高仕林，宋炎侃，，陳 穎，，黃少偉，，于智同，譚鎮(zhèn)東

（1. 清華大學(xué)電機(jī)工程與應(yīng)用電子技術(shù)系，北京市 100084；2. 清華四川能源互聯(lián)網(wǎng)研究院，四川省成都市 610042）

0 引言

傳統(tǒng)的機(jī)電暫態(tài)仿真工具僅針對工頻信號建模，難以分析復(fù)雜暫態(tài)過程［1-2］。電磁暫態(tài)仿真能夠精確模擬系統(tǒng)的各種行為，在現(xiàn)代電力系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛。然而，針對大規(guī)模交直流電網(wǎng)，傳統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真規(guī)模龐大、仿真速度慢，導(dǎo)致暫態(tài)過程分析效率低下［3-4］。而高效、精確的電磁暫態(tài)仿真是大規(guī)模電網(wǎng)規(guī)劃、運(yùn)行和控制的關(guān)鍵支撐技術(shù)，有必要在保證準(zhǔn)確性的前提下，研究高效的電磁暫態(tài)仿真技術(shù)［5-6］。

20 世紀(jì)60 年代，加拿大DOMMEL H W 教授主持開發(fā)了世界首個電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真程序EMTP［7］?；贓MTP 的技術(shù)，各科研機(jī)構(gòu)和企業(yè)開發(fā)了一系列電磁暫態(tài)仿真軟件［8-9］，如PSCAD/EMTDC［10］、實時數(shù)字仿真系統(tǒng)（RTDS）［11］、全數(shù)字電力系統(tǒng)仿真器（ADPSS）［12］等。傳統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真中，受奈奎斯特采樣定律的限制，積分步長所對應(yīng)的采樣頻率一般應(yīng)小于系統(tǒng)最高頻率的10 倍。由于上述程序均對快速變化的電壓、電流的瞬時值進(jìn)行仿真，這使得仿真的步長需取較小值，導(dǎo)致計算效率低。為解決該問題，文獻(xiàn)［13-17］提出了一種移頻電磁暫態(tài)仿真（下文簡稱移頻仿真）方法，首先基于希爾伯特變換構(gòu)造電力系統(tǒng)中電壓、電流信號的復(fù)數(shù)信號，然后對復(fù)數(shù)信號進(jìn)行移頻變換得到復(fù)包絡(luò)信號，并基于復(fù)包絡(luò)構(gòu)造元件的移頻分析方程。復(fù)包絡(luò)信號的頻率遠(yuǎn)小于原信號的頻率。所以，可在不損失精度的前提下增大仿真步長，進(jìn)而實現(xiàn)高效、準(zhǔn)確的電磁暫態(tài)仿真。眾多學(xué)者將移頻仿真方法應(yīng)用于傳輸線［18］、感應(yīng)電機(jī)［19-20］、同步電機(jī)［21-22］、風(fēng)機(jī)［23］、模塊化多電平換流器［24-26］等，建立了上述元件的移頻仿真模型。此外，也有學(xué)者構(gòu)建了基于移頻仿真技術(shù)的仿真平臺，實現(xiàn)了大規(guī)模交流電網(wǎng)的仿真加速［27-29］，可用于交流電網(wǎng)的設(shè)計與運(yùn)行等，推動了移頻仿真技術(shù)的發(fā)展。

移頻仿真技術(shù)符合電磁暫態(tài)仿真的發(fā)展方向，但目前移頻仿真研究仍不完善，在復(fù)數(shù)信號構(gòu)造方式、移頻方法、寬頻信號建模等方面仍存在理論問題。此外，針對移頻仿真中的各步驟，不同文獻(xiàn)采用不同的方法、不同的形式，對各步驟的命名也不同，這容易影響讀者對移頻仿真的理解。因此，對移頻仿真研究中的關(guān)鍵技術(shù)和現(xiàn)存的問題進(jìn)行梳理和分析，具有重要的理論價值和現(xiàn)實意義，也有利于促進(jìn)移頻仿真的發(fā)展。

為此，本文對移頻仿真技術(shù)及其研究現(xiàn)狀進(jìn)行綜述。首先，介紹了移頻仿真的原理。然后，依次梳理了移頻仿真中3 個關(guān)鍵步驟的研究現(xiàn)狀，即復(fù)數(shù)信號構(gòu)造方法及其特點、移頻變換的形式及其特點、不同的仿真模型及其區(qū)別。接著，對移頻電磁暫態(tài)仿真技術(shù)應(yīng)用的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了總結(jié)。最后，討論了目前移頻仿真中仍然存在的問題，為移頻仿真技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展提供參考。

1 移頻仿真原理

交流電網(wǎng)中的電壓和電流信號可用一中心角頻率為ωc的帶通信號x(t)表示。該信號的頻譜是雙邊頻譜，即含有對稱的正頻率和負(fù)頻率2 個部分。為了得到僅含正頻率的信號，構(gòu)造如下形式的復(fù)數(shù)信號xS(t)［13-14］。

式中：t為時間；xT(t)為xS(t)的虛部，是與x(t)正交的信號，可通過對x(t)進(jìn)行某種數(shù)學(xué)變換T(x)得到。

x(t)和xS(t)的頻譜如圖1 所示［14-15］。圖中，X(ω)為x(t)的頻譜，XS(ω)為xS(t)的頻譜。

圖1 原信號與復(fù)數(shù)信號的頻譜Fig.1 Spectra of original signal and complex signal

將上述復(fù)數(shù)信號xS(t)的頻譜向左平移ωc，可以得到頻率集中在0 附近的復(fù)包絡(luò)信號xE(t)。頻譜的平移在時域中可以表示為：

移頻變換前后的信號的頻譜如圖2 所示［23］。由圖可知，復(fù)包絡(luò)信號中所含的最大頻率遠(yuǎn)小于原始實信號，是一個變化緩慢的信號。根據(jù)奈奎斯特采樣定律［14］，在不損失精度的前提下，基于復(fù)包絡(luò)構(gòu)造的電磁暫態(tài)模型在仿真中可支持更大的積分步長，從而極大降低計算量，提升仿真效率［17］。

圖2 復(fù)數(shù)信號和復(fù)包絡(luò)信號的頻譜Fig.2 Spectra of complex signal and complex envolope signal

綜上，移頻仿真的原理可總結(jié)為3 步［17］：①構(gòu)造復(fù)數(shù)信號，即通過數(shù)學(xué)變換將傳統(tǒng)含有雙邊頻譜的電壓、電流實信號無損變換為只含有單邊頻譜的復(fù)數(shù)信號；②移頻變換，即將上述復(fù)數(shù)信號的頻譜向左平移一個工頻，得到變化緩慢的復(fù)包絡(luò)信號；③離散化，即基于復(fù)包絡(luò)信號，建立元件的離散化模型。下面對這3 個部分內(nèi)容的研究進(jìn)展進(jìn)行介紹。

2 復(fù)數(shù)信號的構(gòu)造方法

如前文所述，構(gòu)造xS(t)的虛部信號xT(t)時，需引入變換T(x)。該變換應(yīng)當(dāng)滿足以下性質(zhì)：①T(x) 為線性變換，即T(x+y) =T(x) +T(y)；②T(x) 滿足微分性質(zhì)，即T(dx/dt)=dT(x)/dt。

根據(jù)上述原則，現(xiàn)有文獻(xiàn)中提出了3 種構(gòu)造xT(t) 的數(shù)學(xué)變換T(x)，分別為：希爾伯特變換［13-14］、微分變換［30］和積分變換［31］。下面以電力系統(tǒng)中典型的帶通信號為例，比較3 種復(fù)數(shù)信號構(gòu)造方式的區(qū)別。帶通信號x(t)可以表示為：

式中：ωc=2πfc為角頻率，其中fc為基波頻率；φ(t)為相位角；A(t)為幅值。

分別采用上述3 種構(gòu)造方式構(gòu)造式（3）的復(fù)數(shù)信號，如附錄A 表A1 所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，利用希爾伯特變換構(gòu)造的復(fù)數(shù)信號的頻譜僅含正頻帶［13-14］，而利用微分變換和積分變換構(gòu)造的復(fù)數(shù)信號仍然含有少量的負(fù)頻率分量。

為進(jìn)一步驗證上述結(jié)論，比較了在不同復(fù)數(shù)信號構(gòu)造方式下，式（4）所示的帶通信號對應(yīng)的復(fù)數(shù)信號的頻譜，各信號的頻譜如圖3 所示。圖3（a）為原信號頻譜|X(ω)|，圖3（b）為基于希爾伯特變換的復(fù)數(shù)信號的頻譜|Xsh(ω)|，圖3（c）為基于微分變換的復(fù)數(shù)信號的頻譜|Xsd(ω)|，圖3（d）為基于積分變換的復(fù)數(shù)信號的頻譜|Xsi(ω)|?？梢园l(fā)現(xiàn)，測試結(jié)果與附錄A 表A1 中分析一致。

總之，在相同的步長下，基于上述3 種變換的移頻仿真中，基于希爾伯特變換的移頻仿真的精度較基于另外2 種變換的移頻仿真的精度更高。因為基于微分變換和積分變換生成的復(fù)數(shù)信號中仍含有少量負(fù)頻率分量。移頻后該部分頻率將提升，從而造成精度損失。

3 移頻變換

將第2 章中所構(gòu)造的復(fù)數(shù)信號xS(t)變換為頻率在0 附近的復(fù)包絡(luò)信號的過程稱為移頻變換［17］。該過程可分別用復(fù)數(shù)形式和實數(shù)矩陣形式來實現(xiàn)。

3.1 復(fù)數(shù)形式

在復(fù)數(shù)域下，復(fù)包絡(luò)信號的時域表達(dá)式為［15，17］：

可以發(fā)現(xiàn)，移頻變換的本質(zhì)是將復(fù)數(shù)信號乘以一個旋轉(zhuǎn)信號，進(jìn)而得到頻率在0 Hz 附近的低頻復(fù)包絡(luò)信號。復(fù)包絡(luò)信號的最大頻率小于原始實信號的頻率［15］。所以，基于復(fù)包絡(luò)的電磁暫態(tài)仿真（移頻仿真）可以采用更大的步長。

3.2 矩陣形式

實數(shù)矩陣形式的移頻變換在部分文獻(xiàn)中又被稱為時域坐標(biāo)變換［32-34］。其實際是將式（5）的實部和虛部分離，表示為矩陣形式，如式（6）所示。

圖3 典型帶通信號及其復(fù)數(shù)信號的頻譜Fig.3 Spectrum of typical band signal and its complex signal

其中

3.3 2 種變換形式的比較

由3.1 節(jié)和3.2 節(jié)內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，2 種形式在數(shù)學(xué)上是等價變換，故其精度一致。但在計算時，基于復(fù)數(shù)形式的移頻變換的電磁暫態(tài)仿真的效率比基于矩陣形式移頻變換的仿真效率更高［35］。原因主要有以下2 點。

1）從計算量角度對比

針對一個含有n個節(jié)點的電網(wǎng)，采用復(fù)數(shù)方式的移頻變換時，仿真中每一時步的計算主要為求解一個n維的復(fù)數(shù)節(jié)點電壓方程，其求解時所需的算術(shù)運(yùn)算次數(shù)N1如式（9）所示。采用矩陣方式的移頻變換時，仿真中每一時步的計算則主要為求解一個2n維的實數(shù)節(jié)點電壓方程，其求解時所需的算術(shù)運(yùn)算次數(shù)N2如式（10）所示［36］。需要注意的是，這里所提的算術(shù)運(yùn)算次數(shù)都指實數(shù)加、減、乘、除的次數(shù)。

式中：D表示除法的運(yùn)算次數(shù)；M表示乘法的運(yùn)算次數(shù)；A表示加法或減法的運(yùn)算次數(shù)。

比較式（9）和式（10）可知，在n較大時，基于復(fù)數(shù)形式的移頻變換的電磁暫態(tài)仿真的節(jié)點電壓方程的求解計算量約為基于矩陣形式的移頻變換仿真的節(jié)點電壓方程的求解計算量的1/2。

2）從計算機(jī)實現(xiàn)角度對比

復(fù)數(shù)矩陣中每個元素實部和虛部在內(nèi)存中的存儲是連續(xù)的，這符合CPU 訪存的局部性原理［37］。而采用實數(shù)矩陣形式得到的節(jié)點導(dǎo)納矩陣，其實部和虛部元素的存儲是不連續(xù)的。因此，在單次運(yùn)算中，復(fù)數(shù)矩陣運(yùn)算的緩存命中率更高。故從計算機(jī)實現(xiàn)角度看，復(fù)數(shù)形式的移頻仿真計算效率更高。

利用通用的數(shù)學(xué)求解器KLU［38］對經(jīng)復(fù)數(shù)形式移頻變換和經(jīng)矩陣形式移頻變換后形成的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點方程的求解效率進(jìn)行了測試。不同算例的節(jié)點方程在不同移頻變換形式下的求解效率對比如表1 所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，基于復(fù)數(shù)形式移頻變換的節(jié)點方程的求解效率更高。這也說明，基于復(fù)數(shù)形式移頻變換的仿真效率高于基于矩陣形式移頻變換的仿真效率。

4 離散化仿真模型

在電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真中，電氣元件的動態(tài)過程均可以用微分方程來描述。設(shè)某個元件的微分方程可以表示為［14-15］：

式中：f(t)為x(t)的導(dǎo)數(shù)。

表1 不同變換形式下不同算例的節(jié)點方程求解效率Table 1 Efficiency of solving nodal equations of different cases with different types of transformation

由于第2 章中的3 種變換都滿足微分性質(zhì)，即T(dx/dt) =dT(x)/dt，原信號的正交信號滿足［14-15］：

根據(jù)移頻建模理論，結(jié)合式（11）和式（12），可以通過隱式梯形法離散化建立移頻仿真的不同離散化模型。根據(jù)移頻變換和離散化的先后順序，將移頻仿真中的仿真模型分為4 種，下面分別闡述。

1）根據(jù)式（11）和式（12），可得元件基于復(fù)數(shù)信號的微分方程為：

其中

利用梯形法對式（13）進(jìn)行離散化可得基于復(fù)數(shù)信號的仿真模型（定義為Ⅰ型模型）［14，29］：

式中：Δt為t的變化量。

將式（15）轉(zhuǎn)換為矩陣形式，可以得到矩陣形式下的Ⅰ型仿真模型：

對式（15）或式（16）進(jìn)行計算，即可得到系統(tǒng)的電磁暫態(tài)仿真結(jié)果。

2）將式（15）等號兩邊同時乘以e?jωct，可得一種基于復(fù)包絡(luò)的仿真模型（定義為Ⅱ型模型）：

其中

將式（17）轉(zhuǎn)換為矩陣形式，可得矩陣形式下的Ⅱ型仿真模型。

其中

3）對式（13）進(jìn)行移頻變換，可得元件基于復(fù)包絡(luò)信號的微分方程［14-17］為：

利用隱式梯形法對式（21）進(jìn)行離散化，可得Ⅲ型仿真模型，如式（22）所示。其仿真的信號是電壓、電流的復(fù)包絡(luò)［39-40］。

將式（22）表示為矩陣形式，可得矩陣形式下的Ⅲ型仿真模型［33］為：

4）將式（22）等號兩邊同時乘以ejωct，可得式（24）所示的Ⅳ型仿真模型。Ⅳ型仿真模型是一種基于復(fù)數(shù)信號的仿真模型［14-15］，即

將式（24）表示為矩陣形式，可得矩陣形式下的Ⅳ型仿真模型［41-45］為：

其中

對比上述4 種仿真模型可知，Ⅰ型和Ⅱ型仿真模型之間是等價變換，二者具有相同的仿真精度；Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型之間是等價變換，二者具有相同仿真精度。Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型在本質(zhì)上是先進(jìn)行移頻變換，再進(jìn)行離散化。2 個步驟中，離散化過程會造成仿真精度損失［14］。由于移頻后得到的信號是慢變信號，而對慢變信號進(jìn)行離散化時的精度損失小，故在相同的步長下，Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型的仿真精度將高于Ⅰ型和Ⅱ型模型的仿真精度。

為了驗證上述結(jié)論，分別利用上述4 種模型對圖4 所示的RLC 電路進(jìn)行仿真，并對4 種仿真模型的結(jié)果進(jìn)行對比。圖中：U(t)為電壓源電壓，U(t)=A(t)cos(100πt+2 cos(5πt))，A(t)=220 2 (1+0.1 cos(10πt))；R、L和C分別為電路的電阻、電感和電容，R=20 Ω，L=50 mH，C=5 μF。

圖4 簡單RLC 電路Fig.4 Simple RLC circuit

在步長為1 ms 的情況下，分別利用上述4 種仿真模型對圖4 所示電路進(jìn)行仿真，并對比不同模型計算得到的電感電流，如圖5 所示。圖中：iRef為1 μs步長下EMTP［46］仿真得到的電感電流，將其作為參考結(jié)果；iType1、iType2、iType3、iType4分別為Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型、Ⅳ型仿真模型的結(jié)果。

圖5 不同仿真模型計算得到的電感電流Fig.5 Inductor currents calculated by different simulation models

由圖5 可知，Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型的精度相同，Ⅰ型和Ⅱ型仿真模型的精度相同，Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型的精度高于Ⅰ型和Ⅱ型仿真模型，具體原因見前文分析。

為了進(jìn)一步分析4 種仿真模型的精度，對比了不同步長下，4 種模型仿真在圖4 所示電路下得到的電感電流的相對二范數(shù)累積誤差，如表2 所示。各種模型結(jié)果的相對二范數(shù)累積誤差ei定義為［47-49］：

式中：xRef為EMTP 仿真得到的參考結(jié)果；xTypei（i=1，2，3，4）為上述4 種模型的仿真結(jié)果。

表2 不同步長下的各種仿真模型得到的電感電流與準(zhǔn)確結(jié)果之間的相對2 范數(shù)累積誤差Table 2 Relative 2-norm cumulative error between inductor current obtained by different simulation models with different step sizes and accurate results

由表2 可知，在相同步長下，Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型的精度一致，Ⅰ型和Ⅱ型仿真模型的精度一致，且Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型的精度高于Ⅰ型和Ⅱ型仿真模型，進(jìn)一步驗證了前文理論分析的正確性。

在數(shù)值穩(wěn)定性方面，由于4 種模型采用的離散化方法均為隱式梯形法，4 種模型的數(shù)值穩(wěn)定性一致，均為A-穩(wěn)定［8］。移頻仿真中，除了需注意采用的數(shù)值積分方法是否具有A-穩(wěn)定性，還需考慮其是否為L-穩(wěn)定。由于隱式梯形法非L-穩(wěn)定，在系統(tǒng)中發(fā)生變量突變時，移頻仿真中將出現(xiàn)數(shù)值振蕩問題。這與基于隱式梯形法的EMTP 仿真中發(fā)生變量突變時遇到的問題相同，可結(jié)合臨界阻尼調(diào)整技術(shù)或插值技術(shù)對數(shù)值振蕩進(jìn)行抑制［8］。此外，可考慮采用L-穩(wěn)定的數(shù)值積分方法（如二階對角隱式龍格庫塔法［50-51］）對系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行求解。由于該類方法為L-穩(wěn)定，在發(fā)生變量突變時，移頻仿真中不會出現(xiàn)數(shù)值振蕩。

5 移頻仿真技術(shù)的應(yīng)用

關(guān)于移頻仿真技術(shù)的應(yīng)用，現(xiàn)有文獻(xiàn)主要針對如何基于移頻仿真技術(shù)建立電力系統(tǒng)元件的模型展開研究。在旋轉(zhuǎn)電機(jī)的建模方面，文獻(xiàn)［21-22］基于移頻仿真算法建立了同步電機(jī)的電磁暫態(tài)仿真模型；文獻(xiàn)［19-20，39］建立了移頻仿真框架下的感應(yīng)電機(jī)模型；文獻(xiàn)［23，52］分別基于移頻仿真算法建立了雙饋感應(yīng)風(fēng)機(jī)和永磁直驅(qū)風(fēng)機(jī)的模型，設(shè)計了實數(shù)信號和復(fù)數(shù)信號之間的數(shù)據(jù)接口，為其他含電力電子器件系統(tǒng)的移頻仿真模型的建立提供了參考。在傳輸線建模方面，文獻(xiàn)［15］基于移頻仿真算法建立了傳輸線的貝瑞隆模型；文獻(xiàn)［18］基于移頻仿真算法建立了傳輸線的頻率依賴模型，能夠精確描述仿真線路的電磁暫態(tài)過程。在直流換流站建模方面，文獻(xiàn)［43-45］建立了換流站交流側(cè)的移頻仿真模型，并設(shè)計了交流側(cè)和直流側(cè)的數(shù)據(jù)接口，實現(xiàn)了移頻仿真算法和傳統(tǒng)EMTP 算法的混合仿真。其中，直流電網(wǎng)采用EMTP 進(jìn)行仿真。上述研究將移頻技術(shù)應(yīng)用到電力系統(tǒng)的電磁暫態(tài)仿真中，緩解了仿真步長和精度之間的矛盾，提升了仿真的效率，也驗證了移頻仿真技術(shù)的有效性。未來，還需繼續(xù)對電力系統(tǒng)其他設(shè)備（如柔性交流輸電系統(tǒng)（FACTS）、光伏系統(tǒng)）的移頻仿真模型展開研究。

在應(yīng)用方面，除了上述電力系統(tǒng)元件的移頻仿真建模外，部分文獻(xiàn)針對移頻仿真平臺構(gòu)建展開研究。文獻(xiàn)［27-29］介紹了基于移頻仿真技術(shù)的仿真平臺CloudPSS，可應(yīng)用于電網(wǎng)的設(shè)計與運(yùn)行，但其目前僅支持傳統(tǒng)交流電網(wǎng)的仿真。如何對其進(jìn)行擴(kuò)展，使得其支持含新能源、直流等的大規(guī)模交直流電網(wǎng)的仿真值得進(jìn)一步研究。

6 討論分析

6.1 現(xiàn)有的復(fù)構(gòu)造方法存在的問題

6.1.1 微分變換和積分變換的問題

微分變換會放大信號中的高頻分量，使得基于微分變換的移頻仿真在仿真含高頻分量的信號（即含有多個中心頻率，非帶通信號）時易出現(xiàn)精度降低的問題。而積分變換則會放大信號中的低頻分量，基于積分變換的移頻仿真無法精確仿真含低頻分量的信號。即使仿真的信號中不含高頻分量和低頻分量，基于上述2 種變換的移頻仿真方法的精度也比基于希爾伯特變換的移頻仿真方法差。因為基于微分變換和積分變換構(gòu)造的復(fù)數(shù)信號中存在負(fù)頻率分量，移頻后的頻譜中將含有原信號頻率2 倍頻左右的分量，導(dǎo)致仿真誤差被放大。

6.1.2 希爾伯特變換的問題

希爾伯特變換雖然不存在上述問題，但利用其構(gòu)造的復(fù)數(shù)信號仍然具有局限性。希爾伯特變換具有非因果特性［15-17］，信號的希爾伯特變換在t=t0處的值與原信號在t>t0范圍內(nèi)的值有關(guān)。因此無法僅用原信號在t

1）電磁暫態(tài)仿真與移頻仿真的混合仿真問題。如果需要將EMTP 與移頻仿真進(jìn)行混合仿真，需要在每個時步將接口處的EMTP 側(cè)的實數(shù)信號轉(zhuǎn)換為移頻仿真中的復(fù)數(shù)信號。但是，由于希爾伯特變換的非因果性，EMTP 中實數(shù)信號對應(yīng)的希爾伯特變換后的復(fù)數(shù)信號不可知，混合仿真難以實現(xiàn)。

2）移頻仿真過程中，系統(tǒng)中出現(xiàn)開關(guān)等動作時，復(fù)數(shù)信號的實部（原信號）與虛部之間不再滿足希爾伯特變換的關(guān)系。由于希爾伯特變換存在非因果性，導(dǎo)致復(fù)數(shù)信號虛部的值與實部t>t0的值相關(guān)，而t>t0的值無法預(yù)知。下面以開關(guān)的建模為例，對此進(jìn)行進(jìn)一步說明。

開關(guān)可以表示為可變電阻，可變電阻的數(shù)學(xué)模型可以表示為［8］：

式中：G(t)表示電阻；i(t)表示電阻上流過的電流；u(t)表示電阻的電壓。

目前，移頻仿真均不考慮G(t)的變化，直接構(gòu)造i(t)和u(t)的復(fù)數(shù)信號為：

式中：iS(t)和uS(t)為復(fù)數(shù)信號。

實際上，開關(guān)元件的電阻G(t)可視為一個階躍函數(shù)，其頻譜G(ω)連續(xù)，范圍為(?∞，+∞)，如圖6 所示。式（29）的變換忽略了信號G(t)中比u(t)更高頻的部分，這會造成精度損失。

圖6 階躍函數(shù)示意圖及其頻譜Fig.6 Schematic diagram of step function and its spectrum

6.1.3 帶通信號假設(shè)失效問題

現(xiàn)有基于希爾伯特變換的移頻仿真在推導(dǎo)的過程中，都假設(shè)信號是形如式（3）的帶通信號［14-17］。在這個前提下，由于希爾伯特變換具有調(diào)制特性，原信號經(jīng)希爾伯特變換后的信號容易求得。根據(jù)希爾伯特變換的調(diào)制特性，直接對原信號中的高頻分量部分進(jìn)行希爾伯特變換即可得到所需復(fù)數(shù)信號的虛部。但該簡化的前提是A（t）和φ（t）均為低頻信號?，F(xiàn)有移頻仿真均忽略了這一假設(shè)。無論A（t）和φ（t）中是否含高頻分量，皆按上述方式構(gòu)造復(fù)數(shù)信號。在含高頻分量時，這種復(fù)數(shù)信號的構(gòu)造方式已不是準(zhǔn)確的希爾伯特變換，文中將其稱為“偽希爾伯特變換”。值得注意的是，基于“偽希爾伯特變換”的移頻仿真的準(zhǔn)確性依然很高。下面對此進(jìn)行分析。

事實上，容易發(fā)現(xiàn)基于“偽希爾伯特變換”的復(fù)數(shù)信號的最大頻率與基于希爾伯特變換的復(fù)數(shù)信號的最大頻率一樣，只是基于“偽希爾伯特變換”的復(fù)數(shù)信號含有負(fù)頻率分量。當(dāng)原信號含有頻率較高的分量時，其頻率范圍很寬，移頻變換過程中對頻譜移動50 Hz 或60 Hz，對頻譜的影響很小。所以，相同步長下，基于希爾伯特變換和“偽希爾伯特變換”的仿真結(jié)果很接近。如果移頻頻率選取得較大時，基于“偽希爾伯特變換”的移頻仿真的精度相較基于希爾伯特變換的移頻仿真的差距較大，這是因為基于“偽希爾伯特變換”的復(fù)數(shù)信號的負(fù)頻率分量將變?yōu)楸仍盘栕罡哳l率更高的頻率的分量。根據(jù)奈奎斯特采樣定律和數(shù)值積分方法誤差理論［8］可知，其仿真精度將會下降。

6.2 復(fù)數(shù)信號的構(gòu)造與移頻變換間的解耦特性

根據(jù)6.1 節(jié)的分析可以發(fā)現(xiàn)，復(fù)數(shù)信號可以通過多種不同的數(shù)學(xué)變換來構(gòu)造。無論以何種方式構(gòu)造復(fù)數(shù)信號，都可以進(jìn)行移頻變換，并進(jìn)行移頻仿真。事實上，復(fù)數(shù)信號的構(gòu)造與移頻變換二者解耦，復(fù)數(shù)信號的構(gòu)造方式并不影響移頻變換的實現(xiàn)。甚至直接對原信號進(jìn)行移頻變換也可以得到一種移頻仿真模型，但這樣的結(jié)果卻是需要采用比EMTP 仿真更小的仿真步長才能實現(xiàn)精確仿真。另外，移頻變換時頻譜平移頻率的大小與復(fù)數(shù)信號的構(gòu)造方式也無關(guān)。

不同復(fù)數(shù)信號構(gòu)造方式的區(qū)別在于：利用不同方式構(gòu)造的復(fù)數(shù)信號經(jīng)移頻變換后得到的復(fù)數(shù)包絡(luò)信號在仿真過程中的精度不一致。若復(fù)數(shù)信號構(gòu)造的方式不佳，將會影響仿真結(jié)果的精度。

7 移頻仿真的下一步研究重點及建議

考慮本文討論的移頻仿真的原理和應(yīng)用問題，下面對移頻仿真技術(shù)及其應(yīng)用的下一步研究重點進(jìn)行總結(jié)。

7.1 復(fù)數(shù)信號構(gòu)造方法方面

由于現(xiàn)有的復(fù)數(shù)信號的構(gòu)造方法都不完美，更加靈活且普適的復(fù)數(shù)信號構(gòu)造方法是未來的研究重點。尤其是如何建立具有因果性的復(fù)數(shù)信號的虛部，進(jìn)而對電力系統(tǒng)中廣泛存在的非線性元件進(jìn)行精確建模，是未來復(fù)數(shù)信號構(gòu)造研究的關(guān)鍵。微分變換和積分變換具有因果性［15-17］，但基于其移頻仿真的準(zhǔn)確性不足；基于希爾伯特變換的移頻仿真準(zhǔn)確性高，但其又不具有因果性。在下一步研究中，可以考慮不同復(fù)數(shù)信號構(gòu)建方式混合使用策略，并評估其數(shù)值準(zhǔn)確性，進(jìn)而提出兼顧因果性和準(zhǔn)確性的復(fù)數(shù)信號通用構(gòu)建方法。

7.2 時空協(xié)調(diào)的移頻參數(shù)選擇方法方面

文中討論的移頻仿真技術(shù)針對電壓、電流為窄帶信號的交流系統(tǒng)。但由于直流電網(wǎng)等的接入，實際電網(wǎng)往往存在諧波，且不同區(qū)域電網(wǎng)也可能存在不同時間尺度的信號，這限制了單一移頻參數(shù)在實際電網(wǎng)仿真中的適用性。因此，未來需關(guān)注如何將移頻仿真技術(shù)擴(kuò)展到寬頻、多頻段信號的仿真［53-54］，需要分析移頻參數(shù)與誤差之間的關(guān)系，分析如何為不同的信號選擇合適的移頻參數(shù)，進(jìn)而形成兼顧仿真精度和計算效率的移頻仿真方法。具體實施時，可對不同區(qū)域動態(tài)過程時間尺度進(jìn)行分析，優(yōu)化選擇分區(qū)對應(yīng)的移頻參數(shù)。在仿真過程中，可以利用遞歸離散傅里葉變換等技術(shù)對移頻仿真中信號的頻率進(jìn)行檢測，根據(jù)信號的頻率分布對移頻參數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化。

7.3 大規(guī)模電力系統(tǒng)仿真的應(yīng)用方面

為了使移頻仿真技術(shù)能夠應(yīng)用于大規(guī)模交直流電網(wǎng)的仿真，除上述的移頻參數(shù)選擇問題外，還亟須解決下列問題。

1）由于移頻仿真僅適用于交流電網(wǎng)的仿真，在仿真大規(guī)模交直流電網(wǎng)時，需與EMTP 聯(lián)合仿真［26，29］，直流電網(wǎng)利用EMTP 方法進(jìn)行仿真。這要求準(zhǔn)確設(shè)計交流電網(wǎng)的移頻仿真、直流系統(tǒng)和新能源系統(tǒng)的EMTP 仿真之間的數(shù)據(jù)接口。值得注意的是，移頻仿真不會破壞原EMTP 的仿真框架，其實際是對EMTP 仿真的補(bǔ)充，移頻仿真在仿真交流電網(wǎng)時，能夠在保證精度的前提下，極大提升仿真的效率。

2）在移頻仿真中，電氣系統(tǒng)使用的信號為復(fù)數(shù)信號，控制系統(tǒng)使用的信號為實數(shù)信號，因此需要準(zhǔn)確設(shè)計控制系統(tǒng)模型和電氣系統(tǒng)模型之間的數(shù)據(jù)接口［23］。

3）由于系統(tǒng)的規(guī)模龐大，在程序?qū)崿F(xiàn)時，傳統(tǒng)的串行實現(xiàn)方法難以達(dá)到高效仿真的要求，需要考慮如何進(jìn)行并行加速。一方面，可以利用多分區(qū)多速率移頻仿真方法進(jìn)行粗粒度并行加速；另一方面，可以利用GPU 等設(shè)備實現(xiàn)每個分區(qū)仿真的細(xì)粒度并行加速，可以基于分層有向圖等技術(shù)設(shè)計完全基于GPU 的移頻仿真算法［55-56］。

7.4 移頻仿真技術(shù)的應(yīng)用方面

除了需要研究電力系統(tǒng)設(shè)備的移頻仿真模型外，還需加快構(gòu)建移頻仿真軟件平臺。針對移頻仿真的研究已超過10 年，但仍未見在工業(yè)中廣泛應(yīng)用。因此，如何進(jìn)行產(chǎn)研結(jié)合，設(shè)計移頻建模仿真軟件平臺，并將該技術(shù)應(yīng)用于電力系統(tǒng)的暫態(tài)分析、安全性校驗等領(lǐng)域，也是重要的研究方向。在具體實施過程中，還需考慮計算機(jī)實現(xiàn)層面問題，解決諸如復(fù)數(shù)矩陣計算加速等難題，進(jìn)一步提升仿真效率。具體的，可以考慮采用高效的數(shù)學(xué)求解器（如KLU、NICSLU）對系統(tǒng)的節(jié)點方程等進(jìn)行求解。

8 結(jié)語

本文詳細(xì)梳理和分析了移頻仿真的關(guān)鍵技術(shù)，包括復(fù)數(shù)信號的構(gòu)造、移頻變換的實現(xiàn)、仿真模型的建立，對比了各關(guān)鍵步驟中不同方法之間的區(qū)別和聯(lián)系，討論了未來移頻仿真研究的方向和重點。通過分析，可以得到如下結(jié)論。

1）移頻仿真中，復(fù)數(shù)信號的構(gòu)造與移頻變換之間相互解耦，互不影響。但不同的復(fù)數(shù)信號構(gòu)造方式的仿真精度將會有區(qū)別。

2）復(fù)數(shù)形式的移頻變換與矩陣形式的移頻變換是等價的，二者精度一致，但復(fù)數(shù)形式的移頻變換模型的計算效率更高。因此，建議在計算機(jī)實現(xiàn)時采用復(fù)數(shù)形式的移頻變換。

3）根據(jù)移頻變換和離散化的先后順序不同，總結(jié)了4 類移頻仿真模型。其中，Ⅰ型和Ⅱ型仿真模型的精度與傳統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真模型一致；Ⅲ型和Ⅳ型仿真模型的精度一致，高于Ⅰ型和Ⅱ型仿真模型，為常用的移頻仿真模型。

4）在應(yīng)用方面，基于移頻仿真理論的交流系統(tǒng)建模與仿真已經(jīng)較為成熟。已有研究和實際應(yīng)用表明，移頻仿真技術(shù)可用于大規(guī)模交流系統(tǒng)的電磁暫態(tài)仿真［27-29］，提升大規(guī)模交流系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真的效率。

未來，關(guān)于移頻仿真技術(shù)，還需針對以下方向繼續(xù)研究。

1）復(fù)數(shù)信號的構(gòu)造是移頻仿真的關(guān)鍵研究方向之一，尤其是如何利用具有非因果性的數(shù)學(xué)變換建立復(fù)數(shù)信號的虛部值得關(guān)注。

2）目前，移頻仿真技術(shù)主要針對含窄帶信號的交流系統(tǒng)，未來需關(guān)注如何將移頻仿真技術(shù)擴(kuò)展到含寬頻、多頻段信號的交直流混聯(lián)系統(tǒng)的仿真，分析如何為不同的信號選擇合適的移頻參數(shù)，形成兼顧仿真精度和計算效率的移頻仿真方法。

3）盡管移頻仿真效率較高，但在仿真大規(guī)模系統(tǒng)時，仍需考慮進(jìn)一步加速，例如研究基于并行計算的移頻仿真技術(shù)。

4）為了實現(xiàn)移頻仿真技術(shù)在工業(yè)中的應(yīng)用，除了需要研究電力系統(tǒng)設(shè)備的移頻仿真模型外，還亟須加快構(gòu)建移頻仿真軟件平臺。

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