摘? 要：目前，教師主要將“大概念”應用于整體知識教學的單元教學設計中，而忽視“大概念”在課時教學中的滲透. 然而，要想突出整體知識的教學，必須將“大概念”教學理念落實到課時教學的各個環(huán)節(jié)，需要在教師的教學主張，以及學生的知識形成、理解、應用過程中不斷滲透，才能使其潛移默化地轉變成學生的學習方式.

關鍵詞：大概念;課時教學;學習方式

新課程教學以單元教學設計為抓手，以“大概念”為設計視角，突出強調知識的整體性和學生學習的整體性.“大概念”可以幫助學生將各個知識點聯(lián)系起來.“大概念”作為教師教學的得力助手，發(fā)揮著“概念魔術貼”的作用. 但是，教師的具體課時設計（尤其是新授課）中往往很少出現(xiàn)“大概念”的身影，教學中更多的仍然是知識的羅列，長此以往，很可能又回到碎片化教學的老路. 很多教師雖然有單元設計知識聯(lián)系的熱情，但缺乏在課時教學中落實“大概念”的行動，新授課的設計仍是單元、課時兩張皮，學科“大概念”的統(tǒng)攝和引領作用沒有得到較好的滲透，知識的整體性未能凸顯. 對一線教師來說，課要一節(jié)一節(jié)上，不可能利用一節(jié)課完成一個單元的教學，單元教學設計是對單元的整體構想，具體落實要依賴每次課時教學中的不斷滲透. 分散到每節(jié)課如何滲透“大概念”，才是體現(xiàn)知識與學習整體性的關鍵，也是最需要落實的教學行動.

本文著重談談筆者對在新授課中滲透“大概念”教學的一些做法與體會，希望能引起大家探討的熱情，更希望提出批評意見，以便我們的研究能得到更好的發(fā)展.

一、在教學主張中滲透“大概念”

“大概念”教學是體現(xiàn)學科專家思維的教學，是教會學生如何進行思考的教學.“大概念”也被一些學者翻譯為“大觀念”. 應該說，“概念”的確是“大概念”的重要形式，但“大概念”不局限于此，它還包括“觀念”“論題”等含義.

教學主張是教師的學科教學觀念，對學生來說是最直接的“專家思維”. 因此，教師要有自己的學科教學理解，要把自己領悟到的專家思維，在課堂上不斷地滲透給學生，讓學生有一個行之有效的方法學習數(shù)學知識. 筆者認為，暴露思維和用數(shù)學方法論指導教學是有效的教學模式. 為此，筆者一直堅持師生相互暴露思維，在思維過程中教會學生思考;利用強、弱抽象，映射反演，CPFS理論演示數(shù)學知識的產(chǎn)生和研究過程. 現(xiàn)在看來，這和“大概念”教學理念不謀而合.

在新授課教學中不斷展現(xiàn)“特殊—一般—特殊”的探究過程，“具體—抽象”相互協(xié)同的思維過程，“既教猜想，又教證明”的推理論證過程，引導學生逐漸了解數(shù)學研究的“基本套路”.

在理解知識的過程中強調“舉個例子”幫助學生直觀形象地理解知識，“單個對象研性質，多個對象找關系”，促進學生對知識的擴散式理解，主動尋找研究對象.

在解題教學中提出“函數(shù)、不等式、方程是一家”“數(shù)形一體、動靜結合”，強化知識的聯(lián)結與轉化. 這些“大概念”的有機滲透會對學生產(chǎn)生潛移默化的影響，使得學生在遇到新情境、新問題時也會主動嘗試、大膽探究，形成自己的理解，觸動個性化“學生‘大概念’（知識理解、方法、理念）”的生成，進而能在較大范圍內(nèi)解決數(shù)學問題，將離散的知識結構化.

二、在知識形成的過程中滲透“大概念”

數(shù)學知識的形成過程是人們對數(shù)學知識逐步深入、連續(xù)理解的過程，往往是漫長的. 在這個過程中會不斷出現(xiàn)“大概念”的身影，教師要善于捕捉隱藏在歷史中的“大概念”，并在教學過程中適當還原歷史進程，用知識發(fā)展的連續(xù)性增強學生的全局觀和正確的學科發(fā)展觀.

函數(shù)概念的形成過程是極為典型的“大概念”滲透過程. 人類從原始的結繩計數(shù)抽象出數(shù)字，從數(shù)字抽象出字母，再抽象出變量，進而抽象研究兩個變量之間的依賴關系，隨后發(fā)展成變量對應說、集合映射說. 在這個過程中，進行了連續(xù)的數(shù)學弱抽象，形成了不斷擴張的“大概念”，概念的適用對象不斷擴充，概念也不斷精確、精致. 后來，又進一步抽象到廣義函數(shù)，形成分布理論、函數(shù)空間與拓撲，以及泛函分析中的變換、同胚、算子等重要而基本的概念.

在“函數(shù)概念”的新授課中，教師可以借助歷史上的典型函數(shù)[y=1，y=1，x∈Q，0，x∈?RQ，] 將初中的函數(shù)變量說概念抽象為上位的集合對應說，適當再現(xiàn)“大概念”的形成過程，體現(xiàn)“大概念”對知識屬性的提煉、抽象功能，讓學生感悟到數(shù)學“大概念”自覺修正和主動擴張的開放性，體悟數(shù)學概念的創(chuàng)新方式，培養(yǎng)學生自我追尋“大概念”的學習能力.

學生在“大概念”的形成中解決迫切需要解決的問題，主動建構有明確意義的知識，這樣的知識更容易被學生認同、接受，以及長期保留.

基于“大概念”的統(tǒng)攝引領，不同歷史發(fā)展階段對同一知識的理解也會出現(xiàn)不一樣的視角，借助歷史發(fā)展豐富知識的理解方式，有利于學生形成深刻的圖式理解，構建擴散的知識網(wǎng)絡.

在學習“點到直線的距離”時，根據(jù)歷史上的一些證明方法，在教學中我們可以借助學生對“距離”這個“大概念”的理解，突破證明的教學難點，如下表所示.

在“距離”這個“大概念”的統(tǒng)領下，上述方法之間相互關聯(lián)，其中方法2、方法5和方法7是相通的，可以相互溝通促進學生的理解.

通過“大概念”的教學組織，借助“大概念”的統(tǒng)攝發(fā)散功能和小概念的反哺作用，學生很容易形成各種想法，得到視角不一的問題解決方案，同時強化了上、下位知識間的聯(lián)結，構建了層次豐富、多向延伸的知識網(wǎng)絡，促進了學生對所學知識的立體化理解. 通過“大概念”將分散的數(shù)學知識串珠成鏈，豐富學生問題解決的途徑，推動學生對數(shù)學知識的整體理解. 借助“大概念”在知識形成中的有機滲透，促進學生由知識的解讀式學習向知識的建構式學習轉變，由單調膚淺的練習式學習向豐富深刻的實踐式學習轉變.

三、在知識理解的過程中滲透“大概念”

數(shù)學知識的理解是一個系統(tǒng)性工程，需要相關知識的前聯(lián)后鋪，在這個過程中，知識聯(lián)結越廣泛越能形成深刻理解，越能形成四通八達的知識網(wǎng)絡，越能建立結構穩(wěn)定、有序合理的知識框架，在應用的過程中越容易被激發(fā)和帶動.

數(shù)學概念的學習過程是“大概念”滲透最有力的過程. 在概念的形成和理解過程中必然會促進對上位“大概念”的理解，在與其他并列概念的組合關聯(lián)中必然會綜合應用上位“大概念”和產(chǎn)生新的下位“小概念”. 概念的理解過程，就是一個以所學概念為結點的上、下位知識聯(lián)結的過程，也是知識不斷向外擴散的過程，是一個以“大概念”為統(tǒng)領知識緊密關聯(lián)的過程，是知識結網(wǎng)、整體學習的過程.

首先，挖掘概念的等價形式和構成要素間的等價變換，形成同位概念，將單一的概念抱成“團”，以豐富的概念表達來體現(xiàn)“大概念”的“大”. 例如，向量數(shù)量積：兩個向量[a，b]的模及其夾角[θ]余弦的乘積[?][?][a · b=abcosθ?a · b=x1x2+y1y2.] 這就實現(xiàn)了文字定義、符號表達、坐標表示三者間的等價轉換，應用時可以根據(jù)不同的背景選擇恰當?shù)男问? 從要素的組合變換上，可得[a · b=abcosθ=abcosθ=][acosθb=bacosθ=b · a，] 輕松證明了交換律. 量的不同組合，可以帶來不同理解，產(chǎn)生不同的性質，同時隱藏著向量投影、模的乘積、夾角等下位概念;[cosθ=a · bab=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22]體現(xiàn)了夾角與數(shù)量積兩種形式的聯(lián)系，加強了不同形式定義之間的關聯(lián)，深刻了向量方向的內(nèi)涵;[acosθ=a · bb， bcosθ=][a · ba]自然帶出了下位概念向量投影的代數(shù)形式，為解釋幾何意義做好了鋪墊. 概念的等價變換，展現(xiàn)了概念的不同側面，豐富了概念的表現(xiàn)形式，增加了概念的“觸角”，為概念的生長提供了多種可能，有助于對概念的整體理解.

其次，借助“大概念”的統(tǒng)攝和引領功能，從“大概念”的構成要素出發(fā)，自覺分析所學概念在這些要素上的表現(xiàn)，加強對所學概念性質的挖掘，促進深刻理解，提升概念的應用價值. 從“向量”這個“大概念”考察，我們就容易從方向（夾角）、大?。＃﹣硌芯繑?shù)量積，形成一些新的性質（下位概念）. 從方向上考慮：[a，b]同向[?][a · b=ab，] [a，b]反向[?][a · b=-ab，] [a，b垂直?a · b=0.][?] 從模的關系考慮：[a=b?a · b=a2=a2， a=1?a · b=bcosθ]（投影的幾何意義）. 借助“大概念”的組成要素所提供的研究方向，通過強抽象的方式探究概念的性質，形成新的“小概念”，使所學概念變得更加飽滿，應用也更加廣泛，同時“大概念”的統(tǒng)攝對象也隨之豐富.

最后，借助“大概念”統(tǒng)攝下并列概念的相互融合，橫向拓展所學概念的價值，擴充“大概念”的內(nèi)容，創(chuàng)新“大概念”的性質，形成新的綜合性“小概念”，增強所學概念的輻射功能. 在“向量運算”這個“大概念”的統(tǒng)攝下，將數(shù)量積與加減、數(shù)乘融合，就很自然地形成了[a±b ? c=a ? c±b ? c， λ±μ ? c=][λc±μc， λa ? b=][λa ? b， λμ ? a=λμa=μλa]等運算法則，以及[a+b2=a2+2a ? b+b2， a+b ·][?a-b=a2-b2]等運算公式. 在證明相關性質時，站在“向量”這個“大概念”的角度，自然也會有數(shù)形雙視角. 例如，[a+b ? c=a ? c+b ? c]的證明. 教材用了投影和相等的幾何視角，如果用坐標化的代數(shù)視角，設[a=x1，y1，b=x2，y2，c=x3，y3，] 則[a+b ?c=x1+x2 ·][x3+y1+y2y3=x1x3+y1y3+x2x3+y2y3=a ?c+b ? c.] 比幾何方法更容易想到. 通過并列概念之間的融合，可以促進對幾個概念的綜合理解，產(chǎn)生多種研究對象，既能提升學生對知識的整體認知，又能提高學生解決新問題的能力. 在“大概念”下實行知識之間的跨界融合，更能形成創(chuàng)新的研究對象. 有了“大概念”的引領，學生的學習空間會得到極大的拓展，這種拓展促進了學生的主動思考，給學生帶來了精神震撼和心理滿足.

四、在知識的應用過程中滲透“大概念”

學生學習能力的強弱主要體現(xiàn)在知識遷移水平上，把所學知識應用到新情境中的能力就是遷移. 遷移的關鍵是形成知識關聯(lián)，學生的知識關聯(lián)越廣、越深刻，形成的知識網(wǎng)絡就越牢固、越豐富，知識遷移就越容易發(fā)生.“大概念”就是學生認知網(wǎng)絡中極重要的穩(wěn)固結點，是激活其他知識的關鍵，是學生理解新知識的有力抓手，也是學生形成創(chuàng)新能力的核心力量.

在新授課的知識應用和例題學習過程中滲透“大概念”，既可以強化學生對新學知識的理解，也能在“大概念”知識的聯(lián)結中促進學生對其他知識的理解與融合，促進知識網(wǎng)絡的主動建構，增強知識的整體性和靈活性. 例如，在“向量基本定理”中有一道非常經(jīng)典的例題.

從“大概念”出發(fā)，首先讓學生豐富等價知識，從而增強對所研究問題各種表達形式的理解和聯(lián)系. 在“大概念”的指引下，學生經(jīng)過討論，形成了比教師最初構想更豐富的等價聯(lián)結，如圖1所示.

在原問題的解決過程中，學生依據(jù)“大概念”的指導，分別從向量基本定理、向量運算這兩個上位概念，形成了不同的解法. 作CE平行于OA，交OB于點E，簡解如圖2所示.

整個解題過程由于有“大概念”的參與，思路的形成非常自然、便捷，同時使學生對上位概念的理解有了提升，特別是加強了不同上位概念之間的勾連，形成了一個相互連通的整體網(wǎng)絡，為知識的提取提供了更大的空間和可能. 學生還聯(lián)想了原問題的并列知識，并激發(fā)形成了具有統(tǒng)攝作用的“大概念”知識譜系，甚至創(chuàng)新了“大概念”. 課堂上師生相互激發(fā)形成的“大概念”教學譜系圖如圖3所示.

學生通過“大概念”的引領，改變[λ，μ]的線性關系，促進了深度學習的開展，深入理解了各種代數(shù)變化的圖形內(nèi)涵，建立了完美的數(shù)形聯(lián)系. 值得一提的是，有學生創(chuàng)新地提出了[λ2+μ=1，] 瞬間激發(fā)了教師對一般曲線的聯(lián)想，進一步提升了“大概念”的層次.

知識應用階段的每一次“大概念”教學，都是不斷強化知識聯(lián)系的過程，也是對知識內(nèi)核進一步提升的過程，是師生形成整體認知最明顯的過程，是解題教學最為便捷有效的過程. 基于“大概念”的知識應用教學，是最能觸動學生參與的教學方式，是最能觸摸知識本質、形成深刻理解，構建聯(lián)結廣闊、提取自如、開放有序的知識網(wǎng)絡，建立有個性、有深度的知識體系與思想方法的教學方式.

在“大概念”教學中，教師不再是學科知識的傳聲筒，而是學科專家思維的領悟者、實踐者，是學生學習專家思維的領路人、合伙人. 在教學中，教師不僅要有“大概念”設計教學的意識，更要有用“大概念”組織學生學習的能力，要在每節(jié)課、每個學習節(jié)點設計有利于學生使用、提煉“大概念”的環(huán)節(jié)，加強知識的主動生成，不斷培養(yǎng)學生知識的整體性、認知的連貫性、學習的可持續(xù)性，提升學生解決數(shù)學問題的能力，增強學生以數(shù)學知識解決現(xiàn)實問題和跨學科問題的能力，將培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)落實在教學的每個細節(jié)上.

參考文獻：

[1]格蘭特·威金斯，杰伊·麥克泰格. 追求理解的教學設計（第二版）[M]. 閆寒冰，宋雪蓮，賴平，譯. 上海：華東師范大學出版社，2017.

[2]章建躍. 數(shù)學學科核心素養(yǎng)導向的“單元—課時”教學設計[J]. 中學數(shù)學教學參考（上旬），2020（5）：5-12.

[3]章建躍. 數(shù)學學科核心素養(yǎng)導向的“單元—課時”教學設計（續(xù)）[J]. 中學數(shù)學教學參考（上旬），2020（6）：6-12.

[4]孫元勛.“函數(shù)的基本性質”單元—課時教學設計[J]. 中小學數(shù)學（高中版），2020（1）：1-5.

[5]劉國祥，姚為榮. 數(shù)學“大概念”視角下的單元教學設計：以“向量的概念及其運算”為例[J]. 高中數(shù)學教與學，2020（8）：1-4.

[6]劉薇，徐玲玲.“大概念”和“大概念”教學[J]. 上海教育，2020（4）：28-33.

[7]侯寶坤. 研讀向量基本定理，構造創(chuàng)新試題[J]. 數(shù)學通訊（下半月），2017（3）：58-60.