劉福英

【摘要】數(shù)學(xué)基本思想是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的“四基”之一，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思想中重要的思想方法。它可以把抽象的知識(shí)具體化，讓數(shù)學(xué)知識(shí)的呈現(xiàn)更符合學(xué)生的年齡特征。在小學(xué)計(jì)算教學(xué)中利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以讓運(yùn)算的意義、算理、算法更直觀、更形象。

【關(guān)鍵詞】計(jì)算教學(xué);數(shù)形結(jié)合;以形解數(shù);以形說理;以形助數(shù)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出了“四基”的學(xué)習(xí)目標(biāo)，數(shù)學(xué)基本思想也是其中一項(xiàng)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中比較常見的數(shù)學(xué)思想有：數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、統(tǒng)計(jì)思想和模型思想等。其中，數(shù)形結(jié)合既是一種數(shù)學(xué)思想，也是一種解決問題的方法，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用比較廣泛，尤其對(duì)于教師在計(jì)算教學(xué)中遇到的“部分學(xué)生對(duì)運(yùn)算意義理解不深、對(duì)算理似懂非懂，面對(duì)同一類題型，時(shí)而會(huì)算，時(shí)而不會(huì)算”等情況，提供了一個(gè)很好的解決問題的辦法。下面筆者就如何在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想談?wù)剛€(gè)人的做法。

一、以形解數(shù)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)乘法分配律意義的理解

“以形解數(shù)”，是指通過直觀具體的圖形來解析情境中“數(shù)”的意義，是一種讓知識(shí)更貼合學(xué)生的認(rèn)知水平，同時(shí)又更有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解的教學(xué)方法。在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，運(yùn)算律的運(yùn)用貫穿于整個(gè)小學(xué)階段始終，為整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算帶來了極大的方便。小學(xué)階段中的運(yùn)算律主要有加法交換律及結(jié)合律、乘法交換律、結(jié)合律及分配律。而在這些運(yùn)算律當(dāng)中，學(xué)生最難掌握的則是乘法分配律，究其原因主要有兩個(gè)：一是乘法分配律比較抽象，教師在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，只是簡單地把它當(dāng)成計(jì)算課來教，沒有讓學(xué)生深入理解乘法分配律的意義，致使學(xué)生對(duì)乘法分配律的理解只是停留在運(yùn)算方法的模仿上，而不知它的由來;二是乘法分配律的題型變化比較復(fù)雜，應(yīng)用極其廣泛，學(xué)生不能靈活運(yùn)用。鑒于此，教師在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，應(yīng)當(dāng)基于學(xué)生已有的知識(shí)水平，通過數(shù)形結(jié)合的方式，把抽象的運(yùn)算意義具體化，讓學(xué)生深入理解乘法分配律的意義，切實(shí)掌握乘法分配律。

例如，北師大版四年級(jí)上冊第四單元《運(yùn)算律》中，對(duì)于乘法分配律這部分內(nèi)容，教材是這樣編排的（如圖1）：通過用不同的計(jì)算方法計(jì)算廚房里貼了多少塊瓷磚，讓學(xué)生感受3×10+5×10=（3+5）×10，4×8+6×8=（4+6）×8。在該課的教學(xué)中，教師應(yīng)借助教材上的主題圖來引導(dǎo)學(xué)生分別理解等式兩邊算式的意義，如：3×10+5×10是從顏色上觀察，3×10表示3個(gè)10，也就是白色瓷磚的數(shù)量;5×10意為5個(gè)10，表示藍(lán)色瓷磚的數(shù)量;白色瓷磚的數(shù)量和藍(lán)色瓷磚的數(shù)量合起來就是8個(gè)十（如圖2）。接著，教師可引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)理解：（3+5）×10表示3行白色與5行藍(lán)色合起來是8行，因?yàn)槊啃惺?0塊瓷磚，所以白色瓷磚和藍(lán)色瓷磚的總量也是8個(gè)十。然后，教師再追問，為什么等式的左右兩邊會(huì)相等呢？在此，除了讓學(xué)生從計(jì)算結(jié)果說明原因，更重要的是引導(dǎo)他們從意義上理解——因?yàn)榈仁降淖笥覂蛇叾急硎?個(gè)十，所以是相等的。若從瓷磚的位置觀察，4×8+6×8=（4+6）×8也是同理。

教學(xué)中，通過“以形解數(shù)”的方法，讓學(xué)生深入地理解乘法分配律的意義，它不僅僅是表面上兩個(gè)算式的得數(shù)相同，其本質(zhì)是指兩個(gè)算式之間的涵義相同。這樣，在之后進(jìn)行的變式練習(xí)，如：125×99，125×101，125×99+125，125×101-125等諸如此類的練習(xí)中，學(xué)生就能夠從理解運(yùn)算意義的角度來思考，靈活運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算，從而避免了學(xué)生對(duì)運(yùn)算律方法生搬硬套的情況。

二、以形說理，促進(jìn)學(xué)生對(duì)運(yùn)算算理的理解

“以形說理”是指借助圖形闡明算理，即闡明運(yùn)算的道理。算理是算法的基礎(chǔ)，也是學(xué)生計(jì)算的依據(jù)。學(xué)生只有充分理解了算理，才能靈活運(yùn)用算法，在計(jì)算時(shí)做到“知其然并知其所以然”。但運(yùn)算算理對(duì)于以具體形象思維為主的小學(xué)生來說往往也是比較抽象的，其實(shí)這也是學(xué)生理解的難點(diǎn)所在。要解決這一矛盾，教師就必須根據(jù)學(xué)生的年齡特征，化抽象為具體，用生動(dòng)形象的圖形解釋算理，引導(dǎo)學(xué)生在計(jì)算時(shí)理解每一步計(jì)算的緣由。

例如，在三年級(jí)上冊學(xué)生第一次接觸“筆算兩位數(shù)乘一位數(shù)”時(shí)，教材以《螞蟻?zhàn)霾佟窞槔?，抽象出?shù)學(xué)問題12×4=？，這是學(xué)生第一次學(xué)習(xí)用豎式計(jì)算乘法，與之前學(xué)過的加減法豎式計(jì)算不同的是，乘法豎式計(jì)算并不是把相同數(shù)位的數(shù)相乘，而是要用一位數(shù)分別去乘另一個(gè)乘數(shù)的每一位，再把所得的積相加，這是學(xué)生計(jì)算認(rèn)識(shí)上的一次飛躍。對(duì)于學(xué)生來說，要掌握豎式計(jì)算的方法，最重要的是要理解豎式乘法運(yùn)算中每一步的具體含義，這也是本節(jié)課的難點(diǎn)。根據(jù)三年級(jí)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，我們可以采用直觀模型——“點(diǎn)子圖”來幫助學(xué)生理解算理，如，根據(jù)乘數(shù)12的個(gè)位和十位，把點(diǎn)子圖分成2行與10行（如下圖中）。先算2×4得到8個(gè)點(diǎn)子（如下圖左），再用4×10，得到40個(gè)點(diǎn)子（如下圖左），然后把兩部分的積合起來，從而得到12×4的積是48。這是“兩位數(shù)乘一位數(shù)”的乘法豎式計(jì)算的算理。在此基礎(chǔ)上，我們可再引導(dǎo)學(xué)生理解豎式的簡寫形式，即先用4乘2得到8個(gè)點(diǎn)子，表示8個(gè)一（如下圖右），8應(yīng)寫在個(gè)位;再用4×10，得到40個(gè)點(diǎn)子（如下圖右），表示4個(gè)十，4應(yīng)該寫在十位，從而得到12×4的積是48。

通過這種“以形說理”的方法，將點(diǎn)子圖與豎式計(jì)算完美結(jié)合，學(xué)生就能充分理解兩位數(shù)乘一位數(shù)的運(yùn)算算理，即在用豎式計(jì)算乘法時(shí)，不能把相同數(shù)位的數(shù)相乘，而是要用一位數(shù)分別去乘另一個(gè)乘數(shù)的每一位。在教學(xué)過程中，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生多用點(diǎn)子圖來解釋豎式的意義，以達(dá)到讓每個(gè)學(xué)生真正理解乘法豎式的計(jì)算算理的目的。

三、以形助數(shù)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)算法的遷移

“以形助數(shù)”是指通過用圖形表示數(shù)，幫助學(xué)生掌握計(jì)算方法的數(shù)學(xué)方法。在四則運(yùn)算的計(jì)算方法方面，整數(shù)加法、減法、乘法的計(jì)算，都是先從個(gè)位算起，唯獨(dú)除法的計(jì)算與眾不同——它是從高位算起。小學(xué)階段整數(shù)除法的學(xué)習(xí)分為三個(gè)階段：第一階段是表內(nèi)除法的運(yùn)算，第二階段是除數(shù)是一位數(shù)的口算和筆算，第三階段是三位數(shù)除以兩位數(shù)的筆算。其中，第二階段的學(xué)習(xí)至關(guān)重要，因?yàn)樗挠?jì)算方法可讓學(xué)生遷移至第三階段的學(xué)習(xí)當(dāng)中。北師大版教材把第二階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容安排在三年級(jí)下冊，教材設(shè)計(jì)了兩個(gè)梯度的學(xué)習(xí)：一是被除數(shù)的首位剛好是除數(shù)的整數(shù)倍，二是被除數(shù)的首位不是除數(shù)的整數(shù)倍。對(duì)于被除數(shù)首位剛好整除的情況，學(xué)生的理解難度不大，難點(diǎn)在于被除數(shù)首位不是除數(shù)的整數(shù)倍時(shí)，十位上剩余的數(shù)該怎么去處理。因?yàn)檫@種情況比較抽象，學(xué)生理解起來還是有一定的難度，所以，教師在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，應(yīng)借助小棒進(jìn)行直觀操作，幫助學(xué)生經(jīng)歷探索計(jì)算方法的過程。

如，在教學(xué)《分橘子》一課時(shí)，教材利用48÷3=？來研究兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位有余數(shù)）的計(jì)算方法。教學(xué)時(shí)，教師可讓學(xué)生用48根小棒代替48個(gè)橘子分一分。學(xué)生在分的過程中就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這次分小棒與之前是不同的——十位和個(gè)位的小棒數(shù)，如果單獨(dú)分的話都不能剛好分完，所以，在分小棒時(shí)要思考先分哪部分再分哪部分。學(xué)生按照以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，可能會(huì)先分個(gè)位，再分十位，當(dāng)發(fā)現(xiàn)這樣分都會(huì)有剩余時(shí)，學(xué)生會(huì)把這兩部分剩余的合起來再分。雖然這種分小棒的方法可以得到正確的得數(shù)，但是過程比較復(fù)雜。隨后，教師可再引導(dǎo)學(xué)生探究更好的分小棒的方法——可以先分十位，把十位剩下的1捆與個(gè)位的小棒合起來再分，這種分小棒的方法只需兩步就可以完成。在此基礎(chǔ)上，教師再鼓勵(lì)學(xué)生用豎式記錄剛剛分小棒的過程（如下圖），從而理解計(jì)算方法。

通過“以形助數(shù)”的方法，學(xué)生不僅能明白除法計(jì)算必須要先從高位算起的原因，而且能深入理解除法豎式計(jì)算每一步的意義，從而掌握計(jì)算方法，為學(xué)生的算法遷移奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

華羅庚在他撰寫的《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)數(shù)學(xué)問題》中提到“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難少微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！边@段話深刻地揭示了“數(shù)”與“形”之間密不可分的關(guān)系。在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，我們通過把“數(shù)”與“形”相結(jié)合，將抽象的運(yùn)算意義、算理及算法具體化、直觀化，將邏輯思維與形象思維統(tǒng)一起來，讓知識(shí)的呈現(xiàn)方式更符合學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知水平，這樣學(xué)生就能獲得問題解決的方法，從而進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提高。

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責(zé)任編輯 ?羅良英