孫丹青

摘要：從一題典型的含參函數(shù)的解題教學(xué)入手，通過變式拓展、層層推進提升學(xué)生思維。變式拓展蘊含一定的思維深度。問題解決過程不斷滲透數(shù)學(xué)思想，以問題變式為主線，引導(dǎo)學(xué)生回歸知識本源，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理能力，促進學(xué)生核心素養(yǎng)的提升。

關(guān)鍵詞：變式拓展 ?問題本質(zhì) ? 核心素養(yǎng)

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A

研究背景：

2016年9月，中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)正式發(fā)布，正式發(fā)布的“中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)共分為文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會參與三個方面，綜合表現(xiàn)為人文底蘊、科學(xué)精神、學(xué)會學(xué)習(xí)、健康生活、責(zé)任擔(dān)當、實踐創(chuàng)新6大素養(yǎng)，其根本目標是培養(yǎng)全面發(fā)展的人。核心素養(yǎng)是關(guān)于學(xué)生知識、技能、情感、態(tài)度、價值觀等多方面的綜合表現(xiàn)，是每一名學(xué)生終身發(fā)展和社會發(fā)展不可或缺的素養(yǎng)。

這一概念的提出，成為教育界十分關(guān)注的熱點，作為一線教師，我們又該如何解讀和落實學(xué)生的核心素養(yǎng)呢？筆者認為，核心素養(yǎng)雖然是個新詞，但絕不是推倒重來，而是在素質(zhì)教育背景下，課程改革的深化、細化，學(xué)生的核心素養(yǎng)不是憑空產(chǎn)生的，其重要的載體是課堂。數(shù)學(xué)課堂不僅可以讓學(xué)生長知識，更要讓學(xué)生長智慧。我們可以在教學(xué)中，挖掘問題本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生進行有效探究，從而把培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)落實到實處。

下面筆者將從一題典型的含參函數(shù)的解題教學(xué)入手，通過變式拓展、層層推進提升學(xué)生思維。變式拓展蘊含一定的思維深度。問題解決過程不斷滲透數(shù)學(xué)思想，以問題變式為主線，引導(dǎo)學(xué)生回歸知識本源，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理能力，促進學(xué)生核心素養(yǎng)的提升。

二、基于核心素養(yǎng)觀下的主要教學(xué)環(huán)節(jié)

數(shù)學(xué)老師經(jīng)常會碰到很多優(yōu)秀的試題，這些優(yōu)秀試題往往都是經(jīng)過精心設(shè)計，而且有非常豐富的性質(zhì)的，如果我們面對這樣的試題，認真分析，得出試題的本質(zhì)屬性，然后把這種本質(zhì)屬性通過我們的教學(xué)傳達給學(xué)生，這不僅可以展現(xiàn)出一道優(yōu)秀試題的價值，同時也可以提升我們的教學(xué)效果，提升學(xué)生的思維.

1原題呈現(xiàn)

已知拋物線，其中是常數(shù)，（1）求證：不論為何值，該拋物線與軸一定有兩個公共點;（2）若該拋物線的對稱軸為直線，①求該拋物線的函數(shù)解析式;②把該拋物線沿軸向上平移多少個單位長度后，得到的拋物線與軸只有一個公共點？

2問題分析

對于第（1）小題，課堂上主要產(chǎn)生了兩種解法：一是常規(guī)解法，先化簡得到二次函數(shù)的一般形式，然后算出得出拋物線與x軸有兩個交點;二是根據(jù)函數(shù)表達式的性質(zhì)，直接因式分解得，從而求出拋物線跟x軸兩交點的橫坐標分別為，容易知道，從而可以證明拋物線與x軸有兩個交點. 課堂肯定了學(xué)生的這兩種解法，解法1顯示了學(xué)生在函數(shù)理解和代數(shù)運算上的基本功底，解法2則表明學(xué)生根據(jù)函數(shù)表達式特點靈活變化的能力.

對于第（2）小題，學(xué)生基本根據(jù)對稱軸的條件，得到函數(shù)解析式;然后轉(zhuǎn)化成頂點式，從而可以看出拋物線沿y軸向上平移個單位長度后，與x軸只有一個公共點.

3問題拓展

課堂上在認真聽完學(xué)生的整個分析之后，筆者提了個問題：如果沒有“對稱軸為直線”這個條件，還能知道該拋物線沿y軸向上平移多少個單位長度后，與軸只有一個公共點嗎？

本問題有兩個目的，一是加深難度，提升學(xué)生的思維能力;二是期望學(xué)生能夠根據(jù)此問題得到二次函數(shù)的一些特點.問題拋出之后，學(xué)生經(jīng)過一定時間的思考之后，形成了兩種意見.

一種意見的學(xué)生代表表示，不能確定沿y軸向上平移多少個單位長度后，與軸只有一個公共點，因為如果沒有“對稱軸為直線”這個條件，那么意味著函數(shù)解析式不能確定，那么平移也不能確定.

另一種意見的學(xué)生針鋒相對的表示，拋物線雖然確定不了，但是平移的單位長度是可以確定的，而且答案跟有“對稱軸為直線”這個條件的情況應(yīng)該是一樣的，但具體的理由一時沒有想出來.

課前其實筆者都想到了這兩種結(jié)果，第一類意見其實代表的是想法不成熟或者沒有深入思考的學(xué)生，這類學(xué)生極容易被題目的表面現(xiàn)象所蒙蔽，以為拋物線確定不了，平移也無法確定.第二類意見代表的是積極思考的學(xué)生，雖然他們的想法還不完善，但是他們已經(jīng)隱約感覺到了該拋物線的上下平移是不受未知數(shù)m的影響的，如果給這些學(xué)生一些時間思考，很有可能他們能得到本題的正確結(jié)論.

4深入思考

課堂上筆者沒有公布結(jié)果，而是再一次給了學(xué)生時間，這一次的給于讓筆者在課堂上得到了豐厚的回報.

生1：拋物線沿y軸向上平移多少個單位長度后，與軸只有一個公共點是可以確定.因為我發(fā)現(xiàn)，第（1）小題當中，我們知道該拋物線與x軸的交點坐標分別為，，從中可以看出拋物線與x軸兩交點之間的距離為1，保持不變，而且該拋物線的形狀和大小都保持不變，要保證這些條件拋物線只能是一組左右平移的拋物線（如圖1），因此上下平移可以確定.

生2：老師，我補充一下.其實從代數(shù)角度來看會更加明顯.拋物線可以看成拋物線的橫坐標都減去了m，相當于把拋物線往左或者右平移了個單位，因此要看沿軸向上平移多少個單位長度后與軸只有一個公共點，只要看拋物線沿軸向上平移多少個單位長度后與軸只有一個公共點就可以了.

生3：我是這樣想的，既然是向上平移，那么只要看頂點的縱坐標就可以了.通過配方我發(fā)現(xiàn)，即頂點的縱坐標是保持不變，只要向上平移個單位，拋物線與x軸只有一個交點了.

課堂上，筆者充分肯定了上述學(xué)生善于思考肯于鉆研的學(xué)習(xí)品質(zhì).其實，學(xué)生已經(jīng)從不同方面闡述了問題的本質(zhì).首先拋物線是一族形狀大小不變，只在水平方向上運動、上下方向上保持不變的拋物線，因此上下平移不受變量m的影響.上述學(xué)生表述的區(qū)別在于，生1選擇的角度是幾何，而生2選擇的角度是代數(shù)，而他們思考的問題本質(zhì)是一樣的;其次拋物線上的上下平移只要看頂點（或者其它點）的縱坐標就可以了，生3就是發(fā)現(xiàn)就是頂點縱坐標是這個定值，從而也可以說明拋物線的上下平移不受m的影響.

類比和歸納總結(jié)都是學(xué)生終身發(fā)展所需要的一些基本能力，學(xué)生完全整理出了拋物線的性質(zhì)特點和解決問題的方式，而且還是從兩個角度出發(fā)考慮的，比老師總結(jié)得還全面，通過學(xué)生自己的提煉概生自括，讓學(xué)生對整個拋物線的理解有了一個明顯水平的提升，進而也引發(fā)了教師對此問題的進一步拓展。

5拓展提高

總結(jié)完拋物線的性質(zhì)特點，筆者適時拋出了拓展話題，大家能不能利用剛才我們分析得出的拋物線的性質(zhì)特點，解決這個問題：若該拋物線經(jīng)過點和兩點，求出的值.

顯然該問題的難度還是對學(xué)生的思維能力提出了挑戰(zhàn).有段時間后，終于聽到有學(xué)生小聲嘀咕可以嘗試代數(shù)法，經(jīng)過闡述，他的大致想法是這樣的：拋物線經(jīng)過點和兩點，可以確定這兩點關(guān)于對稱軸對稱，從而對稱軸可以表示成直線即直線，而拋物線的對稱軸可以表示成直線，從而可以得到即.然后把P代入拋物線從而求出q的值.

雖然此方法超出了筆者設(shè)置本問題的本意，但是學(xué)生的精巧思維還是贏得了老師的肯定同學(xué)的贊許.同時課堂上，我繼續(xù)嘗試著問有沒有其他解決問題的方法，看學(xué)生確實有困難.筆者作了如下闡述：因為該拋物線的本質(zhì)是一族水平方向上平移的拋物線，那么我們可以把拋物線移到比較特殊的位置，比如對稱軸為y軸，此時拋物線的函數(shù)解析式為.由拋物線經(jīng)過和兩點，可知拋物線對稱軸直線，當把此拋物線平移成后，相當于即，那么q就相當于時的函數(shù)值，從而可以求出q的值為6.

三、教學(xué)思考

這次的整個教學(xué)設(shè)計和教學(xué)過程，讓筆者感受頗多.其一方面的感受來自題目的挖掘和設(shè)計，在這次教學(xué)設(shè)計中，筆者明顯感受到優(yōu)秀的題目本身就是一個寶藏，它里面蘊含著諸多特點和性質(zhì)，對于這種題目，我們作為老師，要善于利用，充分挖掘題目的性質(zhì)進行分析和研究，然后在課堂上通過小題大做的方式，抽絲剝繭，一點點展示出題目本身的屬性和魅力，使得學(xué)生在解決一道問題的同時，能夠?qū)υ囶}有更高層次的理解.如本堂課中拋物線，其本質(zhì)屬性為水平方向上的一族拋物線，學(xué)生如果理解到了這個層次，那明顯比只是解決這個問題要更透徹更深入，如果觸類旁通，以后碰到類似的問題也有可能能夠獨立解決，那這樣的分析就比一道又一道機械的練習(xí)要有效而科學(xué)得多.

另一方面，從教學(xué)效果可以看出，這對提升學(xué)生思維，拓展學(xué)生思維很有幫助.首先在環(huán)節(jié)3中，學(xué)生完全整理出了拋物線的性質(zhì)特點和解決問題的方式，而且還是從兩個角度出發(fā)考慮的，比老師總結(jié)得還全面，通過學(xué)生自己的提煉概生自括，讓學(xué)生對整個拋物線的理解有了一個明顯水平的提升;其次在環(huán)節(jié)5中，學(xué)生的代數(shù)法首先就讓人眼前一亮，雖然跟本題設(shè)計有所偏差，但還是充分的體現(xiàn)出了學(xué)生的思維能力，其次幾何上的解釋，和本題初衷一脈相承，是本拋物線在性質(zhì)利用上的一個思維飛躍，從而讓學(xué)生理解和體會到了該拋物線另一種處理方式，這對學(xué)生的思維既是一個挑戰(zhàn)也是種拓展.

作為教師，當我們碰到優(yōu)秀試題的時候，鉆研問題分析問題，把問題的精華通過合適的教學(xué)設(shè)計傳達給學(xué)生，這不僅可以讓我們的課堂取得事半功倍的效果，也可以讓學(xué)生開闊思路，提升思維，這種一舉多得的好事，何樂不為呢？

教學(xué)是一門科學(xué)，更是一門藝術(shù)，雖然教無定法，但是教學(xué)必須以學(xué)生發(fā)展為本，基于核心素養(yǎng)觀下的教學(xué)，我們更多地需要關(guān)心學(xué)生如何學(xué)，需要知道學(xué)生的認知水平和認知過程，在教學(xué)中要力爭做到讓學(xué)生在掌握知識技能、解決問題的同時，理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直觀，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

參考文獻

[1]《核心素養(yǎng)—讓數(shù)學(xué)從有限的課堂走向無限的人生》 卞惠石

[2]《把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)核心素養(yǎng)》 ?丁愛平