肖婧鈺 鄭緒妹 王家正

【摘?要】有理數(shù)的乘法運(yùn)算在培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)感”和“符號意識”方面有著重要的地位，本文通過“人教版”“康軒版”“singlee版”三版教材對“負(fù)負(fù)得正”內(nèi)容的設(shè)計(jì)及對比分析，得出三版教材的呈現(xiàn)方式有兩種：第一種是探索數(shù)學(xué)規(guī)律，揭示運(yùn)算法則;第二種是通過引入實(shí)際情境，探索運(yùn)算法則.通過對比分析，幫助教師在有理數(shù)乘法運(yùn)算的教學(xué)中更好地把握教學(xué)規(guī)律，從而更有效地培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)感”與“符號意識”，進(jìn)而提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平.

【關(guān)鍵詞]?數(shù)感;符號意識;有理數(shù)

有理數(shù)的乘法運(yùn)算在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的“數(shù)感”與“符號意識”方面有十分重要的地位.在有理數(shù)教學(xué)內(nèi)容中“負(fù)負(fù)得正”是教學(xué)的難點(diǎn)，也是學(xué)生理解的難點(diǎn).七年級學(xué)生已經(jīng)有了一定的規(guī)則感，而“負(fù)負(fù)得正”的內(nèi)容只能通過生活情境的引入加以解釋，這一內(nèi)容也曾難倒許多人.下面，就三版教材——人民教育出版社版本（以下簡稱“人教版”）、中國臺灣康軒文教事業(yè)版（以下簡稱“康軒版”）教材及新加坡singlee版（以下簡稱“singlee版”）“負(fù)負(fù)得正”內(nèi)容的設(shè)計(jì)進(jìn)行梳理及分析.

1?三個版本的教材梳理

“人教版”教材先根據(jù)多組正數(shù)和0的乘法運(yùn)算，得出正負(fù)相乘和負(fù)正相乘的運(yùn)算規(guī)則;再從數(shù)值和絕對值兩方面入手，歸納出正數(shù)×正數(shù)，正數(shù)×負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)×正數(shù)的運(yùn)算法則，具體教材呈現(xiàn)如下：①3×3=9，3×2=6，3×1=3，3×0=0，學(xué)生討論，尋找規(guī)律.若此規(guī)律在引入符號后仍然成立，則有3×（-1）=?？?，3×（-2）=?？?，3×（-3）=?？?.②3×3=9，2×3=6，1×3=3，0×3=0找規(guī)律并思考，若該規(guī)律引入符號后仍然成立，則：（-1）×3=?？?，（-2）×3=?？?，（-3）×3=?？?，根據(jù)上述兩組的計(jì)算找到規(guī)律，再把規(guī)律推廣到負(fù)數(shù)算式上，得到正負(fù)數(shù)相乘的計(jì)算法則.同理，找規(guī)律，推廣規(guī)律，得到負(fù)負(fù)相乘的運(yùn)算法則，具體呈現(xiàn)如下：（-3）×3=?？?，（-3）×2=?？?，（-3）×1=?？?，（-3）×0=?？?.根據(jù)上述規(guī)律，則有：（-3）×（-1）=?？?，（-3）×（-2）=?？?，（-3）×（-3）=?？?，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生通過一系列算式歸納總結(jié)出結(jié)論.

“康軒版”教材通過引入實(shí)際生活情境，先引出正正相乘，負(fù)正相乘，正負(fù)相乘的規(guī)則，再提出負(fù)負(fù)得正的規(guī)律，最后引導(dǎo)學(xué)生觀察四個情境解答中性質(zhì)符號的變化，得出整數(shù)的乘法運(yùn)算法則：同號的兩整數(shù)相乘，其結(jié)果為正整數(shù);異號的兩整數(shù)相乘，其結(jié)果為負(fù)整數(shù).具體教材呈現(xiàn)如下：①正整數(shù)×正整數(shù)：如果水庫的水位每天上升4公分，那么兩天后的水位比現(xiàn)在的水位高或低多少公分？②負(fù)整數(shù)×正整數(shù)：如果水庫的水位每天下降4公分，那么兩天后的水位比現(xiàn)在的水位高或低多少公分？③正整數(shù)×負(fù)整數(shù)：如果水庫的水位每天上升4公分，那么2天前的水位比現(xiàn)在的水位高或低多少公分？④負(fù)整數(shù)×負(fù)整數(shù)：如果水庫的水位每天下降4公分，那么兩天前的水位比現(xiàn)在的水位高或低多少公分？如果上升的量用正數(shù)表示，那么下降的量就可用負(fù)數(shù)表示，則①4×2=8;②（-4）×2=-（4×2）=-8;③4×（-2）=-（4×2）=-8;④（-4）×（-2）=4×2=8.繼而從四個生活情境，四個算式中找尋規(guī)律，循循善誘，最后得出整數(shù)乘法法則.

“singlee版”教材展示四個實(shí)例：“正數(shù)×正數(shù)”“正數(shù)×負(fù)數(shù)”“負(fù)數(shù)×正數(shù)”“負(fù)數(shù)×負(fù)數(shù)”.在引入運(yùn)算規(guī)律時，“singlee版”沒有運(yùn)用實(shí)際生活情境，而是通過代數(shù)圓盤的展示來實(shí)現(xiàn)的.該版本以算式的計(jì)算引入，同時又暗示相反數(shù)的規(guī)律所在，具體教材呈現(xiàn)如下：①2×3用代數(shù)圓盤的模型可以表示為2組3;②2×（-3）用代數(shù)圓盤的模型可以表示為2組-3;③（-1）×3可以理解為1組3的負(fù)數(shù)，在代數(shù)圓盤中表示為“翻轉(zhuǎn)1組3”，同樣的，（-2）×3可以理解為“2組3的負(fù)數(shù)”，表示為“翻轉(zhuǎn)2組3”;④（-1）×（-3）理解為“1組（-3）的相反數(shù)”，表示為“翻轉(zhuǎn)1組（-3）”.在該版本的教學(xué)中，可以理解為只有“1組3”和“1組-3”的情況，剩下兩種可以用代數(shù)圓盤的“翻轉(zhuǎn)”來實(shí)現(xiàn).基于學(xué)生的認(rèn)知水平，降低了學(xué)生的理解難度.由代數(shù)圓盤的展示，幫助學(xué)生理解總結(jié)規(guī)律，“翻轉(zhuǎn)”這一詞也隱晦的表達(dá)了相反數(shù)的概念，給教師留下了自由發(fā)揮的空間.

通過上述三個版本對“有理數(shù)乘法內(nèi)容的編排”可以看出，有理數(shù)乘法教學(xué)的方式有兩種形式：一種是探尋數(shù)學(xué)規(guī)律，揭示運(yùn)算規(guī)律，觀察類比從而揭示有理數(shù)乘法的運(yùn)算規(guī)律;另一種是引入實(shí)際情境，如“康軒版”中的水位線問題.關(guān)于數(shù)學(xué)規(guī)律的探索，不同的教材呈現(xiàn)方式各不相同.“singlee版”教材通過四個實(shí)例，結(jié)合代數(shù)圓盤來揭示規(guī)律，優(yōu)點(diǎn)是讓學(xué)生能夠借助輔助工具更好地理解規(guī)律.而“人教版”教材則通過幾組算式引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)運(yùn)算規(guī)律，其優(yōu)點(diǎn)在于，通過算式和符號的改變引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律，一方面鍛煉了學(xué)生類比分析的數(shù)學(xué)思維能力，同時也有助于學(xué)生“數(shù)感”與“符號意識”的建立.

有理數(shù)乘法屬于初中“數(shù)與代數(shù)”學(xué)習(xí)的內(nèi)容.《中小學(xué)幼兒園教師培訓(xùn)課程指導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)（義務(wù)教育數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)）》中對教學(xué)設(shè)計(jì)提出了三級水平，其中三級水平的要求分別是：“數(shù)與符號”內(nèi)容的理解、學(xué)生關(guān)于“數(shù)與符號”的理解與困惑、“數(shù)與符號”的教學(xué)設(shè)計(jì).下面，就三版教材的不同設(shè)計(jì)，結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》與《指導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)》給出評析.

“人教版”教材曾經(jīng)嘗試著用“蝸牛爬行”的情境教學(xué)，后來由于此情境涉及的時空因素，對學(xué)生的抽象思維能力要求又比較高，反而會對學(xué)生學(xué)習(xí)造成干擾.所以舍棄了“勻速直線運(yùn)動的情境教學(xué)模式”，選擇了“從正數(shù)×正數(shù)出發(fā)的歸納推理模式”.在上述說明中，“負(fù)負(fù)得正”是不可證明的.因此，教師在運(yùn)用教材的過程中，只需讓學(xué)生理解這種法則是合理的，這是一種規(guī)定性的結(jié)果即可.“人教版”教材相比其他的兩版，更加直觀，不依附于情境，而是開門見山，直接讓學(xué)生找規(guī)律，類比推廣.同時，對學(xué)生的邏輯思維要求又偏高了一些.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出了六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其中之一是數(shù)學(xué)運(yùn)算.課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生在運(yùn)算過程中，能夠體會運(yùn)算法則的意義和作用，合理選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，解決問題[1].“人教版”的“負(fù)負(fù)得正”教材設(shè)計(jì)剛好體現(xiàn)了這一點(diǎn).它利用歸納遞減規(guī)則推廣規(guī)律，也給教師留下了更多的發(fā)揮空間，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時可以自由發(fā)揮，研究如何讓學(xué)生更加深層次思考拋出的問題并發(fā)掘規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生去體會“負(fù)負(fù)得正”規(guī)則的合理性等.此外，通過運(yùn)算律的類比和推廣，也可以提升學(xué)生的知識遷移能力，進(jìn)而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

“負(fù)負(fù)得正”的內(nèi)容對于學(xué)生而言理解困難，其根本原因在于，在形式化的運(yùn)算中，它是不可能被證明的.數(shù)學(xué)家F·克萊因也曾說：“不要試圖強(qiáng)硬地去證明一個并不成立的證明.而是用簡單的例子讓學(xué)生相信，或是讓他們自己弄清楚：從實(shí)際情況來看，承襲性原則所包含的這些約定關(guān)系，恰好是適當(dāng)?shù)?，因?yàn)榭梢缘玫揭恢路奖愕乃惴?，而其他任何一種約定，總要強(qiáng)迫我們考慮許多特例.”[2]“康軒版”教材就是通過引入實(shí)際情境，幫助學(xué)生探索“負(fù)負(fù)得正”的數(shù)學(xué)規(guī)律.其數(shù)學(xué)情境的提出也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，通過四個循序漸進(jìn)的情境，學(xué)生自己列出算式，確定規(guī)律，總結(jié)歸納.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出“建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系”[3].同時，學(xué)生數(shù)感的建立也依賴于現(xiàn)實(shí)的生活情境.“康軒版”教材正是如此，教材中的“水位線升降”問題與M·克萊因解決“負(fù)負(fù)得正”問題的“負(fù)債模型”有異曲同工之妙.雖然該情境類教學(xué)不符合數(shù)學(xué)的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性，但也切實(shí)可行地幫助了學(xué)生理解負(fù)數(shù)的意義及有理數(shù)乘法法則[4].

“singlee版”教材的特點(diǎn)在于其引入了一個“代數(shù)圓盤”的模型，借助“代數(shù)圓盤”的模型，幫助學(xué)生歸納總結(jié)負(fù)數(shù)及乘法運(yùn)算的法則與規(guī)律.教材呈現(xiàn)的基本思路與“人教版”類似，都是先拋出問題，再給出規(guī)則合理性解釋，最后歸納運(yùn)算規(guī)則.但是該版本多了一個“代數(shù)圓盤”的模型，可以幫助學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算，通過“圓盤”的“翻轉(zhuǎn)”來隱喻“相反數(shù)”的概念，也給學(xué)生對于負(fù)號的符號含義理解和認(rèn)識搭建了一個“腳手架”.與“人教版”和“康軒版”不同，“singlee版”通過“代數(shù)圓盤”模型替代了符號的運(yùn)算，也借助模型讓學(xué)生對于難以證明的“負(fù)數(shù)×負(fù)數(shù)=正數(shù)”的規(guī)則理解地更透徹.正負(fù)運(yùn)算符號是抽象的，“代數(shù)圓盤”的模型把抽象的符號形象化，突破了學(xué)生的理解難點(diǎn)與盲區(qū)，教師在課堂教學(xué)中也得到了更多發(fā)揮的余地.《指導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)》中提出“建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式”.“singlee版”教材借助模型進(jìn)行符號教學(xué)，模型展示后，又引導(dǎo)學(xué)生抽象出符號進(jìn)行總結(jié)提升，培養(yǎng)了學(xué)生模型抽象與模型解決的能力.

2?幾點(diǎn)啟示

有理數(shù)乘法中關(guān)于“負(fù)負(fù)得正”的這部分教材內(nèi)容，將“數(shù)感”與“符號意識”的教學(xué)貫穿始終.教師以具體的情境作為發(fā)展核心素養(yǎng)的切入點(diǎn)，幫助學(xué)生形成固定的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生在潛意識中形成生活情境“數(shù)學(xué)化”的操作，巧妙地利用數(shù)學(xué)課本中的例題，從學(xué)生已有的知識體系中確定知識生長點(diǎn)，運(yùn)用有效且思維層級遞增的情境幫助學(xué)生進(jìn)行思考，提升學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中的主體作用.增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)符號思維的靈活性，讓學(xué)生多經(jīng)歷有關(guān)數(shù)的活動過程，進(jìn)行數(shù)感經(jīng)驗(yàn)的積累.進(jìn)而引領(lǐng)學(xué)生更好的把握數(shù)學(xué)的內(nèi)核，有益于培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

“singlee版”教材和“康軒版”教材都有對于數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用.“康軒版”教材為“水位線升降的現(xiàn)實(shí)模型”，“singlee版”教材是“代數(shù)圓盤”的圖象模型.在教學(xué)過程中，合理地利用模型和工具不僅可以讓課堂變得豐富多彩，也能夠培養(yǎng)學(xué)生對于數(shù)學(xué)模型的敏感度，為以后函數(shù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊.對于“康軒版”教材的情境，教師在教學(xué)中可直接采用，也可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣寡由?，如“?fù)債模型”等與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的內(nèi)容，拓寬學(xué)生的視野，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

參考文獻(xiàn)

中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.[2]孫丹丹，胡錫娥.有理數(shù)乘法教科書設(shè)計(jì)及教學(xué)分析——基于有理數(shù)乘法的歷史[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2020（10）：15-18.

[3]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：8.[4]張靜.“為什么‘負(fù)負(fù)得正”學(xué)習(xí)探究的課例研討[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（Z2）：40-43.

作者簡介?肖婧鈺（1998—），女，安徽阜陽人，碩士研究生，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)論.

鄭緒妹（1996—），女，安徽蚌埠人，碩士研究生，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)論.

王家正（1964—），男，安徽蕪湖人，教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論.