顧聰 張建林

摘? 要：本文通過歸納總結(jié)近年來全國大學生數(shù)學建模競賽和中國研究生數(shù)學建模競賽的賽題和方法，結(jié)合筆者多年的數(shù)學建模課程教學與競賽指導經(jīng)驗，探索出了一條將建模競賽案例融入到課堂教學與實驗，引導學生開拓思維，培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的實踐道路，形成了以課程為基礎、實驗為訓練手段、競賽為實踐平臺的三位一體的工程教育創(chuàng)新能力培養(yǎng)模式。

關鍵詞：工程教育? 數(shù)學建模? 創(chuàng)新能力? 案例教學

中圖分類號：G64 ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2021）02（c）-0223-04

Research and Practice of Mathematical Modeling Case Teaching on the Cultivation of Students' Innovation Ability Based on Engineering Education Concept

GU Cong? ZHANG Jianlin

（College of Science， Zhongyuan University of Technology， Zhengzhou， Henan Province， 450007 China）

Abstract：This paper summarizes the contest questions and methods of Chinese College Students Mathematical Modeling Competition and the National Graduate Mathematical Modeling Competition in recent years. Combined with many years of teaching experience in mathematical modeling course and training in mathematical modeling competition， this paper explores the practical way of integrating modeling competition cases into classroom teaching experiments， guiding students to develop their thinking， so as to achieve the goal of applying mathematical modeling case teaching to the cultivation of students' innovation ability and engineering education innovation cultivation.

Key Word： Engineering education; Mathematical modeling; Innovation capability; Case teaching

1? 引言

基于高校傳統(tǒng)的數(shù)學類公共課和專業(yè)課的教學內(nèi)容和目標，教師常?；ù罅康臅r間和精力在理論知識的傳授上，而在實際應用和對學生實踐能力的培養(yǎng)上著墨不夠。而數(shù)學建模本身就是應用數(shù)學的語言和方法形成明確的數(shù)學問題，并用數(shù)學的方法進行求解并檢驗結(jié)果能否說明實際問題、能否進行預測[1]。因此，在數(shù)學建模課程的教學過程中，照著現(xiàn)成的教材照本宣科，或是以傳統(tǒng)數(shù)學課的教學模式，老師一人對著全班數(shù)十人滔滔不絕，顯然是無法適應建模課程的特點的。

社會和企業(yè)發(fā)展需要技術強、綜合素質(zhì)高的應用型人才，而我國高校應用型人才培養(yǎng)模式尚處于研究時期[2]。工程教育理念要求培養(yǎng)的學生富有創(chuàng)新精神和實踐能力，同時有團隊合作與溝通交流能力，能夠在跨學科團隊中承擔團隊成員及負責任的角色，更加強化創(chuàng)新能力培養(yǎng)，努力培育工程科技領域的創(chuàng)新人才[3]。在這一目標上，工程教育理念與數(shù)學建模實踐活動完全契合，數(shù)學建模競賽不僅要求學生具有理論聯(lián)系實際的創(chuàng)新實踐能力，更講求團隊合作精神。

本文筆者在總結(jié)多年的數(shù)學建模課程教學與數(shù)學建模競賽輔導的經(jīng)驗之下，探索出了將建模競賽案例融入課堂教學，引導學生開拓思維，從而達到將數(shù)學建模案例教學用于學生創(chuàng)新能力培養(yǎng)并實現(xiàn)工程教育創(chuàng)新培養(yǎng)目標的實踐道路。

2? 近年數(shù)學建模競賽的題目和方法

數(shù)學建模競賽的全程式和漸進性開展，可以有效開拓大學生的專業(yè)視野，調(diào)動學生的學習主動性，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，提高解決實際問題的能力，全面提升高等教育教學質(zhì)量[4]。全國大學生數(shù)學建模競賽始辦于1992年，迄今已有近30年歷史，已成為全國高校規(guī)模最大的基礎性學科競賽。

從近幾年的大學生數(shù)學建模競賽題目可以看出，A題基本上考察的是學生運用數(shù)學、物理和其他工程學工具建立模型和變成求解的能力;而B題一般來說會側(cè)重于考察學生對于數(shù)據(jù)的收集和統(tǒng)計，進而用建立的模型結(jié)合統(tǒng)計方法加以分析的能力。從2019年起，更是將本科組的題目由兩個增加為3個，多出的C題是以人文、社科（包括經(jīng)管）為背景，以增加題目背景的覆蓋面。

相比本科生競賽而言，研究生競賽的題目則更加多元化，用到的方法也更為復雜，而且大多需要結(jié)合計算機編程甚至智能算法來解決。全國研究生數(shù)學建模競賽的賽題中包含了基因識別、無人機協(xié)同任務規(guī)劃、高速公路質(zhì)量、反導問題、全球變暖等多領域多學科的前沿問題，參加競賽的研究生3人組在4d之內(nèi)也可以做出一些富有價值的結(jié)果，充分體現(xiàn)了數(shù)學建?；顒訉W生的創(chuàng)造性的激發(fā)作用。

無論是大學生還是研究生數(shù)學建模競賽的賽題均呈現(xiàn)出以下特點：

（1）對學生的計算機能力提出了更高的要求，賽題的解決依賴計算機，題目的數(shù)據(jù)較多，模型復雜，手工計算不能完成，需要計算機編程、模擬和以算法形式給出最終結(jié)果;

（2）賽題的開放性增大，一道賽題可用多種解法，開放性還表現(xiàn)在對模型假設和對數(shù)據(jù)處理上;

（3）賽題向大規(guī)模數(shù)據(jù)處理方向發(fā)展，求解算法需要和各類現(xiàn)代算法相融合，越來越多地向大數(shù)據(jù)和人工智能相關領域延伸。

傳統(tǒng)的數(shù)學建模教材多是以不同的建模方法作為章節(jié)，例如微分方程方法、插值擬合方法、線性規(guī)劃方法、回歸分析方法、圖論方法等。學生受到此類教材的影響，遇到問題更多的是套方法，而忽略了方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，限制了創(chuàng)造性的發(fā)散思維。

3? 以數(shù)學建模競賽案例應用于實踐教學

一個典型的數(shù)學建模問題可以分解為如下步驟：（1）根據(jù)問題選擇合適的數(shù)學模型;（2）數(shù)據(jù)的收集與分析;（3）模型的建立與求解;（4）模型的評價與推廣。其中第一步最為關鍵往往也最困難，如何判斷這類問題究竟該選擇怎樣的數(shù)學模型，除了考察學生對模型的掌握廣度，更是需要研讀大量的案例加以歸納總結(jié);數(shù)據(jù)的收集和分析，常常需要借助專業(yè)網(wǎng)站和統(tǒng)計軟件來完成，不僅需要數(shù)據(jù)和文獻的檢索能力，還要掌握一定的統(tǒng)計分析方法;模型的建立是建立在選擇了合適的數(shù)學模型，并掌握了所需要的數(shù)據(jù)基礎上的，而模型的求解需要通過計算機編程實現(xiàn);最后一步模型的評價與推廣，是最容易被忽略的環(huán)節(jié)，但又必不可少，實際上再好的模型都有可待改進的空間，同一類方法也有其他適用來解決的問題。

下面，我們選取幾個典型的數(shù)學建模競賽題目為例，來看如何將競賽案例應用于實踐教學，從而激發(fā)學生的創(chuàng)新能力。

3.1 “互聯(lián)網(wǎng)+”時代的出租車資源配置

搜集相關數(shù)據(jù)，建立數(shù)學模型，研究以下問題：

（1）建立合理的指標，并分析不同時空出租車資源的“供求匹配”程度;

（2）分析各公司的出租車補貼方案是否對“緩解打車難”有幫助;

（3）如果要創(chuàng)建一個新的打車軟件服務平臺，我們應該設計什么樣的補貼方案，并論證其合理性。

在該題目表述中，從關鍵詞“指標”入手，尋找合適的數(shù)學模型。在常用的數(shù)學模型中，涉及到指標選取的包括回歸分析、主成分分析、聚類分析等方法，根據(jù)數(shù)據(jù)特征可做進一步的篩選;其次，補貼方案是否有幫助，這其實也是一個需要選取合適的參數(shù)進行研判的問題，與第一問緊密相連;最后一問則是需要建立在前面兩個問題解決的基礎上，帶有一定的開放性。

在案例教學中，首先通過上述方向?qū)W生加以引導，并采取分小組討論的方式讓學生們展開頭腦風暴，盡可能多的提出該問題可能用到的模型方法和算法;再按照不同的模型方法，學生進行自愿分組，利用周末的時間拿出大綱式的解決方案;然后各組學生各自講解不同的模型方法對于該問題的解決方案，互相交流打分，選出其中最適合解決該問題的模型;其他小組也在此過程中，總結(jié)他們選的模型方法為什么對該問題不適用或者效果不好;最后，由教師向?qū)W生分享與講解優(yōu)秀獲獎建模論文的方式完成該問題的完整實訓過程。

最終被票選出的方案對這個問題得出的結(jié)論是：主要是解決“互聯(lián)網(wǎng)+”時代的出租車資源配置問題，通過主成分分析對不同時空出租車資源的供求匹配進行分類;利用模糊綜合評價說明補貼方案對緩解打車難有幫助;建立多目標優(yōu)化模型，得出新的補貼方案。他們主要用到了3種模型，即主成分分析、模糊綜合評價和多目標優(yōu)化模型。

3.2 小區(qū)開放對道路通行的影響

應用數(shù)學建模的思想與方法解決以下問題：

（1）應用所學知識，選取合適的評價體系，評價開放式的小區(qū)對周邊道路通行的影響;

（2）建立關于車輛通行的數(shù)學模型，來討論研究一下小區(qū)的開放政策對周邊道路通行能力的影響;

（3）小區(qū)開放產(chǎn)生的效果，可能會與小區(qū)的結(jié)構(gòu)以及周邊的道路結(jié)構(gòu)、車流量有關。應用建立的模型，定量比較各類型小區(qū)開放前后對道路通行的影響;

（4）根據(jù)研究的結(jié)果，從交通通行的角度，向城市規(guī)劃和交通管理部門提出你們關于小區(qū)開放的合理化建議。

在題目表述中提取“評價體系”作為關鍵詞，尋找數(shù)學模型，容易想到的模型包括模糊綜合評價、層次分析法、主成分分析等;第二問是在第一問的基礎上，將選取的指標放進建立的模型中，并評估影響;第三問又進一步考察學生收集數(shù)據(jù)和應用模型的能力;最后還要給出政策建議，這種方式在美國大學生數(shù)學建模競賽中更為常見。

在此例的練習中，重點訓練學生的收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)的能力，尤其是在選擇了數(shù)學模型并求解之后，如何對模型的效果進行分析，以及如何在結(jié)果的基礎上給出建議，這實際上是對模型的評價與推廣的進一步延伸。由于小區(qū)的內(nèi)部交通情況數(shù)據(jù)很難獲取，學生們開闊思路想了很多的解決辦法。其中一組優(yōu)秀的學生，利用了元胞自動機模型加上VISSIM仿真軟件來進行仿真，通過模擬數(shù)據(jù)來分析小區(qū)開放的效果。這都是平時理論教學中從未涉及過的方法和軟件，體現(xiàn)了學生在練習中的創(chuàng)新能力。

3.3 “拍照賺錢”任務定價模式的分析

“拍照賺錢”是移動互聯(lián)網(wǎng)下的一種自助式服務模式。用戶下載APP，注冊成為APP的會員，然后從APP上領取需要拍照的任務（比如上超市去檢查某種商品的上架情況），賺取APP對任務所標定的酬金。

根據(jù)題目中給出的已結(jié)束項目的任務數(shù)據(jù)、會員信息數(shù)據(jù)以及一個新的檢查項目任務數(shù)據(jù)，通過分析和建立數(shù)學模型解決以下問題：

（1）研究項目的任務定價規(guī)律，分析任務未完成的原因。

（2）為項目設計新的任務定價方案，并和原方案進行比較。

（3）考慮將一些位置相近的任務聯(lián)合在一起打包發(fā)布，可能因為位置比較集中，導致用戶會爭相選擇。因此對此方案進行相應的修改，使得方案更加合理。

（4）對新項目給出新的任務定價方案，并評價該方案的實施效果。

移動互聯(lián)網(wǎng)下的新興事物，在近幾年的數(shù)學建模競賽中已多有體現(xiàn)，前有共享單車問題，后有滴滴打車問題。這道賽題相比前兩年的題目來說，則更加貼近學生的認知。但此題對于數(shù)據(jù)分析的要求更高，數(shù)據(jù)量大、維度高，首先需要對數(shù)據(jù)進行降維，才可以得出規(guī)律。

在這個問題的練習求解過程中，著重引導學生避免思維定式，不要一看到需要降維，就只能想到主成分分析、因子分析，要積極開拓思維。所以在給學生布置任務時，特別提出要選擇不同的分析方法。最終，在學生完成的解決方案中，欣喜地看到了諸如K-means聚類、支持向量機、熵值法、物元可拓等新穎的方法出現(xiàn)[5-6]。

4? 結(jié)語

我們在基于大量類似上述數(shù)學建模案例教學和實訓中，根據(jù)學生的實際情況，編寫了自己的特色講義，以案例為特色，體現(xiàn)出對案例的思考分析、規(guī)律尋找、模型建立和求解，從中提煉出所涉及的數(shù)學方法，讓學生不僅要了解常用的數(shù)學建模方法，更要掌握如何在實際問題中使用這些方法。

工程教育的培養(yǎng)大綱將工科類畢業(yè)生的能力分為工程基礎知識、個人能力、人際團隊能力和工程系統(tǒng)能力四個層面，大綱要求以綜合的培養(yǎng)方式使學生在這四個層面達到預定目標。為了實現(xiàn)工程教育創(chuàng)新培養(yǎng)目標，針對工科數(shù)學建模課程和實驗體系，強化案例問題的工程性和專業(yè)性，突出實驗教學的設計性和創(chuàng)新性，結(jié)合數(shù)學建模競賽等科技實踐活動，已構(gòu)建形成了以課程為基礎、實驗為訓練手段、競賽為實踐平臺的三位一體的數(shù)學建模創(chuàng)新能力培養(yǎng)模式。

參考文獻

[1] 張麗春.創(chuàng)新驅(qū)動下的數(shù)學建模課程教學改革研究[J]. 創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)理論研究與實踐，2018，1（22）：34-35.

[2] 李東，袁國麟.計算機科學與技術專業(yè)應用型人才培養(yǎng)模式改革探討[J].科技創(chuàng)新導報，2018（2）：149-150.

[3] 姚亦飛，于繁華，李曉寧.工程教育理念下計算機類專業(yè)應用型人才創(chuàng)新能力培養(yǎng)的教學改革探索與實踐[J].長春師范大學學報，2018，37（2）：113-119.

[4] 張敏.淺析學科競賽對培養(yǎng)大學生創(chuàng)新能力的積極作用[J].科技資訊，2018，16（7）：139.

[5] 宋長明，高冉.基于數(shù)學建模競賽的研究生創(chuàng)新能力培養(yǎng)研究與實踐[J].鄭州師范教育，2019（6）：61-64.

[6] 楊蕾，林紅，陳華，等.工程教育背景下數(shù)學建模創(chuàng)新能力培養(yǎng)體系[J].教育教學論壇，2019，403（9）：120-121.