王利霞 李健

【摘 要】 數(shù)學(xué)教科書中的探究活動(dòng)是學(xué)生數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的主要載體.以日本《中學(xué)數(shù)學(xué)》系列教科書為研究對(duì)象，對(duì)其中的鞏固知識(shí)型、拓展知識(shí)型、應(yīng)用知識(shí)型探究活動(dòng)進(jìn)行梳理，并分別進(jìn)行案例分析，呈現(xiàn)三類活動(dòng)的特點(diǎn).最終得到數(shù)學(xué)探究活動(dòng)教學(xué)或教科書編寫應(yīng)該注意的三個(gè)方面：（1）重視真實(shí)背景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值;（2）注意問題設(shè)計(jì)的層次性，激發(fā)學(xué)生的探究欲望;（3）注重類型均衡，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 探究活動(dòng);教科書;日本

數(shù)學(xué)探究是當(dāng)下頗受關(guān)注的學(xué)習(xí)活動(dòng)之一，在各國(guó)的數(shù)學(xué)課程中都占有重要地位.教科書作為承載課程理念最為核心的載體[1]，是學(xué)生進(jìn)行探究活動(dòng)的重要資源，對(duì)教科書中的探究活動(dòng)進(jìn)行分析，有助于教師更好地進(jìn)行探究教學(xué)，也可以為教科書編寫提供參考.研究表明，我國(guó)初中數(shù)學(xué)教科書中有關(guān)數(shù)學(xué)探究?jī)?nèi)容的編寫仍然面臨不少挑戰(zhàn)，比如探究情境類型不夠豐富、探究問題脫離實(shí)際生活等[2].日本的數(shù)學(xué)教育在全球處于領(lǐng)先地位，其教科書也受到國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者的研究與借鑒.日本教育出版株式會(huì)社于2015年出版了《中學(xué)數(shù)學(xué)》系列教科書，其中的“自由研究”欄目呈現(xiàn)出許多高質(zhì)量的探究活動(dòng)案例.本研究將以這些探究活動(dòng)為研究對(duì)象，通過一定的梳理與分析，以期對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)教育中探究活動(dòng)的設(shè)置提供啟示.

1 “自由研究”欄目中的探究活動(dòng)概況

日本現(xiàn)行中小學(xué)學(xué)制為：小學(xué)六年、初中和高中分別為三年[3].教育出版株式會(huì)社出版的初中數(shù)學(xué)教科書共有三冊(cè)：《中學(xué)數(shù)學(xué)1》《中學(xué)數(shù)學(xué)2》《中學(xué)數(shù)學(xué)3》，供初中學(xué)段7—9年級(jí)學(xué)生使用.每?jī)?cè)教科書均單獨(dú)設(shè)置了名為“自由研究”的欄目，屬于專門的數(shù)學(xué)探究活動(dòng).全三冊(cè)教科書“自由研究”欄目共設(shè)置了12個(gè)探究活動(dòng).

在各冊(cè)教科書中的“自由研究”欄目中，其探究活動(dòng)積極融入本學(xué)年要求的數(shù)與式、圖形、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率等知識(shí)，需要學(xué)生綜合運(yùn)用已有的知識(shí)、技能和方法.例如“時(shí)鐘長(zhǎng)針和短針的重合時(shí)間”活動(dòng)需要學(xué)生運(yùn)用方程式和一次函數(shù)的知識(shí);“黃金比例”活動(dòng)需要學(xué)生運(yùn)用二次方程式和相似的知識(shí).每個(gè)探究活動(dòng)不僅明確給出了學(xué)生需要解決的問題，而且設(shè)置了多個(gè)由易到難的問題，注意啟發(fā)學(xué)生思考，由淺入深地給出思考問題的路徑，幫助學(xué)生更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)探究.

將所有探究活動(dòng)按功能劃分，主要包括三類：鞏固知識(shí)型、拓展知識(shí)型和應(yīng)用知識(shí)型三類.鞏固知識(shí)型探究活動(dòng)是基于學(xué)生已學(xué)知識(shí)綜合設(shè)計(jì)成探究活動(dòng)，能夠幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，使知識(shí)融會(huì)貫通，例如“找到倍數(shù)的方法”幫助學(xué)生鞏固整式的知識(shí);拓展知識(shí)型探究活動(dòng)的目的在于拓寬學(xué)生的知識(shí)面，幫助學(xué)生了解與掌握一些新的數(shù)學(xué)知識(shí)，例如“盲文的結(jié)構(gòu)”使學(xué)生了解盲文的讀寫規(guī)則并且學(xué)會(huì)讀盲文，拓展知識(shí)面;應(yīng)用知識(shí)型探究活動(dòng)是指針對(duì)社會(huì)生活中的實(shí)際問題，讓學(xué)生根據(jù)已學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行探究，分析和解決問題，體會(huì)到數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用，例如“建立電話聯(lián)絡(luò)網(wǎng)”讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題.三類探究活動(dòng)在三冊(cè)教科書中的分布見表1.

2 “自由研究”欄目活動(dòng)分析

為了更好地探討“自由研究”欄目中探究活動(dòng)的內(nèi)容、特點(diǎn)及其在教科書中的作用，依據(jù)以上三種分類，下面以案例的形式對(duì)該欄目的探究活動(dòng)加以分析.

2.1 鞏固知識(shí)型探究活動(dòng)

鞏固知識(shí)型探究活動(dòng)包括“長(zhǎng)方形的分解”“點(diǎn)數(shù)和面積的關(guān)系”“找到倍數(shù)的方法”，這類活動(dòng)不僅鞏固本學(xué)期所學(xué)新知識(shí)，也包括利用新知識(shí)對(duì)已有知識(shí)的拓展探究，使知識(shí)融會(huì)貫通，例如《中學(xué)數(shù)學(xué)3》中“找到倍數(shù)的方法”.

案例 找到倍數(shù)的方法.

奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2020年在東京舉行（筆者注：因新冠疫情，2020東京奧運(yùn)會(huì)將延期舉行）.夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)每4年舉行一次，年份是4的倍數(shù).

探究1 1932年夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在哪個(gè)城市舉辦過？1982年呢？

讓我們來思考一下找出4的倍數(shù)的方法吧.

探究2 四位數(shù)的自然數(shù)滿足什么條件時(shí)是4的倍數(shù)？用幾個(gè)自然數(shù)來探究一下吧.

另外，我們來預(yù)測(cè)一下在什么情況下會(huì)變成4的倍數(shù).

設(shè)四位數(shù)的自然數(shù)千位數(shù)為a，百位數(shù)為b，十位數(shù)為c，個(gè)位數(shù)為d，則“四位自然數(shù)”可以表示如下，（a是1-9的自然數(shù)，b，c，d分別是0-9的自然數(shù)）

1000a+100b+10c+d（*）

探究3 使用上面的（*）式子，試著說明一下2的預(yù)想.

接下來，我們?cè)賮硭伎颊业?的倍數(shù)、5的倍數(shù)、9的倍數(shù)的方法.

探究4 上面的（*）式，可以進(jìn)行如下變形.

1000a+100b+10c+d=3（333a+33b+3c）+a+b+c+d.

說明一下根據(jù)這個(gè)公式，找出四位數(shù)自然數(shù)是否是3的倍數(shù)的方法吧.

探究5 上面的（*）式可以按下面的方式變形，（ ）里應(yīng)該填入什么數(shù)呢？

1000a+100b+10c+d=（ ）（200a+20b+2c）+d.

從這個(gè)等式中，關(guān)于找到倍數(shù)的方法，又能發(fā)現(xiàn)什么呢？

探究6 上面的（*）式變形成下面這種形式時(shí)，（ ）里應(yīng)該填什么數(shù)字呢？

1000a+100b+10c+d=（ ）（111a+11b+c）+a+b+c+d.

從這個(gè)等式中，關(guān)于找到倍數(shù)的方法，又能發(fā)現(xiàn)什么呢？

到目前為止，我們對(duì)四位數(shù)的自然數(shù)進(jìn)行了研究，對(duì)于任何位數(shù)的自然數(shù)，都可以得到以下結(jié)論：

3的倍數(shù) 各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和是3的倍數(shù)

4的倍數(shù) 最后兩位數(shù)是4的倍數(shù)

5的倍數(shù) 個(gè)位數(shù)是0或5

9的倍數(shù) 各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和是9的倍數(shù)

該活動(dòng)以奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)舉辦的間隔年份為活動(dòng)背景，提出探究問題：滿足什么條件的四位數(shù)自然數(shù)是4的倍數(shù)？首先用幾個(gè)四位數(shù)探究，然后從特殊到一般，利用本學(xué)年學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式知識(shí)，將所有的四位數(shù)用字母表示成多項(xiàng)式形式，進(jìn)而可以得到4的倍數(shù)的特征，接著讓學(xué)生自行探究其他數(shù)字（諸如3，5，9）的倍數(shù).該活動(dòng)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是四位數(shù)的表示方法，在探究剛開始時(shí)教師可以讓學(xué)生自己思考，過程中給予適當(dāng)提示，鍛煉學(xué)生獨(dú)立思考的能力.

該活動(dòng)既能幫助學(xué)生鞏固已學(xué)的多項(xiàng)式知識(shí)，又引導(dǎo)學(xué)生探究尋找倍數(shù)的新方法.學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)掌握了2，3，5的倍數(shù)特征，這個(gè)探究活動(dòng)使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)倍數(shù)及其證明方法，不僅是對(duì)本學(xué)年多項(xiàng)式知識(shí)的鞏固，也是對(duì)學(xué)生知識(shí)體系中已有數(shù)學(xué)結(jié)論的拓展探究，用新知識(shí)解決舊問題，使知識(shí)融會(huì)貫通，有利于學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)發(fā)展學(xué)生思維的靈活性具有重要的促進(jìn)作用.

2.2 拓展知識(shí)型探究活動(dòng)

拓展知識(shí)型探究活動(dòng)包括“玩計(jì)算器”“一筆畫”“盲文的結(jié)構(gòu)”“黃金比例”“取石游戲必勝法”，這類活動(dòng)通常會(huì)選擇歷史或生活中有意義的數(shù)學(xué)問題為背景進(jìn)行探究，適當(dāng)拓展和豐富學(xué)生的知識(shí)面，例如《中學(xué)數(shù)學(xué)1》中“一筆畫”活動(dòng).

案例 一筆畫.

18世紀(jì)的歐洲有一個(gè)叫哥尼斯堡的城鎮(zhèn)，流經(jīng)城鎮(zhèn)中央的河上有七座橋.每到傍晚，許多人都來此散步，人們漫步于這七座橋之間，久而久之，有人就提出了這樣一個(gè)問題：能不能既不重復(fù)又不遺漏地一次相繼走遍這七座橋？哥尼斯堡的居民們認(rèn)為這是一個(gè)有趣的問題，并嘗試了許多方法，但沒有人取得成功.這個(gè)問題后來被稱為“哥尼斯堡七橋問題”.

從圖的一點(diǎn)出發(fā)，筆不離紙，遍及圖中每條線段，同一條線不描兩遍，這叫“一筆畫”.

如圖2所示，用線畫出散步的路線，上面的問題就可以轉(zhuǎn)化為：能否用“一筆畫”的方法畫出圖3所示的圖形.

探究1 下面幾個(gè)圖形，試著探究一下能不能一筆畫出來.

圖4著眼于線聚集的點(diǎn)，思考在什么情況下能一筆畫出.對(duì)于中間的那個(gè)圖形，可以像圖5那樣一筆畫出來.

把聚集在各點(diǎn)上的線數(shù)一數(shù)，A-4條，B-3條，C-3條，D-4條，E-4條，由此可知，奇數(shù)條線集中的點(diǎn)是2個(gè).

探究2 除了中間的圖形，試著數(shù)一下其他圖形中聚集在各點(diǎn)上的線的數(shù)量.在一筆能畫出的圖形中，奇數(shù)條線聚集的點(diǎn)有多少個(gè)？

探究3 在上面的“哥尼斯堡七橋問題”中，可以說出所有的過橋方法嗎？

該活動(dòng)以“哥尼斯堡七橋問題”為背景展開探究，首先讓學(xué)生了解“一筆畫”的概念，再引導(dǎo)學(xué)生自行探究能否一筆畫出各種圖形，總結(jié)符合“一筆畫”圖形的特點(diǎn)，最后掌握新知識(shí)“一筆畫”.歷史上，“哥尼斯堡七橋問題”是由數(shù)學(xué)家歐拉解決，教師可以在活動(dòng)中向?qū)W生介紹歐拉解決該問題的思路和方法，使學(xué)生體會(huì)到歐拉解決問題過程中體現(xiàn)出的重要數(shù)學(xué)思想和策略，比如一般化思想，數(shù)學(xué)化思想和簡(jiǎn)化策略[4].

該活動(dòng)選用數(shù)學(xué)名題“哥尼斯堡七橋問題”，拓展學(xué)習(xí)新知識(shí)“一筆畫”，內(nèi)容新穎，能夠引起學(xué)生的興趣.整個(gè)探究活動(dòng)包括三個(gè)探究環(huán)節(jié)，三個(gè)環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣，并且體現(xiàn)出由易到難的設(shè)置特點(diǎn).此外，該探究活動(dòng)始終重視引導(dǎo)學(xué)生思考解決問題的方法，輔助學(xué)生學(xué)會(huì)從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問題，有利于提高學(xué)生的問題解決能力.還需提及的是，在歷史中，由“哥尼斯堡七橋問題”引出的一筆畫問題，使得圖論這一重要數(shù)學(xué)分支得以創(chuàng)立，教師也可由此進(jìn)行適當(dāng)?shù)难由旖榻B，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)眼界.

2.3 應(yīng)用知識(shí)型探究活動(dòng)

應(yīng)用知識(shí)型探究活動(dòng)包括“田徑跑道”“時(shí)鐘長(zhǎng)針和短針的重合時(shí)間”“大氣中的CO2濃度”“建立電話聯(lián)絡(luò)網(wǎng)”，這類活動(dòng)通常會(huì)選擇與學(xué)生生活息息相關(guān)的現(xiàn)象或物體為背景，目的在于使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用性.《中學(xué)數(shù)學(xué)2》中“田徑跑道”，就是應(yīng)用知識(shí)型探究活動(dòng)的一個(gè)典型例子.

案例 田徑跑道.

探究在學(xué)校操場(chǎng)上建造田徑跑道的方法.

首先，我們來考慮一下建造田徑跑道內(nèi)側(cè)的部分.如圖6所示，最內(nèi)側(cè)田徑跑道由兩個(gè)半圓和一個(gè)長(zhǎng)方形組合而成，周長(zhǎng)為200m.圖6

探究1 假設(shè)半圓的半徑OA為10m，那么直線部分AB為多少m？另外，半徑OA設(shè)為15m時(shí)AB又為多少m呢？（假設(shè)圓周率是3.14，試著計(jì)算一下）

探究2 將半圓的半徑OA設(shè)為rm，用r表示直線部分AB的長(zhǎng)度.

下面在圖6最內(nèi)側(cè)跑道的周圍，向外依次建立6條寬為1m的跑道，如圖7所示.

以每條跑道內(nèi)側(cè)的長(zhǎng)度作為該跑道的長(zhǎng)度，來探究下面的問題.

探究3 假設(shè)半圓的半徑OA為10m，試著求出第1跑道和第2跑道的1圈長(zhǎng)度之差.另外，第2道和第3道呢？

探究4 假設(shè)半圓的半徑OA為15m，試著回答探究3的問題.（半徑OA為10m的時(shí)候和15m的時(shí)候有區(qū)別嗎？）

如上圖7所示，在終點(diǎn)位置相同的情況下，以所有跑道的長(zhǎng)度為200m為前提.

探究5 從第2道到第6道的起跑線應(yīng)該設(shè)置在什么位置？

該活動(dòng)以生活中常見的田徑跑道為背景，讓學(xué)生探究建造跑道的方法.首先探究最內(nèi)側(cè)周長(zhǎng)為200米的跑道，求出半徑r與直線部分AB的關(guān)系，再依次向外建造6條寬為1米的跑道，求出相鄰跑道的長(zhǎng)度之差，最后探究田徑比賽時(shí)不同跑道的選手起跑線位置設(shè)置的方法.活動(dòng)的情境背景與學(xué)生生活密切相關(guān)，學(xué)生經(jīng)歷實(shí)際問題“數(shù)學(xué)化”的過程，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段，是數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁[5].數(shù)學(xué)問題中的情境背景應(yīng)該提升與學(xué)生的關(guān)聯(lián)性，這樣才有助于情境中信息與學(xué)生已有認(rèn)知相匹配[6].該活動(dòng)注重情境背景與學(xué)生實(shí)際生活的關(guān)聯(lián)性，培養(yǎng)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的能力，學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，使學(xué)生能夠意識(shí)到數(shù)學(xué)來源于生活，并且應(yīng)用于生活，感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

3 啟示

通過對(duì)日本教科書中三類探究活動(dòng)的特點(diǎn)分析，歸納出數(shù)學(xué)探究活動(dòng)教學(xué)或教科書編寫應(yīng)該注意的三個(gè)方面：首先，重視真實(shí)背景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值;其次，注意問題設(shè)計(jì)的層次性，激發(fā)學(xué)生的探究欲望;最后，注重活動(dòng)類型均衡，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.1 重視真實(shí)背景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值

數(shù)學(xué)問題中設(shè)置情境背景對(duì)學(xué)生有多方面的積極作用，為了將學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與真實(shí)世界相關(guān)聯(lián)，應(yīng)該注意情境背景的真實(shí)性[7].探究活動(dòng)的情境背景可以分為純數(shù)學(xué)情境、真實(shí)情境和虛設(shè)情境，“自由研究”欄目中有2個(gè)是以純數(shù)學(xué)情境為背景展開探究，其他10個(gè)都是以真實(shí)情境為背景，不涉及虛設(shè)情境.在真實(shí)情境中，又涉及到生活、自然、體育、游戲等多方面，比如在“時(shí)鐘長(zhǎng)針和短針重合時(shí)間”活動(dòng)中，以生活中的時(shí)鐘為背景;在探究“取石游戲必勝法”時(shí)，以游戲?yàn)楸尘俺橄鬄閿?shù)學(xué)問題進(jìn)行探究.可見日本教材中的數(shù)學(xué)活動(dòng)情境背景注重加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活，其他學(xué)科之間的聯(lián)系，并且都采用真實(shí)的活動(dòng)情境，豐富的現(xiàn)實(shí)背景使數(shù)學(xué)知識(shí)更加貼近生活，更能夠使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

3.2 注意問題設(shè)計(jì)的層次性，激發(fā)學(xué)生的探究欲望

在探究過程中，學(xué)生在遇到知識(shí)疑難點(diǎn)茫然不知所措或四處出擊一無所獲時(shí)，教師可以通過點(diǎn)撥思維方向或思考方法，適時(shí)進(jìn)行知識(shí)延伸拓展，幫助學(xué)生拓寬思維路徑[8].日本教科書中探究活動(dòng)的一個(gè)突出特點(diǎn)是問題設(shè)計(jì)的層次性，這體現(xiàn)在同一個(gè)探究活動(dòng)中設(shè)置多個(gè)問題，各個(gè)問題由易到難，層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生逐級(jí)思考.例如案例“找到倍數(shù)的方法”中，教師在提出問題后，可以先讓學(xué)生自行思考，如若學(xué)生未能打開思路，再給出提示“將四位數(shù)用多項(xiàng)式表示”，進(jìn)而一步步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究.探究活動(dòng)一般需要學(xué)生經(jīng)歷層層障礙，付出持久努力的思考才能獲得答案，如果難度系數(shù)太大，往往令學(xué)生面對(duì)問題無從下手，很容易打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.因此，探究活動(dòng)設(shè)計(jì)時(shí)需注意問題間的層次性劃分，對(duì)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶崾九c引導(dǎo)，有助于提高學(xué)生的自信心，激發(fā)學(xué)生的探究欲望.

3.3 注重類型均衡，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是個(gè)人在不同真實(shí)世界情境下進(jìn)行數(shù)學(xué)推理并表示、使用和解釋數(shù)學(xué)來解決問題的能力[9].由此可知，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵包括數(shù)學(xué)推理、問題解決和數(shù)學(xué)建模，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)需要培養(yǎng)這三方面的能力.探究活動(dòng)對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)發(fā)揮著重要的作用，在探究過程中可以培養(yǎng)學(xué)生的多種能力.不同類型的探究活動(dòng)能夠培養(yǎng)學(xué)生不同方面的能力：鞏固知識(shí)型探究活動(dòng)有利于學(xué)生建構(gòu)系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高問題解決能力;拓展知識(shí)型探究活動(dòng)可以拓寬學(xué)生的知識(shí)面，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和邏輯推理能力;應(yīng)用知識(shí)型探究活動(dòng)可以培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力，提高數(shù)學(xué)建模和解決問題的能力.日本教科書對(duì)三類活動(dòng)的設(shè)置較為均衡，能夠發(fā)揮探究活動(dòng)的不同功能，較為全面地提高學(xué)生不同方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

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