陳 春

圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題不僅是一個(gè)考查學(xué)生基本功的問(wèn)題,也是對(duì)學(xué)生在化歸思想應(yīng)用上的一個(gè)考查。通性通法可以幫學(xué)生逐步化簡(jiǎn)求解相應(yīng)問(wèn)題,但其中所包含的計(jì)算相對(duì)煩瑣,對(duì)運(yùn)算能力不強(qiáng)的同學(xué),這類問(wèn)題往往會(huì)成為解題路上的攔路虎。如果我們轉(zhuǎn)換思維靈活的利用點(diǎn)線關(guān)系,借助曲線系方程來(lái)求解這類問(wèn)題,那么學(xué)生就能很快地解決這類問(wèn)題。

【結(jié)論1】

已知直線l1:A1x+B1y+C1=0 與直線l2:A2x+B2y+C2=0,則方程(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0 可以表示這兩條直線,而展開后是一個(gè)二次方程形式,這個(gè)方程可以理解為一個(gè)曲線Γ。

【結(jié)論2】

若過(guò)圓錐曲線C上一點(diǎn)P(x0,y0)處的兩條直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,與圓錐曲線C交于A,B兩點(diǎn),且kPA+kPB或kPA·kPB為定值,則直線AB必過(guò)定點(diǎn)。反之,若直線AB過(guò)定點(diǎn),則kPA+kPB或kPA·kPB為定值。

分析:過(guò)點(diǎn)E的兩條直線EA,EB的斜率之積為-1,可設(shè)直線EA,EB的方程,借助曲線系方程思想,找出橢圓與新曲線的交點(diǎn)P,M所在直線PM,進(jìn)而解出直線l的斜率。

解析:設(shè)直線EA,EB的方程分別為t1x -y -1=0,t2x -y -1=0 且t1t2=-1.

則可得二次曲線Γ:(t1x -y -1)(t2x -y -1)=0,即t1t2x2-(t1+t2)x(y +1)+(y +1)2=0.

∵y≠-1,且x2=2(1-y2)

∴ (t1+t2)x -3y +1=0 即是橢圓C1與二次曲線Γ的交線

分析:點(diǎn)(1,1)可以理解為直線所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn),利用結(jié)論2 的逆向結(jié)論,就可以直接求解。

解析:設(shè)直線AP與AQ的分別方程為k1x -y -1=0,k2x -y-1=0.

可得到二次曲線Γ:(k1x -y -1)(k2x -y -1)=0,即k1k2x2-(k1+k2)x(y +1)+(y +1)2=0.

∵y≠-1,且x2=2(1-y2)

∴2k1k2(1-y)-(k1+k2)x+y +1=0 即是橢圓E與二次曲線Γ的交線PQ,

又PQ過(guò)點(diǎn)(1,1),則k1+k2=2.

例3、(2020 年全國(guó)理20 題)已知A,B分別為橢圓=1(a＞1)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),為直線x=6 上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn).

上述幾個(gè)問(wèn)題都是利用曲線系的引入來(lái)求解問(wèn)題的,聯(lián)立圓錐曲線方程時(shí)要注意條件的使用,如例3 中“x≠3” 原因是什么。這種求解可以讓很多學(xué)生跳過(guò)必須使用韋達(dá)定理的思維誤區(qū),要讓學(xué)生在解決這種問(wèn)題的同時(shí)思考這樣做的本質(zhì)是什么,解析幾何的實(shí)質(zhì)是什么。

利用這種方法我們不但可以讓學(xué)生多掌握一種解決問(wèn)題的方法,也能讓學(xué)生站在更高的角度思考問(wèn)題,從而提升學(xué)生對(duì)解析幾何認(rèn)知水平,進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的解題思維。