施 雨，耿 滔

（1．上海理工大學(xué) 上海市現(xiàn)代光學(xué)系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200093；2．上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算計(jì)工程學(xué)院，上海 200093）

引 言

2007年，有限能量的艾里光束（Airy beam,AB）第一次被提出并實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)[1-2]，經(jīng)過(guò)不斷地研究，發(fā)現(xiàn)其擁有無(wú)衍射、自加速、自修復(fù)等特點(diǎn)[3-6]。隨后，研究者將AB作了徑向?qū)ΨQ處理[7-8]，產(chǎn)生了圓艾里光束（circular Airy beam, CAB）并發(fā)現(xiàn)CAB具有獨(dú)特的自聚焦特性，具體表現(xiàn)是光束在焦點(diǎn)前能保持相當(dāng)?shù)偷膹?qiáng)度分布，但是在能量傳播到焦點(diǎn)時(shí)光強(qiáng)會(huì)突然提升至數(shù)十甚至數(shù)百倍。CAB也因?yàn)檫@種獨(dú)特的性質(zhì)在生物醫(yī)學(xué)、激光加工等領(lǐng)域有著巨大的潛在應(yīng)用價(jià)值[9-15]，而自聚焦焦斑的峰值強(qiáng)度、焦斑的大小和位置對(duì)這些應(yīng)用有著至關(guān)重要的影響。

目前，已經(jīng)有很多研究者在提升CAB自聚焦能力的方向做出了努力。Lin等[16]發(fā)現(xiàn)去除CAB初始面的主光環(huán)，能增強(qiáng)光束的自聚焦能力；Deng等[17]發(fā)現(xiàn)在CAB的頻譜面采用高通濾波的方法可以更好地改善光束的自聚焦能力；最近，我們發(fā)現(xiàn)與高通濾波相比，在頻譜面引入高斯包絡(luò)調(diào)制，能夠使得光束的自聚焦能力獲得進(jìn)一步提升[18]。可見(jiàn)光的光源雖然更易獲得，但目前CAB的研究主要集中在傍軸近似區(qū)域，即自聚焦焦距遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于光束截面半徑。而自聚焦焦距與光波的波長(zhǎng)成反比，即波長(zhǎng)增大，焦距減小。因此，當(dāng)波長(zhǎng)增大到太赫茲頻段時(shí)，可以有效地縮短自聚焦焦距，焦距與光束截面半徑大小相當(dāng)，光波的傳播由傍軸區(qū)域邁向離軸區(qū)域，且此時(shí)CAB的初始光場(chǎng)分布具有與波長(zhǎng)尺度相當(dāng)甚至小于波長(zhǎng)的精細(xì)結(jié)構(gòu)，由于焦距的減小，光束的會(huì)聚角增大，可獲得強(qiáng)度更大的焦點(diǎn)強(qiáng)度。對(duì)于可見(jiàn)光而言，波長(zhǎng)遠(yuǎn)小于初始光斑的空間結(jié)構(gòu)，因此其頻譜都在傳輸波頻率范圍內(nèi)。而對(duì)于太赫茲波而言，其波長(zhǎng)與初始光斑的空間結(jié)構(gòu)已處于同一數(shù)量級(jí)，特高頻分量已進(jìn)入倏逝波頻段，無(wú)法傳播到遠(yuǎn)場(chǎng)，因此與可見(jiàn)光只需要低頻濾波不同，太赫茲波需要同時(shí)濾去低頻和特高頻分量才能有效地提升光束的自聚焦能力。He等[19]將工作波長(zhǎng)從可見(jiàn)光移到了太赫茲波段，使得初始光束具有了接近波長(zhǎng)尺寸甚至亞波長(zhǎng)尺寸的光強(qiáng)分布空間結(jié)構(gòu)，光束的自聚焦焦斑尺寸接近了波長(zhǎng)數(shù)量級(jí)。

本文將上述兩種方法相結(jié)合，將工作波長(zhǎng)移到太赫茲波段，考慮到頻譜分布的不對(duì)稱性，在頻譜面引入高通濾波器（high-pass filter, HPF），以減少光束的低頻分量。同時(shí)，由于太赫茲CAB在初始面具有亞波長(zhǎng)的空間結(jié)構(gòu)，使得特高頻分量進(jìn)入到倏逝波范圍，無(wú)法傳輸?shù)竭h(yuǎn)場(chǎng)，因此本文又引入低通濾波器（low-pass filter, LPF），濾去特高頻分量。這樣HPF和LPF共同組成了帶通濾波器（band-pass filter, BPF）。以下將HPF調(diào)制的CAB簡(jiǎn)稱為HCAB，BPF調(diào)制的CAB簡(jiǎn)稱為BCAB。本文詳細(xì)探討了CAB經(jīng)BPF濾波后的光束自聚焦特性，并與HPF的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果發(fā)現(xiàn)使用BPF確實(shí)可以增強(qiáng)CAB的聚焦特性，且比單獨(dú)使用HPF的結(jié)果更好。在合適的參數(shù)下，BPF調(diào)制后的聚焦強(qiáng)度可提高至CAB的7倍，半高全寬也有所改善，且可實(shí)現(xiàn)焦距的控制，所以該方法是一種提高太赫茲CAB自聚焦性能的有效方法。本文的研究以期能對(duì)太赫茲成像和太赫茲光譜領(lǐng)域的研究提供有益的參考。

1 理 論

CAB在入射平面處的電場(chǎng)表達(dá)式為[17]

式中： E0為振幅常數(shù)； A i(?) 為艾里函數(shù)； r0為主光環(huán)的半徑； ω 為控制光斑寬度； α 為指數(shù)截?cái)嘁蜃樱?r 為圓坐標(biāo)。

目前由于CAB在頻譜面上還沒(méi)有確切的解析式，因此研究通常使用Hankel變換方法獲得數(shù)值解，表達(dá)式為

2 模擬分析

圖1 HPF（實(shí)線）和BPH（橫線）的函數(shù)示意圖Fig.1 The function of HPF（solid line）and BPH（dash line）

圖2 CAB（實(shí)線）、HCAB（點(diǎn)線）和BCAB（短橫線）的能量歸一化傅里葉頻譜圖Fig.2 Energy normalized Fourier spectrum of CAB（solid line）, HCAB（dotted line）, and BCAB（short dash line）

根據(jù)式（3），令z=0可以得到初始平面處CAB、HCAB、BCAB的強(qiáng)度分布，其強(qiáng)度隨初始平面上的徑向距離 r 變化而變化如圖3所示。其中， kH=1.35 和 kL=1.88 保持不變，圖3（a）中 βH=βL=40 ，圖3（b）中 βH=15 ， βL=13 。顯然，HCAB和BCAB的最大強(qiáng)度遠(yuǎn)小于CAB，HCAB強(qiáng)度最小。由于來(lái)自調(diào)制函數(shù)的衍射效應(yīng)，有一段小的峰出現(xiàn)在HCAB和BCAB的第一個(gè)環(huán)之前。HCAB和BCAB最大強(qiáng)度的位置移動(dòng)到后面的峰。HCAB和BCAB第8個(gè)峰成為最高峰。BCAB中有近5個(gè)峰，相較于HCAB和CAB有更少的峰值。（a）、（b）對(duì)比可以看出βH和 βB的不同會(huì)對(duì)初始平面有影響，當(dāng) βH和 βL較大時(shí)，相比選取小的參數(shù)，隨著半徑越來(lái)越大，HCAB會(huì)出現(xiàn)不規(guī)則的鋸齒段，這是由于 βH和 βL的取值過(guò)大引起的。

圖3 初始平面處CAB（實(shí)線）、HCAB（點(diǎn)線）和BCAB（短橫線）的強(qiáng)度分布Fig.3 The intensity distributions of CAB（solid line）,HCAB（dotted line）, and BCAB（short dash line）on the initial plane

CAB、HCAB和BCAB在數(shù)值模擬中的傳播強(qiáng)度曲線如圖4所示，為了清楚地顯示傳播特性，對(duì)其做了對(duì)數(shù)處理。圖中CAB最重要的自聚焦特性在HCAB和BCAB中仍然保持不變。但是通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，HCAB和BCAB的焦點(diǎn)位置都發(fā)生了變化，相較于CAB能在更近的位置聚焦。更為有趣的是，當(dāng)在傅里葉空間中減小高頻的部分空間頻譜時(shí)（見(jiàn)圖4（b）、（c）），焦斑縱向長(zhǎng)度也隨之減小，焦斑長(zhǎng)度與初始環(huán)數(shù)成正比。與（a）、（b）相比，（c）中光束匯聚到焦點(diǎn)的能量更多。

圖4 CAB，HCAB和BCAB在自由空間中的傳播強(qiáng)度Fig.4 Propagation intensity of CAB, HCAB and BCAB in free space

CAB焦點(diǎn)在z = 12 mm處，模擬計(jì)算可知βH和 βB的變化對(duì)焦點(diǎn)的位置沒(méi)有太大影響，而隨著 kH和 kL的變化，HCAB和BCAB焦距的變化可以從圖5表現(xiàn)。顯然，隨著 kH和 kL的增大，HCAB和BCAB焦距不斷減小。其中，BCAB的 焦距始終小于CAB。

圖5 不同參數(shù)下調(diào)制得到的焦點(diǎn)位置Fig.5 The focus position obtained by modulation under different parameters

在實(shí)際應(yīng)用中，焦點(diǎn)處的峰值強(qiáng)度是一個(gè)極其重要的參數(shù)。通過(guò) ( IHCAB)max/(ICAB)max和(IBCAB)max/(ICAB)max反映調(diào)制后不同參數(shù)下光束的聚焦能力，其中 ( ICAB)max、 ( IHCAB)max和 (IBCAB)max分別表示CAB、HCAB和BCAB的焦斑最大光強(qiáng)。如圖6所示，圖6（a）中HCAB的焦點(diǎn)光強(qiáng)隨著 kH的變大不斷增強(qiáng)，同時(shí) βH變大其強(qiáng)度也隨之增大，但是不如 kH敏感。當(dāng) kH超過(guò)1.35時(shí)，強(qiáng)度開(kāi)始減小，即HCAB想要增強(qiáng)聚焦強(qiáng)度，并不意味著一直增大 kH。（b）中BCAB的焦點(diǎn)強(qiáng)度最大值在 kL取1.8到2之間，并且強(qiáng)度隨著βL的增大而增大，但是并不明顯，其中 kL=1.88為極值點(diǎn)。所以，雖然更大的 βH與 βL意味著更好的聚焦特性，但是基于實(shí)際應(yīng)用考慮， βH與βL不能取值過(guò)大，故選取參數(shù) kH=1.35 ， βH=15 ， kL=1.88 ， βL=13 。（a），（b）對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，BCAB的聚焦特性比CAB增大了7.46倍，HCAB僅5.28倍，即為了獲取更大的聚焦強(qiáng)度，BPF的調(diào)制效果比HPF要好。Deng等[17]發(fā)現(xiàn)HPF的調(diào)制效果要優(yōu)越于BPF，與本文結(jié)果相反，這是由于波長(zhǎng)的不同。與可見(jiàn)光相比，在THz波段大量能量聚集在倏逝波段，無(wú)法傳播到遠(yuǎn)場(chǎng)，造成了能量的消耗。而B(niǎo)PF將能量從倏逝波向前轉(zhuǎn)移，減少了能量的消耗，增大了聚焦特性，故在THz波段BPF更有效果。

圖6 不同參數(shù)下調(diào)制后模擬得到的突然自聚焦能力Fig.6 Abruptly autofocusing capability obtained by simulation after modulation under different parameters

假 設(shè) Imax和 ( I0)max分 別 表 示CAB，HCAB和BCAB任一橫截面上的最大強(qiáng)度和初始平面的最大強(qiáng)度。突然自聚焦能力可通過(guò) Imax/(I0)max分析，其隨著z的變化而變化的 Imax/(I0)max如圖7所示。CAB，HCAB和BCAB的焦距分別為12 mm，8.82 mm和9.18 mm。在聚焦之前，光軸處光強(qiáng)很小，但是在達(dá)到焦點(diǎn)附近光強(qiáng)突然增加，BCAB和HCAB在焦點(diǎn)處的光強(qiáng)可以達(dá)到初始面上CAB的100多倍，光束能量主要集中在中心光斑處，體現(xiàn)出特有的突然自聚焦特性，并且在聚焦了一段距離后，光強(qiáng)會(huì)很快衰減。其中BCAB的光束能量更為集中，擁有更好的自聚焦特性。

圖7 CAB（實(shí)線）、HCAB（點(diǎn)線）和BCAB（短橫線）的自聚焦特性對(duì)比Fig.7 Comparison of autofocusing characteristics between CAB（solid line）, HCAB（dotted line）, and BCAB（short dash line）

焦平面上的光場(chǎng)分布也很重要，因?yàn)樗鼈兛梢灾苯语@示焦點(diǎn)的尺寸和光強(qiáng)分布，圖8繪制了焦平面上CAB，HCAB和BCAB的歸一化強(qiáng)度分布。從圖8可以看出，HCAB和BCAB的焦斑尺寸比CAB小。CAB的半高全寬為0.296 mm，HCAB的半高全寬為0.218 mm，BCAB的半高全寬為0.225 mm。通過(guò)調(diào)制，兩種調(diào)制方法都減小了半高全寬，但HCAB的效果相較于BCAB要稍好，但不明顯。

圖8 焦面上CAB（實(shí)線）、HCAB（點(diǎn)線）和BCAB（短橫線）的歸一化強(qiáng)度分布Fig. 8 Normalized strength distributions of CAB（solid line）,HCAB（dotted line）, and BCAB（short dash line）on focal plane

為了討論波長(zhǎng)分布對(duì)調(diào)制結(jié)果的影響，設(shè)一有限帶寬光源，中心波長(zhǎng)為0.4 mm，譜寬為0.2～0.6 mm。帶通濾波的參數(shù)針對(duì)中心波長(zhǎng)0.4 mm優(yōu)化，圖9給出了波長(zhǎng)分別為0.2 mm、0.3 mm、0.4 mm、0.5 mm和0.6 mm的太赫茲波經(jīng)帶通調(diào)制后的結(jié)果，其中 ( ICAB)max和 ( IBCAB)max分別表示CAB和BCAB的焦斑最大光強(qiáng)。從圖中可以看出，雖然帶通濾波器的參數(shù)只針對(duì)0.4 mm做了優(yōu)化，但其他波長(zhǎng)的波經(jīng)頻譜濾波后自聚焦能力也獲得了較大幅度的提升，提升效果隨著工作波長(zhǎng)逐漸遠(yuǎn)離中心波長(zhǎng)而下降。因此，這種頻譜濾波方法對(duì)寬譜光源也能起到很好的提升效果。

圖9 寬譜中不同波長(zhǎng)下BCAB的聚焦能力Fig.9 Focusing ability of BCAB at different wavelengths in broad spectrum

3 結(jié) 論

本文研究了CAB在THz波段的傳播特性，在傅里葉空間利用HPF和BPF對(duì)CAB進(jìn)行調(diào)制，產(chǎn)生了HCAB和BCAB。并且通過(guò)數(shù)值仿真對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)BPF確實(shí)可以增強(qiáng)CAB的聚焦特性并且比HPF的結(jié)果要好，證明了合適的參數(shù)下BPF調(diào)制后的聚焦強(qiáng)度可提高7倍，半高全寬也有改善，且可實(shí)現(xiàn)焦距的控制，并且對(duì)寬光譜的實(shí)際應(yīng)用也具有現(xiàn)實(shí)意義，所以在THz波段帶通濾波是一種提高自聚焦性能的有效方法。