吳牮

摘要：由著名數(shù)學(xué)家Charles Loewner在上個世紀(jì)二十年代創(chuàng)立的Loewner理論已有近100年的歷史，該理論深刻而優(yōu)美，它是單復(fù)變函數(shù)幾何理論的重要組成部分。以Loewner理論為基礎(chǔ)形成的Loewner方法作為一種強有力的分析技巧，近100年來不斷地在幾何函數(shù)論的極值問題、控制理論、隨機過程及統(tǒng)計物理、斷裂力學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，煥發(fā)出強大的生命力。在參閱相關(guān)文獻的基礎(chǔ)上并結(jié)合筆者自己的一些工作與體會，對該理論及其早期發(fā)展應(yīng)用的主要成果、相關(guān)學(xué)者的貢獻作一個較為粗淺的總結(jié)與評述。

關(guān)鍵詞：Loewner 微分方程 ;單葉函數(shù) ;裂紋映射 ;極值問題

一、分析學(xué)家Charles Loewner

Charles Loewner（Ch. 勒夫納），著名的美籍捷克數(shù)學(xué)家，早期在捷克時曾用姓名Karel L?wner ， 在德國時曾用姓名Karl L?wner。 1893年5月29日， Loewner出生于捷克共和國一個猶太商人家庭，其家在離布拉格約30公里的拉尼鎮(zhèn)，其父親Sigmund L?wner在鎮(zhèn)上經(jīng)營著一家店鋪. Loewner于1917年即獲得布拉格大學(xué)數(shù)學(xué)博士學(xué)位，導(dǎo)師是著名的數(shù)學(xué)家Georg Pick。取得學(xué)位后他主要以教師為職業(yè)，先后在柏林大學(xué)、布拉格大學(xué)、路易斯維爾大學(xué)、布朗大學(xué)、敘拉古大學(xué)、斯坦福大學(xué)任職，于1968年1月卒于美國斯坦福。Loewner專長于經(jīng)典分析，研究工作涉及復(fù)分析、泛函分析、李群與半群理論，早年即在單復(fù)變幾何函數(shù)論的Bieberbach猜測（比伯巴赫猜測）的研究中取得重大突破——用其獨創(chuàng)的基于所謂Loewner微分方程的參數(shù)表示法證明了關(guān)于S族單葉函數(shù)的系數(shù)不等式|a3|≤3成立。由于眾所周知的原因，和許多猶太人一樣他從歐洲移居到了美國，移居美國后把姓名改為Charles Loewner。在戰(zhàn)亂年代客居他鄉(xiāng)，Loewner經(jīng)歷了不少的艱辛，例如：作為一個頗有名望的學(xué)者為了生活卻不得不四處奔波謀取普通教師職位，由于美國當(dāng)時許多學(xué)校研究水平并不高（注：與歐洲相較而言），一般高校數(shù)學(xué)系很少開設(shè)高級的研究水平的課程，故初到美國時Loewner只能屈就低薪講授大量的初級課程，每周授課學(xué)時竟高達24小時，后來在少部分有興趣的學(xué)生要求下，才無薪義務(wù)地講授一些高級課程。不管怎樣，其一生從教50年，悉心培養(yǎng)出了不少優(yōu)秀學(xué)生，日后卓有建樹的如：Lipman Bers， Roger A. Horn， Adriano Garsia，特別值得一提的是我國四川大學(xué)已故數(shù)學(xué)家蒲保明教授即是Loewner在敘拉古大學(xué)執(zhí)教時的博士生。（參[1]、[2]）

二、Loewner基本定理

Loewner早年專攻函數(shù)論，在幾何函數(shù)論方面頗有建樹。周知，進入二十世紀(jì)后古典復(fù)分析有了多方面的突破與進展，其中發(fā)端于復(fù)平面上共形映射原理的幾何函數(shù)論的快速發(fā)展尤其引人注目，幾何函數(shù)論的中心課題之一是Bieberbach猜測：即對于標(biāo)準(zhǔn)化后的S族單葉函數(shù)，其冪級數(shù)的系數(shù)滿足：|an|≤n。L.Bieberbach（比伯巴赫）本人在1916年只證明了|a2|≤2，以后再無進展，直到1923 年Loewner發(fā)表了其著名的|a3|≤3的證明，但其論文中最要緊的是包含了以Loewner微分方程刻畫復(fù)平面上單裂紋區(qū)域族的一個定理，現(xiàn)習(xí)稱為Loewner基本定理（見[3]、[4]、[5]），該定理用當(dāng)前通行的術(shù)語簡介如下。

記復(fù)平面上單位圓盤D={Z|：|Z|<1}上定義的，滿足f'（0）=f'（0）-1=0 的全體單葉解析函數(shù)構(gòu)成族S，S的一個子族SL，即單裂紋族，意即任意f（z）∈SL，將單位圓域D映為，C為開復(fù)平面，為從有窮遠點W0到∞的Jordan弧，如圖1所示。

原始的Loewner理論主要是對一特定的裂紋映射f（z）∈SL引入實參數(shù)，當(dāng)參數(shù)連續(xù)變化時，依參數(shù)和裂紋界產(chǎn)生一連續(xù)變化的裂紋映射從屬族（或稱從屬鏈、Loewner鏈），該從屬族可用一偏微分方程進行刻劃，其核心思想是利用裂紋族對參數(shù)的連續(xù)依賴性導(dǎo)出單位圓盤到裂紋區(qū)域共形映射的某種局部分析性質(zhì)，這可以看著是對復(fù)平面上單連通區(qū)域共形等價一般定性結(jié)論的一種進一步定量描述，是一個極深刻和基本的成果。

Loewner的成果一經(jīng)發(fā)表，便迅速確立了該理論在復(fù)分析中的重要地位，其重要性表現(xiàn)在以下兩方面：

①首先，它是對共形映射基本定理（Riemann映射定理）的重要補充，即在特定區(qū)域上定量地描述映射函數(shù)的特征，從另一個角度看，該理論在共形映射的具體實現(xiàn)方面，也提供了一種較為一般的處理方法，即將SL中的映射函數(shù)通過Loewner微分方程表示成為了半顯形式。周知，具體、直接地求出任意兩區(qū)域間的共形映射函數(shù)的通用方法是不存在的，人們退而求其次地給出一些間接的或適用于某類區(qū)域的方法，|￡.|?.§¤§à§Y§?§ù§ú§?（戈魯辛）在其名著[6]中做了歸納，該書第三章所討論的的幾種方法均是共形映射具體實現(xiàn)的較為一般的方法，其中就包括Loewner方法，這些方法應(yīng)該說都是對以黎曼映射定理為核心的復(fù)變函數(shù)幾何理論的補充和完善。

②.其次 ，裂紋族SL中的函數(shù)在族S中是稠密的，鑒于此，用SL中函數(shù)去逼近S中的函數(shù)，從而由SL中函數(shù)的性質(zhì)通過逼近，刻畫出S族函數(shù)的性質(zhì)，以此為出發(fā)點，產(chǎn)生出了力量非凡的所謂Loewner參數(shù)表示法，自1923年Loewner證明他的系數(shù)不等式（，則|a3|≤3）開始直到以后幾十年間，各國學(xué)者將這種方法應(yīng)用于幾何函數(shù)論許多問題的研究，取得極好的效果。1984 年L.De Branges徹底證明Bieberbach猜測，Loewner方法是基礎(chǔ)之一，而實際上是其整個證明的最本質(zhì)、最重要的基礎(chǔ)。

如此看來，Loewner理論雖然歷來和證明諸如Bieberbach猜測等等有關(guān)單葉函數(shù)極值問題的研究緊密相關(guān)，但從一個更高的層面上看，它實際上應(yīng)該是對單復(fù)變函數(shù)幾何理論在一個特定方向上的發(fā)展與補充，Loewner理論的定位也絕不應(yīng)該是專為某問題而誕生的一種特殊、專用技巧，它應(yīng)該是經(jīng)典復(fù)變函數(shù)論理論體系中的重要一環(huán)。

三、Loewner理論的早期發(fā)展及應(yīng)用

Loewner的理論在1923年以后50年間主要有三個方面的發(fā)展，一是對該理論的進一步推廣，二是設(shè)法求解Loewner方程，三是將Loewner方法應(yīng)用于單葉函數(shù)極值問題的研究。以下就此三個方面做一個簡要介紹。

（1）Loewner理論是如此精巧，以至于要對其進行些微的有價值的改造總顯得十分困難的。早期的推廣最為重要的應(yīng)該是前蘇聯(lián)專家§±.§±. §?§?§?§?§a§?§ó（庫法列夫）的工作，他在Loewner理論方面的工作主要是致力于擴張該理論。他依然在復(fù)平面上討論問題，但卻在一個高度上以一個更廣的視角來理解Loewner理論賴以成立的幾何背景，從而進一步發(fā)掘出區(qū)域核收斂（kernel convergence）這個具有幾何特征的分析概念所蘊含的內(nèi)涵，并以此為重要基礎(chǔ)建立了廣義的Loewner方程（參[7]、[8]）。而Ch.Pommerenke早年的若干研究工作如[9]、[10]，試圖對Loewner方程側(cè)重于從從屬原理給出一種更加分析化的描述，但是對Loewner定理本身并無實質(zhì)性改進。在國內(nèi)楊維奇在多連通區(qū)域上進行了Loewner方程的研究，得到一種Loewner方程在多連通區(qū)域上的繁瑣推廣（參[5]），雖然看不出其有效的實際用場，但在理論上有一定意義。夏道行1959年率先成功地將Loewner理論引入擬共形映射領(lǐng)域（見[11]），這在當(dāng)時看來是一項相當(dāng)重要的工作，代表當(dāng)時國內(nèi)幾何函數(shù)論研究水平的新高，也是夏道行當(dāng)年在調(diào)整其研究方向到泛函分析領(lǐng)域之前在復(fù)分析方面若干工作的典范和頂峰之作。

②Loewner方程的求解是一個有趣且有價值的研究課題，首先Loewner方程作為一個非線性偏微分方程，研究其解法本身就有意義，另外該方程的特解、通解的幾何意義和應(yīng)用也十分有趣。這方面§±.§±.§?§?§?§?§a§?§ó、J.Becker在上世紀(jì)40年代、70年代的工作具有代表意義，§?§?§?§?§a§?§ó在[12]中討論了定理A中方程得到裂紋解的條件，他證明了只要k'（t）在[0，∞）上連續(xù)，則方程有裂紋解，即f（z，t）將單位圓域單葉地映射為具有裂紋的單位圓域。但裂紋解存在的充要條件是什么至今不得而知。Becker對Loewner方程的通解最先進行了討論（見[13]、[14]），周知，Loewner—§?§?§?§?§a§?§ó方程為

其中P（·，t）∈P對t∈[0，∞）存在，即為所謂正實部函數(shù);且對任意t∈[0，∞），p（z，·）對z∈D可測。

Becker證明該方程存在唯一的單葉正則解：f（z，t）=etz+…，他還證明方程的其他解g（z，t）在D上全純，在[0，∞）上局部絕對連續(xù)，并且對于z∈D局部一致地成立著，這里f（z，t）是正則解，是整函數(shù)。特別地，如果g（·，t）在D單葉，并且g（0，t）=g'（0，t）-et對t≥0成立，則g（z，t）=f（z，t）。Becker工作的意義在于在單復(fù)變情形下將Loewner理論的純分析方面的信息在最一般的情形下給予發(fā)掘，工作有難度，也代表了一個方向，由此引發(fā)了一系列后續(xù)研究，包括近年來在多復(fù)變方面的相關(guān)工作（參[15]）。

在國內(nèi)，龔昇仿[19]中的方法，于1953年討論了特征函數(shù)k（t）為特殊形式時方程單葉解的形式，同時還利用Loewner方程研究了單葉函數(shù)的系數(shù)（參[16]、[17]）。中山大學(xué)林偉研究了由Loewner方程定義的特殊單葉映射（見[18]）。作為當(dāng)年的青年數(shù)學(xué)工作者，龔昇與林偉的這幾項工作意義確實有限，帶有習(xí)作性質(zhì)，但對當(dāng)時國內(nèi)剛剛興旺起來的單葉函數(shù)論的研究來講應(yīng)該是起到了一定推動作用的。

③ Loewner方法的應(yīng)用方面最成功的是前蘇聯(lián)專家|￡.|?.§¤§à§Y§?§ù§ú§?（戈魯辛），§¤§à§Y§?§ù§ú§? 的研究工作大部分和復(fù)變函數(shù)的各種解析函數(shù)族的極值問題有關(guān)。特別是對單葉函數(shù)的研究，繼Bieberbach、Littlewood、Koebe、Loewner等人的工作后，他得到了S族、∑族函數(shù)進一步的精細、深入的結(jié)果，如：得到經(jīng)典偏差定理的精細補充形式，利用函數(shù)模平均的估計，得到S族函數(shù)系數(shù)的精細估值，首先提出并研究了系數(shù)模之差估計的問題——即通常所說的戈魯辛問題。§¤§à§Y§?§ù§ú§? 在相關(guān)工作中將深刻的Loewner方法的應(yīng)用發(fā)揮到一個新的高度，得到許多有關(guān)S族、Σ族函數(shù)的精密估計結(jié)果，特別是利用Loewner方法，并借助于令人驚嘆的簡潔精妙的技巧得到了S族函數(shù)旋轉(zhuǎn)定理的最后精確形式，這項成果是驚人的，可列入單葉函數(shù)論最重要的經(jīng)典定理之一?！臁琛歙ぁ靁§?§ù§ú§? 將Loewner方法應(yīng)用于單葉函數(shù)論，從成果的量和面上講迄今無人能及，從他應(yīng)用Loewner方法所得結(jié)果的重要性來看，除1984年L.De Branges（德.布蘭杰斯）以Loewner方法為基礎(chǔ)證明Bieberbach猜測這項成果以外，亦無出其右者。相關(guān)材料可參看[4]、[19]。

四、結(jié)語

Loewner理論自1923年創(chuàng)立以來，在二十世紀(jì)的大部分時間里基本活躍于函數(shù)論領(lǐng)域，對其他領(lǐng)域的影響及溢出效應(yīng)并不顯著。這可能與人們的慣性思維有關(guān)，即主要將其作為一種解決問題（主要是函數(shù)論中的極值問題）的強有力的方法技巧來看待而忽視了該理論在幾何函數(shù)論中的實際定位，故而缺少了深入發(fā)掘該理論不同用途的動力及開拓相關(guān)視野的主動性;也或許是其他學(xué)科領(lǐng)域有關(guān)方向的發(fā)展尚未達到需要該理論的程度。不過進入二十一世紀(jì)后，情況發(fā)生了改變，Loewner理論在一些交叉學(xué)科領(lǐng)域獲得了重大應(yīng)用，大放異彩，相關(guān)情況我們將另文介紹。

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