鄭雙星，高芳清,2，丁凱文

（1.西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031；2.西南交通大學(xué) 應(yīng)用力學(xué)與結(jié)構(gòu)安全四川省重點實驗室，成都 610031）

分析彈性地基上矩形薄板振動響應(yīng)問題可以采用能量變分法[1-2]、有限元法[3-6]、樣條元法[7-10]。另外，顏可珍[11]通過級數(shù)展開法和Laplace-Fourier 變換方法得到了薄板在半波正弦沖擊荷載作用下位移和應(yīng)力的解析解。袁松等[12]運用接觸力學(xué)的理論對Winkler地基模型落石沖擊力計算方法進行了研究。吳波[13]用曲厚板單元分析法對彈性地基上不規(guī)則厚板的簡載應(yīng)力進行了求解。

對于地基上板類結(jié)構(gòu)常采用Winkler地基建模，該模型形式簡單、參數(shù)設(shè)定簡潔，為工程界普遍接受而得到廣泛應(yīng)用。本文通過Winkler 地基模型反映地基-薄板結(jié)構(gòu)相互作用關(guān)系，通過彈性組件的設(shè)定來模擬矩形薄板邊界約束類別[14]，采用Li 等[15-16]提出的改進的傅里葉級數(shù)方法來表示橫向位移，通過數(shù)值計算，求得Winkler地基上矩形薄板的振動響應(yīng)曲線，并通過和有限元結(jié)果進行對比，表明本文方法精度較高。此外，該方法收斂速度也比較快。

1 理論模型

1.1 改進傅里葉級數(shù)解

對于彈性約束邊界條件下單一矩形板結(jié)構(gòu)來說，其橫向位移函數(shù)可以采用二維改進傅里葉級數(shù)形式表示，即在標(biāo)準(zhǔn)二維傅里葉余弦級數(shù)基礎(chǔ)上增加輔助函數(shù)與單傅里葉余弦級數(shù)的乘積[17-18]；通過輔助函數(shù)的引入，可以解決傳統(tǒng)的傅里葉級數(shù)的導(dǎo)數(shù)在邊界處潛在的不連續(xù)性問題，同時還可以改善級數(shù)的收斂性。

橫向位移函數(shù)用二維改進傅里葉級形式表示為

式中：A和aim、bin分別為橫向位移函數(shù)w0(x,y)中二維傅里葉級數(shù)和輔助級數(shù)的未知系數(shù)向量，λam=mπ/a，λbn=nπ/b，向量A、ψmn(x,y)的形式以及x相關(guān)的輔助函數(shù)ξia(x)可表示為：

將式(4)至式(7)中a和x分別替換為b和y即可得到輔助函數(shù)ξib(y)的表達(dá)式。

1.2 計算模型建立

計算模型如圖1所示?；赪inkler地基模型，在垂直于x-y平面方向采用均勻分布的豎向彈簧模擬地基作用，該豎向彈簧相互獨立且互不影響；采用系列橫向彈簧和扭轉(zhuǎn)彈簧組件來模擬矩形薄板邊界(kx0、kxa和Kx0、Kxa分別為x=0和x=a邊界上的橫向彈簧剛度和扭轉(zhuǎn)彈簧剛度，ky0、kyb和Ky0、Kyb分別為y=0和y=b邊界上的橫向彈簧剛度和扭轉(zhuǎn)彈簧剛度)；f(x，y，t)為施加于薄板上（x0，y0）位置處的簡諧橫向集中力。

圖1 受簡諧橫向集中力作用Winkler地基上矩形薄板模型

具有彈性邊約束和結(jié)構(gòu)阻尼的板振動控制微分方程式為：

簡諧橫向集中力（幅值為）可表示為：

此時，橫向位移可以寫為：

將式（9）、式（10）代入式（8），可以得到：

本文采用能量法求解振動方程式（11）。

在外部荷載作用下Winkler 地基上矩形板結(jié)構(gòu)拉格朗日函數(shù)表示為：

式中：V為Winkler地基上矩形薄板的總勢能，Tb為該結(jié)構(gòu)的總動能，Wext為外力的勢能的負(fù)值。

系統(tǒng)中存儲的總勢能V可表示為：

式中：Vf為Winkler 地基的變形勢能，Vb為彎曲應(yīng)變能，Vs為邊界彈簧的彈性勢能，其具體表達(dá)式可以參見文獻(xiàn)[19]。

Wex可以表示為：

將式(1)代入拉格朗日函數(shù)式(11)中，然后用瑞利-里茲方法對該拉格朗日函數(shù)求極值，可以得到一個線性方程組，將其用矩陣表達(dá)式表示為：

式中：K、M分別為Winkler 地基上矩形薄板系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，其取值只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征地基參數(shù)和邊界條件有關(guān)。

F為橫向集中力作用向量，即：

任意激勵頻率ω下矩形板結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的傅里葉系數(shù)向量A可由式（15）直接得到：

將求得的振動響應(yīng)系數(shù)向量A代入式（1），再通過式（10）即可得到該激勵下矩形薄板結(jié)構(gòu)在任意時刻的橫向位移。

對于簡諧振動，在計算出結(jié)構(gòu)振動位移響應(yīng)之后，結(jié)構(gòu)振動速度可以由v=jωw直接獲得，根據(jù)得到結(jié)果的實部與虛部，即可求得速度的幅值與相位。

向量F取為零向量，即可進行模態(tài)分析，求得固有頻率。

2 數(shù)值計算與分析

給定如下參數(shù)：板長a=1.0 m，寬b=1.0 m，厚h=0.008 m，密度ρ=7 800 kg/m3，彈性模量E=2×1011N/m2，泊松比μ=0.3，地基基床系數(shù)k=5.5×107N/m3，阻尼系數(shù)η=0.02。為表述簡潔，下文中用F表示自由邊界條件（橫向彈簧剛度設(shè)置為0，扭轉(zhuǎn)彈簧剛度系數(shù)設(shè)置為0），S表示簡支邊界條件（橫向彈簧剛度設(shè)置為1010N/m，扭轉(zhuǎn)彈簧剛度系數(shù)設(shè)置為0），C表示固支邊界條件（橫向彈簧剛度設(shè)置為1010N/m，扭轉(zhuǎn)彈簧剛度系數(shù)設(shè)置為1010N?m/rad）。ANSYS 有限元模型中采用shell63 單元，網(wǎng)格劃分尺寸為0.01 m×0.01 m。

表1 給出了截斷值M、N取值為6 時Winkler 地基上不同邊界條件下矩形薄板前6階固有頻率與有限元結(jié)果對比。從表中可以看出，無論取何種邊界條件，兩種方法所求出的固有頻率都非常接近。

表1 Winkler地基上不同邊界矩形薄板的固有頻率/Hz

在以下分析中，所有邊界條件均取為簡支。

表2給出了四邊簡支條件下基于本文方法及有限元法所得500 Hz以下的固有頻率。

表2 Winkler地基上四邊簡支矩形薄板的固有頻率/Hz

將幅值為1 N的簡諧橫向集中力施加于板中心位置（0.5 m，0.5 m），并在0～500 Hz 頻率范圍內(nèi)進行正弦掃描，同時對該作用點和（0.8 m，0.8 m）位置處的振動速度幅值進行觀測。此外，為了驗證本文方法的可靠性，采用ANSYS有限元方法對相同問題進行了計算，并與程序計算結(jié)果進行對比，如圖2所示。

將幅值為1 N 的簡諧橫向集中力施加于板（0.8 m，0.8 m）位置處，并在0～500 Hz 頻率范圍內(nèi)進行正弦掃描，同時對該作用點和（0.5 m，0.5 m）位置處振動速度幅值進行觀測，將本文方法所得結(jié)果與有限元方法所得結(jié)果對比，如圖3所示。

如圖2至圖3所示，藍(lán)色實線為本文方法計算結(jié)果（Current），紅色虛線為有限元分析（Finite Element Analysis，圖中采用符號“FEA”）計算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，在頻率較高時兩者存在一定偏差，而在低頻帶范圍內(nèi)吻合很好，驗證了本文方法能夠預(yù)測Winkler地基上板結(jié)構(gòu)的響應(yīng)幅值。

圖2 施加于板中心位置（0.5 m，0.5 m）處橫向集中力作用下不同位置振動速度的幅值

圖3 施加于板（0.8 m，0.8 m）處橫向集中力作用下不同位置振動速度的幅值

另外，對比圖2 至圖3 可以發(fā)現(xiàn)，在中心點處激勵時，有較少的結(jié)構(gòu)模態(tài)被激起；在非中心點處激勵時，在中心點處有較少的結(jié)構(gòu)模態(tài)被激起，在非中心點處有較多的結(jié)構(gòu)模態(tài)被激起。出現(xiàn)上述特點是因為矩形薄板結(jié)構(gòu)模態(tài)分布本身具有明顯對稱性，其中有些模態(tài)節(jié)線過中心點，因此在中心點處有更少的結(jié)構(gòu)模態(tài)被激起。

將幅值為1 N、初相位ψ=arctan(4/3)的簡諧橫向集中力施加于板（0.8 m，0.8 m）位置處，在0～500 Hz頻率范圍內(nèi)進行正弦掃描，同時對該作用點和（0.5 m，0.5 m）位置處振動速度的相位進行觀測，將本文方法所得結(jié)果與與有限元方法所得結(jié)果對比，如圖4所示。

如圖4 所示，藍(lán)色實線為本文方法計算結(jié)果（Current），紅色虛線為有限元分析計算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，在較高頻率和相位極值點兩者存在一定偏差，兩種結(jié)果在低頻帶范圍內(nèi)吻合較好，驗證了本文方法能夠在一定程度上預(yù)測Winkler 地基上板結(jié)構(gòu)響應(yīng)的相位。

圖4 施加于板（0.8 m，0.8 m）處橫向集中力作用下不同位置振動速度的相位

3 結(jié)語

本文將改進傅里葉級數(shù)法運用到Winkler 地基上薄板的振動響應(yīng)分析上，得到了響應(yīng)的幅值與相位，并與有限元結(jié)果進行了對比，得到以下結(jié)論：

（1）在截斷值M=N=6 時，基于本文方法所得固有頻率結(jié)果已有較高精度，表明改進傅里葉級數(shù)法中假設(shè)的位移函數(shù)在求解域中足夠光滑，且收斂速度快；

（2）在數(shù)值算例中給出了四邊簡支彈性地基上板結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)（幅值與相位），通過與有限元方法的結(jié)果比較，驗證了本文方法的可行性和準(zhǔn)確性；

（3）在中心點處激勵，同時在中點處求解響應(yīng)，共振峰數(shù)目減少。而在非中心點激勵同時在非中心點處求解響應(yīng)，會有最多的共振峰值。