姜全德

(廣東輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院 財(cái)貿(mào)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室，廣東 廣州 510300)

近年來(lái)，很多學(xué)者研究了連續(xù)或離散情況下的捕食系統(tǒng)[1-15]. 同時(shí)，時(shí)標(biāo)理論也吸引了不少學(xué)者.2006 年，Bohner 等在文獻(xiàn)[1]中首次應(yīng)用重合度延拓定理研究了時(shí)標(biāo)上微分方程的周期解的存在性問(wèn)題.目前，關(guān)于時(shí)標(biāo)上研究捕食系統(tǒng)的周期解已有不少結(jié)果[2-3,9,14].

2009 年，Wang 等在文獻(xiàn)[2] 中研究了以下捕食系統(tǒng)

其中x(t),y(t) 分別表示食餌和捕食者的密度，ri,bi,ci都是正的周期為 ω 的函數(shù)，分別為幼年食餌的內(nèi)蘊(yùn)增長(zhǎng)率、俘獲率、成年捕食者的自然死亡率；k＞0,0 ＜m≤1.

如果系統(tǒng)在人為干預(yù)情況下，有投放食餌和捕獲捕食者的情況，又因現(xiàn)實(shí)生活中各種現(xiàn)象存在時(shí)間延遲，所以考慮時(shí)滯因素. 系統(tǒng)（1）可以寫(xiě)成

其中s(t),h(t) 都是正的周期為 ω 的函數(shù)，分別表示食餌種群的投放率和捕食種群的收獲率.

本文將在時(shí)標(biāo)上研究下列系統(tǒng)

的多周期解的存在性問(wèn)題，其中 T 為任意時(shí)標(biāo).

如果令x(t)=exp(u1(t)),y(t)=exp(u2(t))， 當(dāng) T =R ( 實(shí)數(shù)集)時(shí)，系統(tǒng)（3）就變成了系統(tǒng)（2）.當(dāng) T =Z(整數(shù)集)時(shí)，系統(tǒng)（3）就變成了離散系統(tǒng)

1 預(yù)備知識(shí)

2 主要結(jié)果

首先定義

3 總結(jié)

本文研究時(shí)標(biāo)上具有捕獲率和投放率的 Holling-Ⅲ 型捕食系統(tǒng)，考慮了時(shí)滯效應(yīng)，基于時(shí)標(biāo)Mawhin重合度理論方法，得到了系統(tǒng)至少有一個(gè)正周期解.