陳扣紅

[摘 要]不知什么時(shí)候，數(shù)量關(guān)系式已經(jīng)悄悄淡出課本，學(xué)生解應(yīng)用題已不再分析數(shù)量關(guān)系，而是憑借直觀經(jīng)驗(yàn)或者運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解題，因?yàn)樾W(xué)階段的數(shù)量關(guān)系很簡(jiǎn)單，一旦憑借運(yùn)算意義和性質(zhì)不管用時(shí)，馬上有萬(wàn)能的方程來(lái)接盤(pán)，因此，數(shù)量關(guān)系式的消亡似乎不可阻擋。正是數(shù)量關(guān)系的缺位，導(dǎo)致一些本來(lái)很簡(jiǎn)單的題目變成了難題，而數(shù)量關(guān)系的復(fù)位將讓難題不再難。

[關(guān)鍵詞]數(shù)量關(guān)系;復(fù)位;石油提煉石蠟

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）23-0034-02

筆者偶然讀到一篇教研論文《從“石油提煉石蠟”說(shuō)起》，文中詳細(xì)地介紹了作者是怎么靈活運(yùn)用“以退為進(jìn)”的策略和計(jì)謀，借助“列表”的具體手段，來(lái)幫助學(xué)生厘清“石油提煉石蠟”問(wèn)題的解題思路的。但區(qū)區(qū)一個(gè)“石油提煉石蠟”問(wèn)題為何難如登天，破解這類(lèi)難題的“王牌武器”是什么，似乎語(yǔ)焉不詳，非常有必要做進(jìn)一步的探討。本文沿循作者的思路繼續(xù)深入研究這個(gè)問(wèn)題。

一、問(wèn)題難解原因

“用4噸的石油可以提煉1.6噸石蠟。照這樣計(jì)算，1噸的石油可以提煉多少?lài)嵤?？要提?噸石蠟需要多少?lài)嵤?？”（注：本題數(shù)據(jù)未經(jīng)科學(xué)考證，石油提制石蠟的出產(chǎn)率約為16%，而題中的出產(chǎn)率高達(dá)40%，可能為了便于計(jì)算故意為之）這是作者原文中的例子，也是一個(gè)讓學(xué)生抓狂的問(wèn)題，有的學(xué)生直到小學(xué)畢業(yè)也沒(méi)有真正掌握。在小學(xué)低年級(jí)學(xué)生的運(yùn)算程序里，默認(rèn)了整數(shù)，習(xí)慣接受整數(shù)的輸入、輸出和運(yùn)算，而且受平均分除法意義的影響，覺(jué)得只有大的數(shù)才能作為被除數(shù)和被減數(shù)，小的數(shù)只能作為除數(shù)和減數(shù)，也就是只能將大的數(shù)不斷分割出相等的小數(shù)（包含除），從大的數(shù)里拿出小的數(shù)。這種思維方式深植于學(xué)生的腦海中，其作為低年級(jí)學(xué)生直觀形象思維產(chǎn)物的代表，有其合理性，因?yàn)楫吘股罱?jīng)驗(yàn)中很多物品在分配分裝時(shí)的確是每份數(shù)不能超過(guò)總數(shù)，在扣減物品時(shí)，也只能拿走比總數(shù)少的物品量，這種長(zhǎng)期積累的生活經(jīng)驗(yàn)會(huì)作用于直觀操作，投射到形象思維中，難以磨滅。但是隨著年級(jí)的升高，數(shù)域不斷豐富和擴(kuò)充，數(shù)字家族中不斷增加新成員，除了原有的整數(shù)序列，又喜迎小數(shù)、分?jǐn)?shù)的到來(lái)，到了中高年級(jí)的分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系，已明確一個(gè)分?jǐn)?shù)可以用來(lái)表示除法算式的商，被除數(shù)寫(xiě)作分子，除數(shù)寫(xiě)成分母，此時(shí)，由于真分?jǐn)?shù)的分子小于分母的分?jǐn)?shù)基本意義的推波助瀾，小的數(shù)除以大的數(shù)就變得天經(jīng)地義、合情合理了，這就突破甚至是顛覆了學(xué)生狹隘的生活經(jīng)驗(yàn)。一下子失去生活經(jīng)驗(yàn)的對(duì)照，學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)難免就會(huì)“瞎蒙”。

二、教材編排疏漏

對(duì)于剛剛進(jìn)入數(shù)學(xué)殿堂的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，從整數(shù)到小數(shù)再到分?jǐn)?shù)，每一次數(shù)域的擴(kuò)充和豐富不單單是一次數(shù)域的“充血”，更是眼界的開(kāi)闊和認(rèn)知方式的更新升級(jí)，是對(duì)原有生活經(jīng)驗(yàn)的一次次解體和重構(gòu)。

一般來(lái)說(shuō)，教材在例題安排上更偏向于對(duì)新數(shù)意義的詮釋?zhuān)鲆晫?duì)學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的順承和改造升級(jí)。如“石油提煉石蠟”問(wèn)題充其量就是一個(gè)習(xí)題，許多教師不會(huì)多加關(guān)注，也不會(huì)詳解，而學(xué)生的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)仍停留于“整數(shù)運(yùn)算”階段，沒(méi)有得到及時(shí)解構(gòu)和重建，這使得“瞎蒙”的現(xiàn)象得不到改變。這種不良現(xiàn)象，在近10年大幅度弱化數(shù)量關(guān)系提法的背景下，愈演愈烈。與“石油提煉石蠟”問(wèn)題相似的，還有這樣的“行程問(wèn)題：劉翔[16]小時(shí)走了[34]千米。照此算法，他1小時(shí)可以走多少千米？他走1千米需要幾小時(shí)？

三、解決之道

因?yàn)槭恰半y題”，又有些刁鉆，沒(méi)有現(xiàn)成的章法可依，亦沒(méi)有成熟的公式可以套用，所以教學(xué)中教師自由發(fā)揮的余地很大，紛紛放出“大招”。比如原文中提到的兩種解題方法是“妙招”，能速成，但缺點(diǎn)也很明顯：對(duì)于沒(méi)有數(shù)量關(guān)系來(lái)輔助理解的學(xué)生而言，短時(shí)記住不成問(wèn)題，但時(shí)間一久就極易遺忘，或者是在句型語(yǔ)法有變時(shí)，同樣會(huì)張冠李戴。于是，原文作者對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的教學(xué)進(jìn)行改進(jìn)：將“石油提煉石蠟”問(wèn)題與蘇教版教材的“列表策略”（如表1）有機(jī)結(jié)合起來(lái)。

根據(jù)第一行的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求1噸石油能提煉多少?lài)嵤灒瑒t將1.6噸石蠟縮小4倍;求提煉1噸石蠟需要多少?lài)嵤?，則將4噸石油縮小1.6倍，即用同時(shí)縮小的方法分別求得結(jié)果。如果將此法嫁接到“行程問(wèn)題”中，則列表如下：

顯然，再用同時(shí)縮小的方法求解已經(jīng)喪失合理性?？梢?jiàn)，列表策略有很大的局限性。其實(shí)，無(wú)論是原文中呈獻(xiàn)的兩個(gè)“妙招”，還是“列表策略”，都是撇開(kāi)數(shù)量關(guān)系后另起爐灶，基本模式是按照比例性質(zhì)將兩個(gè)量轉(zhuǎn)化成比例，通過(guò)同步擴(kuò)大或縮小比例前后項(xiàng)來(lái)達(dá)到將其中某一項(xiàng)“歸一”的目的。而解決這類(lèi)問(wèn)題最能標(biāo)本兼治、一勞永逸的做法恰恰是分析基本的數(shù)量關(guān)系。具體到“石油提煉石蠟”問(wèn)題，可以借助平均數(shù)的思想來(lái)理解：求1噸石油能提煉多少?lài)嵤?，就是求“平均每噸石油含有多少石蠟……用總?shù)（石蠟質(zhì)量）除以石油質(zhì)量（份數(shù)）;求提煉1噸石蠟需要多少?lài)嵤停褪乔蟆懊繃嵤灐昂小倍嗌賴(lài)嵤汀?，用石油的質(zhì)量（總數(shù)）除以石蠟的質(zhì)量（份數(shù)）。因?yàn)橹皩W(xué)生對(duì)平均數(shù)的算術(shù)原理了如指掌，因此可以在已有經(jīng)驗(yàn)和新經(jīng)驗(yàn)之間平穩(wěn)過(guò)渡。

這個(gè)方法對(duì)于時(shí)間和路程都是分?jǐn)?shù)的“行程問(wèn)題”也同樣管用。求1小時(shí)可以走多少千米，就是求“每小時(shí)平均分配到多長(zhǎng)的路程”，用路程總數(shù)除以小時(shí)數(shù);求走1千米需要幾個(gè)小時(shí)，就是求“每千米的路程平均分配到所少時(shí)間”，用總時(shí)間數(shù)除以千米數(shù)。涉及小數(shù)、分?jǐn)?shù)的提煉石蠟問(wèn)題和行程問(wèn)題，與小學(xué)生的直接生活經(jīng)驗(yàn)差距甚大，小學(xué)生僅憑有限的、粗淺的生活經(jīng)驗(yàn)的確難以窺其奧妙。但教師可以另辟蹊徑，借助學(xué)生已有的求平均數(shù)的算術(shù)經(jīng)驗(yàn)，來(lái)分析問(wèn)題，揭示一條定律：無(wú)論問(wèn)題的數(shù)據(jù)如何設(shè)計(jì)，小數(shù)也好，分?jǐn)?shù)也罷，數(shù)量關(guān)系是永恒的。正所謂“萬(wàn)變不離其宗”，數(shù)學(xué)教育就是要抓住恒久不變的支配規(guī)律，以不變應(yīng)萬(wàn)變。

四、教學(xué)啟示

一是要豐富學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)包括生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，前者源自他們對(duì)生活事件的感受和對(duì)事物的觀察，后者源自長(zhǎng)期訓(xùn)練形成的數(shù)學(xué)思維能力。小學(xué)低年級(jí)的許多實(shí)際問(wèn)題的解決主要憑靠直觀操作和直接經(jīng)驗(yàn)，但隨著年級(jí)的升高，生活經(jīng)驗(yàn)的效能慢慢消減，而數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的效能則慢慢凸顯。尤其是每逢數(shù)域擴(kuò)充時(shí)，學(xué)生認(rèn)識(shí)了新數(shù)，不代表其生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)也及時(shí)配套跟進(jìn)。而相對(duì)于“石油提煉石蠟”，教師還可以聯(lián)系“面粉炸油條”“玉米制作淀粉”等，以豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

二是重視分析數(shù)量關(guān)系。數(shù)量關(guān)系是解題的行動(dòng)綱領(lǐng)，各種解題竅門(mén)和技法都是遵照這一綱領(lǐng)制訂的“作戰(zhàn)計(jì)劃”。只有重視數(shù)量關(guān)系的分析，學(xué)生才能完全掌握解題的訣竅和命門(mén)，才能真正做到游刃有余。同時(shí)，這也是提升生活經(jīng)驗(yàn)，使生活經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)型升華為數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的必經(jīng)之路。只有這樣，“石油提煉石蠟”的頑疾才會(huì)得到根除。

（責(zé)編 黃春香）