，生發(fā)計算公式

小結(jié)：看來，不管長方形怎么變，知道了長，就知道每排能擺幾個面積單位，知道了寬，就知道了能擺幾排，用長乘寬就能算出長方形中包含了多少個面積單位，長方形的面積就是多少.這就是長方形的面積計算公式.（板書：長方形的面積=長×寬）.

如果用a表示它的長，用b表示它的寬，S表示長方形的面積，這個公式還能寫成S=ab.（板書：S=ab）

皮亞諾指出：“數(shù)學(xué)中的一切進(jìn)步都是引入符號后的反響.”數(shù)學(xué)其實就是一個符號化、形式化的系統(tǒng).以上豐富的操作活動與具有思維性的數(shù)學(xué)活動讓學(xué)生對長方形的面積計算方法逐步清晰起來，他們已能用語言描述面積的計算方法.教師相機(jī)引入字母，學(xué)生便順理成章地獲得了長方形面積字母計算公式其實是一個能描述長方形面積與長、寬之間內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式.這個用符號建立的表達(dá)式不僅能表達(dá)數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，而且它將現(xiàn)實的數(shù)學(xué)問題簡化、抽象為形式化的符號表達(dá)，簡明易記.教師通過此公式的得出過程進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維能力.

四、應(yīng)時變式，由此及彼，提升數(shù)學(xué)思維

豐富的抽象過程能提高學(xué)生的抽象能力，而形式多樣的變化習(xí)題更能培養(yǎng)學(xué)生去偽存真、捕捉共同特征的抽象素養(yǎng).利用抽象方法做的數(shù)學(xué)設(shè)計，學(xué)生在初步了解概念、計算公式后，還需要由此及彼、由表及里地深化，適時運(yùn)用變式練習(xí)從不同的角度或以不同的方式去進(jìn)一步認(rèn)識新學(xué)知識的本質(zhì)屬性.在這一過程中，學(xué)生通過探索、交流、發(fā)現(xiàn)，在與新知識的比較、分析中，逐步形成了新的知識結(jié)構(gòu)與體系.

【片段4】

選一選

圖中每個小正方形表示1 cm2，圖形的面積是（ ?）.

辨一辨

出示題目：有一塊長方形草坪，長50米，寬20米.

（1）這塊草坪的面積是多少平方米？

（2）小明沿著草坪的四周走了一圈，他走了多少米？

變一變

（1）設(shè)計一個面積是18平方厘米的長方形.

（2）如果把長方形的長和寬同時乘2，長方形的面積會發(fā)生怎樣的變化呢？

以上教師設(shè)計了三組（條件變化、面積與周長、等積異形）變式題組，學(xué)生抽象思考與討論探究，教師引導(dǎo)、點撥，學(xué)生從而梳理例子中的異同，提取概念的本質(zhì)屬性，不僅掌握了解決這一類問題的方法，獲得整體認(rèn)識，而且透過了現(xiàn)象弄清了這類問題的本質(zhì)，對所學(xué)內(nèi)容得到更深層次的理解和認(rèn)識.

數(shù)學(xué)抽象既是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，又是基本的數(shù)學(xué)思想.教師在教學(xué)時，要精心設(shè)計數(shù)學(xué)知識逐步抽象概括的過程，使學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，又從抽象到具體，由直觀現(xiàn)實化抽象到概括化的發(fā)展過程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步構(gòu)建抽象思維，形成抽象思維系統(tǒng)，最終實現(xiàn)抽象思維與具象層次的轉(zhuǎn)化.

【參考文獻(xiàn)】

[1] 王華民，蔡旭林，何英.對核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象”的實踐與認(rèn)識[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2016（9）.

[2]王九紅.數(shù)學(xué)抽象及其對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的價值[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2015（Z2）：4-6.

[3]章建躍.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如何落實在課堂[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2016（3）.

[4]劉娟娟.數(shù)學(xué)抽象及其在教學(xué)中的應(yīng)用[J].教育研究與評論，2012（8）.