江蘇省南京市臨江高級中學(xué) 樂曉梅

2020 級高一是蘇教版數(shù)學(xué)新教材使用的第一個學(xué)年，教師需要學(xué)好新課標(biāo)、用好新教材，發(fā)現(xiàn)新教材中變化的方面，充分領(lǐng)悟編者的意圖，從而更好地為教學(xué)服務(wù)。三角形是所有幾何圖形的基礎(chǔ)，本文主要探究通過隱含的互補(bǔ)角，利用正、余弦定理解決三角形問題，在教學(xué)活動中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

一、運(yùn)用互補(bǔ)角證明三角形中線長公式

圖1

這道例題出現(xiàn)在余弦定理這一節(jié)，因?yàn)樯婕斑叺钠椒叫问剑仁浇Y(jié)構(gòu)特征明顯，很容易讓學(xué)生想到在三角形中運(yùn)用余弦定理，又因?yàn)檫@些邊分布在兩個三角形中，所以分別在△AMB和△AMC中利用補(bǔ)角的余弦值相反，即cos ∠AMB=-cos ∠AMC。

二、運(yùn)用互補(bǔ)角證明三角形角平分線定理

圖2

學(xué)生活動1：你能用平面幾何的方法來證明這個結(jié)論嗎？

與邊角有關(guān)，想到面積，探究面積法：

學(xué)生活動2：如果這個角平分線是外角的，會有什么結(jié)論呢？教材在95 頁思考運(yùn)用部分第9 題，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了活動平臺。通過這些探究活動，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探究問題和解決問題的能力得以提升。

圖3

為了鞏固補(bǔ)角關(guān)系在圖形中的應(yīng)用問題，編者在習(xí)題中設(shè)計(jì)了多個問題。

三、運(yùn)用互補(bǔ)角求證四邊形中的相關(guān)問題

1.平行四邊形中對角線和邊的關(guān)系

學(xué)生分析：根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征，出現(xiàn)邊的平方，易想到余弦定理，但三角形較多，要分別選擇以AC、BD為邊的三角形，我選擇△ABC和△BCD：

圖4

△ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos ∠ABC，

△BCD中，BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos ∠BCD，

∠ABC與∠BCD互補(bǔ)，即cos ∠ABC=-cos ∠BCD，兩式相加即可得證。

余弦定理只能在三角形中使用，如何將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形是關(guān)鍵，對四邊形進(jìn)行分割會出現(xiàn)多個三角形，選擇哪些三角形又是一個關(guān)鍵點(diǎn)。在問題探索中加強(qiáng)了學(xué)生的分析能力。

2.圓的內(nèi)接四邊形中求值問題

探究拓展1：教材89 頁第12 題。

（1）如圖5，圓O的內(nèi)接四邊形ABCD，其中，AB=2，BC=6，CD=DA=4，求cosA的值。

圖5

（2）已知圓的內(nèi)接四邊形ABCD， 其 中，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，求cosA的值（用a，b，c，d表示）。

學(xué)生分析：連接BD，分別在△ABD和△BCD中利用余弦定理計(jì)算BD2，根據(jù)∠A與∠C互補(bǔ)，得到cosA=-cosC，兩式相減即可得證。

這道題第一問由具體四邊形出發(fā)，讓學(xué)生探究。在前面例題的基礎(chǔ)上，學(xué)生很容易想到分割四邊形放到三角形中，再由之前的補(bǔ)角應(yīng)用，很容易算出數(shù)值，在此過程中，學(xué)生分析問題的能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)得到進(jìn)一步發(fā)展。第二問是新增內(nèi)容，由特殊到一般，比較抽象，但在第一問鋪墊的基礎(chǔ)上，很容易發(fā)現(xiàn)還是分別在△ABD和△BCD中利用余弦定理計(jì)算BD2，根據(jù)∠A與∠C互補(bǔ)，得到cosA=-cosC，兩式相減即可得證。這也是數(shù)學(xué)上常用的方法，特殊化探究出一般結(jié)論。

探究拓展2：教材105 頁復(fù)習(xí)題探究拓展第10 題。

（1）如圖6，在圓O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積。

圖6

這兩道探究拓展題的題干是一樣的，第二題是在第一題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深入探究，這兩題的第二問也都是新教材中增加的，這也表明教材設(shè)計(jì)者在知識點(diǎn)鞏固設(shè)計(jì)上的連續(xù)性和提高性，使學(xué)生的運(yùn)算能力、思維能力得到進(jìn)一步發(fā)展，讓學(xué)生形成良好的思維品質(zhì)。

合作探究：

四、運(yùn)用互補(bǔ)角求解高考題

2021 年新高考Ⅰ卷19 題：記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c。已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin ∠ABC=asinC。

（1）證明：BD=b；

（2）若AD=2DC，求cos ∠ABC。

本文探究的互補(bǔ)角主要包括三類：一是一個大的三角形分成兩個小的三角形后形成有公共邊的兩個互補(bǔ)角；二是平行四邊形中的互補(bǔ)角；三是圓內(nèi)接四邊形中的對角互補(bǔ)。