王治民

【摘要】利用列舉和推理的方法對(duì)小學(xué)低年級(jí)學(xué)生進(jìn)行等差數(shù)列基本知識(shí)的訓(xùn)練，以及利用分?jǐn)?shù)拆分的方法在小學(xué)高年級(jí)進(jìn)行計(jì)算能力訓(xùn)練，可以豐富學(xué)生的知識(shí)素養(yǎng)，讓學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生探究疑難問(wèn)題的興趣，培養(yǎng)其頑強(qiáng)的意志品質(zhì)，提升其數(shù)學(xué)能力.

【關(guān)鍵詞】試題;深入;研究;提升

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有許多內(nèi)涵豐富、思路復(fù)雜的習(xí)題，教師在教學(xué)中加強(qiáng)對(duì)此類(lèi)疑難題目的教學(xué)，有利于學(xué)生思維能力的發(fā)展，同時(shí)對(duì)學(xué)生初、高中階段的數(shù)學(xué)能力提升具有重要意義.利用列舉和推理的方法對(duì)小學(xué)低年級(jí)學(xué)生進(jìn)行等差數(shù)列基本知識(shí)教學(xué)，以及利用分?jǐn)?shù)拆分的方法對(duì)小學(xué)高年級(jí)學(xué)生進(jìn)行計(jì)算能力訓(xùn)練，是筆者積累的兩個(gè)比較典型的案例，希望對(duì)大家有所啟發(fā).

一、低年級(jí)學(xué)生妙解“等差數(shù)列”一法

在對(duì)三年級(jí)學(xué)生進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)輔導(dǎo)時(shí)，遇到這樣一題：

1? 2? 3? 4

3? 4? 5? 6

5? 6? 7? 8

7? 8? 9? 10

……

請(qǐng)問(wèn)，第15行的第三個(gè)數(shù)是多少？

此題的基本結(jié)構(gòu)是每一行都是四個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，前一行的后兩個(gè)數(shù)在下一行的前兩個(gè)數(shù)的位置重復(fù)出現(xiàn)，同時(shí)，每一列都是由連續(xù)奇數(shù)（偶數(shù)）構(gòu)成的.

要知道第15行的第三個(gè)數(shù)，就應(yīng)該先知道該行的第一個(gè)數(shù)，而要得到第15行的第一個(gè)數(shù)，對(duì)低年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，常用的方法只有推理，但這種方法只適合項(xiàng)數(shù)較少的數(shù)列.如果要求出第50行、第100行甚至更多行上的數(shù)時(shí)，別說(shuō)小學(xué)生，對(duì)成人而言，也絕不是個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題.此時(shí)，找到符合三年級(jí)學(xué)生理解能力和知識(shí)水平的規(guī)律，才是最好的辦法.

筆者邊鼓勵(lì)學(xué)生自主探索，邊仔細(xì)觀察.原來(lái)本題可以分成四個(gè)單一的等差數(shù)列：（1）1，3，5，7…… （2）2，4，6，8…… （3）3，5，7，9…… （4）4，6，8，10……每個(gè)數(shù)列前后兩個(gè)數(shù)之間都差2，但第一個(gè)數(shù)不同.

筆者想，既然這四個(gè)數(shù)列的前后兩個(gè)數(shù)之間都差2，它們的每一位上的數(shù)肯定也與2有關(guān).第一個(gè)數(shù)列中，第一個(gè)數(shù)是1，比2少1，第二個(gè)數(shù)比4少1，第三個(gè)數(shù)比6少1……而2，4，6，8，…，每個(gè)數(shù)都正好是2的倍數(shù).

原來(lái)，在這個(gè)數(shù)列中，每?jī)蓚€(gè)相鄰項(xiàng)之間都相差2，用表示第一個(gè)數(shù)的位數(shù)1乘差數(shù)2再減1，便是第一個(gè)數(shù)1，用表示第二個(gè)數(shù)的位數(shù)2乘差數(shù)2再減1，就得到了第二個(gè)數(shù)3.

依次類(lèi)推，即可得到相應(yīng)位置上的數(shù)5，7，9……同理，用表示第15位的15乘差數(shù)2再減1，就可以得到第十五個(gè)數(shù)29.筆者按上述思路引導(dǎo)學(xué)生觀察并詳細(xì)講解后，多數(shù)學(xué)生都能迅速理解.之后筆者又隨機(jī)加以深化：請(qǐng)你算出第一列的第50個(gè)數(shù)是多少？不到30秒，全班78位同學(xué)幾乎全都得出了正確答案50×2-1=99.接下來(lái)，這一列的任意一項(xiàng)，學(xué)生都能通過(guò)計(jì)算快速求得了.

意外的收獲讓筆者十分高興，既然能根據(jù)規(guī)律求出第一個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)，那么第二列、第三列、第四列中的每一個(gè)數(shù)一定也能通過(guò)計(jì)算求得.于是，筆者激勵(lì)學(xué)生繼續(xù)探索，同學(xué)們的興趣很高，一會(huì)兒工夫便“大功告成”，大家都踴躍匯報(bào)學(xué)習(xí)成果：第二列的每一個(gè)數(shù)直接用位數(shù)乘差數(shù)2即可，這一列的第15個(gè)數(shù)是15×2=30;第三列的每一個(gè)數(shù)是用位數(shù)乘差數(shù)2再加1，依次為1×2+1=3，2×2+1=3，3×2+1=7……這一列的第15個(gè)數(shù)是15×2+1=31;而第四列中的每一個(gè)數(shù)分別為位數(shù)乘差數(shù)2再加2，依次為4，6，8，10……這一列的第15個(gè)數(shù)是15×2+2=32.這樣，例題中第15行的四個(gè)數(shù)依次為29，30，31，32，完全符合題意.

根據(jù)這一規(guī)律，我們可以輕松求出每一列中的任意一個(gè)數(shù).如：第一列的第99個(gè)數(shù)是99×2-1=197，第二列的第99個(gè)數(shù)是99×2=198，第三列的第99個(gè)數(shù)是99×2+1=199，第四列的第99個(gè)數(shù)是99×2+2=200，真是妙不可言啊！

筆者意猶未盡，借著剛才的興致繼續(xù)思考，用位數(shù)乘2再加幾（或減幾）的方法能解決差數(shù)為2的等差數(shù)列問(wèn)題，那么其他數(shù)列是否也能用這一方法呢？筆者立即構(gòu)建了一個(gè)差數(shù)為6的數(shù)列：0，6，12，18，（? ），（? ）……通過(guò)嘗試，筆者發(fā)現(xiàn)第二個(gè)數(shù)6等于位數(shù)2乘差數(shù)6再減6，第四個(gè)數(shù)就應(yīng)該是位數(shù)4乘差數(shù)6再減6等于18，沒(méi)問(wèn)題，那么第五個(gè)數(shù)肯定是5×6-6=24，第六個(gè)數(shù)等于6×6-6=30.也就是說(shuō)，在這個(gè)數(shù)列中，每個(gè)數(shù)都等于位數(shù)乘差數(shù)6再減6，第100個(gè)數(shù)是100×6-6=594，第1000個(gè)數(shù)是1000×6-6=5994.

為了驗(yàn)證上述結(jié)論的正確性，筆者又構(gòu)建了一個(gè)差數(shù)為8的數(shù)列：5，13，21，29，（? ），（? ），（? ）……根據(jù)已知條件，筆者很快找到方法：用位數(shù)乘差數(shù)8再減3，所以括號(hào)內(nèi)的數(shù)依次是5×8-3=37，6×8-3=45，7×8-3=53，這一數(shù)列的第999個(gè)數(shù)是999×8-3=7989.通過(guò)反復(fù)驗(yàn)證，這一方法對(duì)于每一個(gè)等差數(shù)列都適用.

筆者由此得出結(jié)論：要求等差數(shù)列中的某一個(gè)數(shù)，可先根據(jù)已知條件求出該數(shù)列的差數(shù)（公差），再嘗試用要求數(shù)的位數(shù)乘差數(shù)再加幾（或減幾）的方法找到該題的構(gòu)造規(guī)律，然后便可輕松求出任何一位上的數(shù).即：差數(shù)×位數(shù)±幾=該位上的數(shù).

在之后的教學(xué)中，筆者將這一方法專門(mén)介紹給學(xué)生，效果非常好.三年級(jí)同學(xué)對(duì)任何一組等差數(shù)列都能快速找出規(guī)律并輕松解答.這一方法對(duì)沒(méi)有“專業(yè)經(jīng)驗(yàn)”的中小學(xué)生解決等差數(shù)列問(wèn)題具有很大的應(yīng)用價(jià)值，對(duì)豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)方法和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也有很好的作用，在此和大家分享.

二、運(yùn)用“拆分”思想探索一道競(jìng)賽題的解法