李宗達(dá)

【摘要】解三角形是高考必考內(nèi)容，難度中等。高考前的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，提高復(fù)習(xí)效率。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);深度學(xué)習(xí);新高考備考復(fù)習(xí);解三角形

2021年廣東省正式開始新高考，數(shù)學(xué)不再分文理科。歷史方向考生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，每次考試數(shù)學(xué)成績平均分比物理方向考生低二十分左右。新高考背景下，如何針對(duì)性實(shí)行數(shù)學(xué)高考備考？高考前的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要在有限的時(shí)間內(nèi)達(dá)到高效的備考，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，歸納反思，提升效率，錘煉思維。深度學(xué)習(xí)并不是一味加深難度，而是堅(jiān)持基礎(chǔ)性，掌握方法，歸納題型，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高數(shù)學(xué)能力。下面，本文以高考復(fù)習(xí)解三角形的微設(shè)計(jì)為例，探討怎樣進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。

解三角形是高考的必考內(nèi)容。此題型難度中等，經(jīng)常被放在解答題第一題，然而入易出難，層層設(shè)卡，學(xué)生一旦卡在某一層，比如解不出第二問，往往對(duì)接下來的問題解答造成不利影響。近期模擬考試解三角形得分率在60%，下面通過解三角形基礎(chǔ)知識(shí)的整理反思，結(jié)合高考題型和模擬試題組成微專題的深度學(xué)習(xí)，整體把握教學(xué)內(nèi)容，融會(huì)貫通結(jié)合新舊知識(shí)，經(jīng)歷解三角形知識(shí)的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建自己的知識(shí)系統(tǒng)，體會(huì)科學(xué)的思考方法，抓住知識(shí)的本質(zhì)特征，學(xué)會(huì)遷移應(yīng)用，進(jìn)一步提高考生在解三角形的得分率。

一、三角形內(nèi)角和

此定理是初中的教學(xué)內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)之一，但是，往往在解題中，容易被學(xué)生忽略。高中的內(nèi)角和定理經(jīng)常和誘導(dǎo)公式結(jié)合。比如：

在△ABC中，sin（A+B）=sin（π-C）=sinC引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)其余的公式，如：sin（A+B）=-cosC，tan（A+B）=tanC，。

例1：在斜三角形ABC中，證明tanA+tanB+tanC=

tanAtanBtanC。

思路探求：在斜三角形中，sin（A+B）=tan（π-C）=-tanC

=-tanC，tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC移向即可得證。

反思：本題利用內(nèi)角和，誘導(dǎo)公式及正切公式展開變形。

二、三角形的面積

三角形的面積公式：△ABC的面積s=aha=ab sinC=ac sinB=bc sinA。

方法點(diǎn)睛：三角形面積公式的結(jié)構(gòu)是兩邊夾角。已知三角形兩邊及夾角的大小，就能求面積。

例2：已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，且bc sin2A+20cos（B+C）=0，求△ABC面積s。

思路探求：在△ABC中，A+B+C =π，∴B+C=π-A。

反思：利用三角形中的誘導(dǎo)公式和二倍角公式將已知條件展開，出現(xiàn)了三角形面積的整體形式。所以，公式并不只是簡單代入應(yīng)用，應(yīng)該利用已知條件轉(zhuǎn)化變形，深入思考，總體考慮，進(jìn)行解答。

三、正弦定理

利用面積公式s=ab sinC=ac sinB，消公因式得bsinC=csinB，轉(zhuǎn)化為，同理得到正弦定理：，其中2R為三角形外接圓的直徑。

注：即使在高考復(fù)習(xí)中，知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)也要注意來龍去脈，定理的內(nèi)含和外延，這里也可以引導(dǎo)學(xué)生用三角形的外接圓證明正弦定理，引導(dǎo)學(xué)生回歸課本教材，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生整理正弦定理的變式。

思路1：

…;角與邊可以用正弦定理互相轉(zhuǎn)化。

思路2：正弦定理結(jié)合三角形面積公式得：

。

思路3：△ABC中sin（A+B）=sinC，展開得sinAcosB+

cosAsinB=sinC，再由正弦定理轉(zhuǎn)化為acosB+bcosA=C。同理得到a=ccosB+bcosC，b=ccosA+acosC，這就是射影定理。

反思：射影定理因?yàn)槭÷詭撞剑谛☆}解題中直接應(yīng)用可提高解題速度，但是在解答題中不能直接使用，需要由正弦定理推導(dǎo)。

例3：△ABC中，c=3，a=4則cosC=___

思路：已知邊c，a和角A，先用正弦定理求出sinC，再用平方關(guān)系求cosC。

例4：△ABC中，bcosC=（3a-c）cosB，則sinB___

思路：用射影定理得bcosC+ccosB=a，a=3acosB，a≠0，得cosB=，再用平方關(guān)系得到sinB。用射影定理解三角小題速度很快。

四、余弦定理

如何證明余弦定理？

思路：在△ABC中，，兩邊平方，得a2=b2+c2-2bccosA。

同理得到余弦定理的其它形式，主要應(yīng)用在由兩角夾邊求第三邊，或者已知三邊求角度。

例5：在△ABC中，邊b=3，c=2，cosA=，則a____

思路：已知兩邊夾角，直接應(yīng)用余弦定理求邊。

變式：上題條件若變a=3，求邊b

思路：一樣使用含cosA的余弦定理，得到關(guān)于b的二次方程，解得正根就是邊b，負(fù)根舍去。

例6：（2020年高考全國III卷理數(shù)）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=____

思路：在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，根據(jù)余弦定理：

反思：在解題實(shí)戰(zhàn)中，根據(jù)題目條件，可能多次使用定理解題。

五、最值模型

1.邊之和差的最值

例7：（2020年高考全國II卷理數(shù)）△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC

（1）求A;

（2）若BC=3，求△ABC周長的最大值。

思路：（1）由正弦定理和已知條件得BC2-AC2-AB2=AC·AB，①;由余弦定理得BC2AC2AB2-2AC·ABcosA，②;由①，②得cosA=-.因?yàn)?