朱晴晴

摘 要：數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)最基本的思維方式之一，數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征在于它的抽象，抽象素養(yǎng)作為高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是教師與學(xué)生需要關(guān)注的重要內(nèi)容。我們需要通過有效的教學(xué)過程，使學(xué)生親歷抽象思維歷程，提高數(shù)學(xué)思維能力，通過抽象問題本質(zhì)，教會學(xué)生自主學(xué)習(xí)，獨立思考，達到培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的目的。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)抽象;數(shù)形結(jié)合;歸納類比

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》（2017年版）這樣界定數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“數(shù)學(xué)抽象”：“數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)，主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖像關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和架構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征”數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系”.

一、數(shù)形結(jié)合，把相關(guān)數(shù)學(xué)知識抽象成知識體系

例如在新教材高中數(shù)學(xué)必修一第二章第三節(jié)《二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》，本節(jié)課的重難點是二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的聯(lián)系，借助二次函數(shù)求解一元二次不等式。

筆者觀摩了兩位新教師的常規(guī)課，這兩位新教師著重強調(diào)解一元二次不等次的口訣記憶，在二次項系數(shù)為正的前提下，“大于取兩邊，小于取中間”，利用一元二次不等式與方程的根的關(guān)系快速解一元二次不等式。筆者認為這樣的教學(xué)設(shè)計過于急于求成，應(yīng)當在課堂中引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律和本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)抽象能力。

在初中，學(xué)生學(xué)過了從一元一次函數(shù)觀點看解一元一次方程、不等式，知道了解一元一次方程ax+b=0（a≠0）可以歸結(jié)為在一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的函數(shù)值為0時，求自變量x的值，解一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a≠0）相當于在一次函數(shù)y=ax+b的值大于0或者0時，求自變量x的取值范圍。

學(xué)生觀察討論容易得出方程的實數(shù)根就是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標。方程的根是從“數(shù)”的角度研究問題，而函數(shù)的圖象與x軸交點是從“形”的角度研究問題，正體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。讓學(xué)生從已知抽象出未知，辨別他們之間的聯(lián)系，使知識結(jié)構(gòu)體系更完整，提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力。

希爾伯特在《直觀幾何》序言里說：要幫助我們的學(xué)生學(xué)會用圖形來描述和刻畫問題，要幫助學(xué)生學(xué)會用圖形去發(fā)現(xiàn)解決問題的思路?！?/p>

高中學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力還比較弱，特別是剛進入高中階段學(xué)習(xí)的學(xué)生，盡管初中也學(xué)習(xí)了不少數(shù)學(xué)概念，但對抽象的數(shù)學(xué)符號還存在認識的障礙，如果在解決問題時輔之以直觀，就能夠幫助學(xué)生了解題意，從而為順利解決問題掃除障礙。這樣的直觀需要表達出來，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升就隱含其中了。

二、歸納類比，培養(yǎng)抽象概括能力

不少定理、公式及其證明都離不開歸納類比，教師在課堂教學(xué)中要適當引導(dǎo)和滲透，使學(xué)生逐步感知并運用好這一方法培養(yǎng)抽象概括能力。因此，歸納類比的過程，是培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力的過程。

例如筆者在上選修2-1第二章第二節(jié)《橢圓的簡單幾何性質(zhì)》習(xí)題課時，講到橢圓的“偽直徑”問題時，先從初中學(xué)過的圓的性質(zhì)講起：直徑所對的圓周角是直角。

表示如下：線段AB為圓的直徑，C為圓上異于AB的一點，在保證AC、BC所在的直線斜率存在且不為0的前提下，有kAC·kBC=-1。我們可以引導(dǎo)學(xué)生思考這樣一個問題：

已知A、B為橢圓C：上關(guān)于原點對稱的兩點，且點C為橢圓上除點A、B以外的任意一點，在保證AC、BC所在的直線斜率存在且不為0的前提下，kAC·kBC會不會也是一個定值呢？

我們可以證明猜想如下：設(shè)點A（m，n），B（-m，-n），C（x0，y0），由A、B、C三點均在橢圓上可得，兩式相減并變形得到，則，由此可證。并且可以看出當a=b時橢圓變圓，與圓的性質(zhì)一致。

再講到橢圓的“中點弦”問題時，我們可回顧初中學(xué)習(xí)的圓的垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦。表示如下：

B為圓O的一條弦（不是直徑），M為線段AB的終點，在OM、AB所在的直線斜率存在且不為0的前提下，有kOM·kAB=-1。我們可以引導(dǎo)學(xué)生思考如下問題：

已知A、B是橢圓上與0不在同一條直線上的兩點，M為線段AB的終點，那么在OM、AB所在的直線斜率存在且不為0的前提下，kOM·kAB會不會也是一個定值呢？

我們可以證明猜想如下：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由已知可得①，②，③，④。

由點差法①-②得，，變形得，將③④式帶入上式即，從而得到，即證。同樣，這樣的類似性質(zhì)我們可以在雙曲線中得到論證。

通過上述案例可以發(fā)現(xiàn)，在同級類比中，通過教師的引導(dǎo)，使學(xué)生證明出了新的結(jié)論，從而提高了學(xué)生的抽象概括能力，從而發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

新課標研制組負責(zé)人史寧中教授指出，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，也就是引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達世界。新課標指出，提升高中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，不僅要促進學(xué)生思維能力、實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展，而且要引導(dǎo)學(xué)生探索事物的變化規(guī)律，增強社會責(zé)任感，在學(xué)生形成正確人生觀、價值觀、世界觀等方面發(fā)揮獨特作用。數(shù)學(xué)抽象作為核心素養(yǎng)之一，值得廣大教師在課堂中予以關(guān)注。

參考文獻

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