李靖

距離問題在圓錐曲線中比較常見，一般要求求動點到曲線的最大（?。┚嚯x、點到曲線上動點的最大（?。┚嚯x、動直線到曲線的最大（?。┚嚯x.此類問題中的點、直線、曲線一般隨著參數(shù)的變化而變化，因而運算量較大，且難度也較大.本文重點探討了一道圓錐曲線中距離問題的幾種解法，供大家參考.

題目：求橢圓Sx2 +8xy+5y2 =9上的點到原點O的最大距離與最小距離.

題目中的橢圓方程為非標準方程，所以其長、短軸雖不在坐標軸上，但橢圓的中心位于坐標原點.我們可根據(jù)橢圓的方程繪制出圖形，根據(jù)幾何圖形的特征、二次曲線的方程特征、目標函數(shù)的特點來解題.

一、根據(jù)幾何圖形的特征求解

每種圓錐曲線都有其獨特的幾何性質，如橢圓、雙曲線、拋物線均為對稱圖形，它們的范圍、對稱性、頂點、軸、焦距等都可根據(jù)圖形和方程來求解.在解答圓錐曲線中的距離問題時，我們可充分利用曲線、幾何圖形的特征來解題，在本題中，當點（x，y）在橢圓上，點（-x，-y）也在橢圓上，因此原點是該橢圓的對稱中心.假設以原點為圓心畫圓，隨著半徑的逐漸增大，會先后出現(xiàn)兩個與橢圓相切于兩點的圓，如圖所示.圖中橢圓上與原點距離最大和最小的點有一個共同特點，就是該點與原點的連線垂直于橢圓在該點處的切線，因此，這兩個圓的半徑就是本題所求的最小距離與最大距離，

二、通過構造矩陣求解

圓錐曲線的方程均為二次式，因此在求解圓錐曲線中的距離問題時，可根據(jù)二次式的特點構造矩陣，通過矩陣運算來求得問題的答案.本題中的橢圓方程為非標準二次方程，我們需先運用二次型理論知識，根據(jù)二次型方程構造出矩陣，然后結合矩陣的特征值得到橢圓的標準方程u1w2 +u2z2=1，最終得到最值.

三、運用Lagrange乘數(shù)法求解

對于平面上兩點間距離的最值問題，利用多元函數(shù)微分的知識，可將問題轉化為多元函數(shù)的條件極值問題，用Lagrange乘數(shù)法求解.在解題時，需先將平面上所求得的距離表達式作為目標函數(shù)，并將點的坐標滿足的方程作為約束條件，構造Lagrange函數(shù).

為了方便求解，這里將距離的平方的表達式視為目標函數(shù)，Lagrange乘數(shù)法的適用范圍很廣，尤其方便求解不確定圖形的形狀與位置的情況下的距離問題.如果把本題中的橢圓方程換成含有一次項的非標準方程，或者其他更加復雜的曲線方程，同樣能夠運用Lagrange乘數(shù)法.

總之，求解圓錐曲線中的距離問題，不僅要熟練掌握圓錐曲線的定義和性質，還要學會根據(jù)幾何圖形的特征、二次曲線的方程特征、目標函數(shù)的特點來構造圖形、矩陣、Lagrange函數(shù)，這樣才能在考試中穩(wěn)操勝券.

（作者單位：安徽省臨泉田家炳實驗中學）