孫鵬飛,張躍,尹鵬,劉宏磊,李寶童

(1.西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,710049,西安;2.西安交通大學(xué)現(xiàn)代設(shè)計(jì)及轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710049,西安)

多孔結(jié)構(gòu)是結(jié)構(gòu)/功能一體化的優(yōu)良載體,具有低密度、高比表面積[1]、高比力學(xué)性能[2-3]及優(yōu)良的吸能特性等特點(diǎn),在航空航天、汽車和醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。然而,多孔結(jié)構(gòu)的功能特性與其幾何構(gòu)型存在復(fù)雜的耦合關(guān)系,導(dǎo)致多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的復(fù)雜度急劇上升。因此,需進(jìn)一步研究多孔結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,實(shí)現(xiàn)對(duì)其功能特性的調(diào)控,以滿足復(fù)雜工程應(yīng)用的需求。

多孔結(jié)構(gòu)的功能特性取決于其多孔單胞構(gòu)型與宏觀材料分布形式。隨著結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法的快速發(fā)展,例如計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法[4]、圖像法[5]、隱式函數(shù)法[6]和拓?fù)鋬?yōu)化法[7-8]等,豐富了具有良好力學(xué)性能的多孔單胞構(gòu)型。相比之下,由隱式函數(shù)法設(shè)計(jì)的多孔單胞具有參數(shù)化、設(shè)計(jì)便捷、可設(shè)計(jì)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。作為典型的隱式參數(shù)化模型,具有零平均曲率的極小曲面引起了相關(guān)領(lǐng)域的廣泛關(guān)注[9-10]。根據(jù)極小曲面在空間周期延伸的維度,可將其分為單周期極小曲面、雙周期極小曲面和三周期極小曲面(TPMS)。其中,三周期極小曲面廣泛存在于自然界中,例如蝴蝶翅膀、甲蟲外骨骼等[11],因其幾何構(gòu)型呈現(xiàn)出獨(dú)特的對(duì)稱性,具備高比強(qiáng)度、軸對(duì)稱剛度、孔洞連通性和良好的吸能特性等優(yōu)點(diǎn)[12-13]。然而,現(xiàn)有極小曲面的研究側(cè)重于構(gòu)型的拓?fù)湟越衣镀湮锢硖匦訹14],難以充分發(fā)揮其性能優(yōu)勢(shì)。此外,梯度多孔結(jié)構(gòu)作為一種材料梯度分布的多孔結(jié)構(gòu),其功能特性呈現(xiàn)出漸進(jìn)性和局部性的變化。相比于均勻多孔結(jié)構(gòu),梯度多孔結(jié)構(gòu)在提升結(jié)構(gòu)剛度、抗屈曲能力[15]和吸能特性[16]等方面有明顯的優(yōu)勢(shì)。因此,為確定梯度多孔結(jié)構(gòu)的最優(yōu)材料分布,需進(jìn)一步研究多孔結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

近年來(lái),采用拓?fù)鋬?yōu)化方法對(duì)梯度多孔結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)已成為一種趨勢(shì)[17-18]。在本質(zhì)上,拓?fù)鋬?yōu)化和梯度多孔結(jié)構(gòu)都考慮材料屬性的連續(xù)性變化[19-20],且在已知載荷和邊界條件下,拓?fù)鋬?yōu)化能夠確定梯度多孔結(jié)構(gòu)在空間中最優(yōu)材料分布形式。為實(shí)現(xiàn)多孔單胞的宏觀梯度分布,Brackett等將多孔結(jié)構(gòu)的體積分?jǐn)?shù)映射到未懲罰的固體各向同性材料懲罰模型法的中間密度上,得到了梯度多孔結(jié)構(gòu)[21]。在此基礎(chǔ)上,還可以桁架單元、六邊形蜂窩單元等為代表性體積單胞[22],設(shè)計(jì)非均勻壁厚的梯度多孔結(jié)構(gòu)[23]。此外,張衛(wèi)紅等將均勻化理論和拓?fù)鋬?yōu)化方法相結(jié)合提出一種以宏觀結(jié)構(gòu)性能為目標(biāo)、材料表征體胞構(gòu)型為變量的梯度多孔結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,實(shí)現(xiàn)了多孔單胞構(gòu)型與宏觀材料分布的并行設(shè)計(jì)[24]。然而,采用拓?fù)鋬?yōu)化對(duì)梯度多孔結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí),多孔單胞構(gòu)型的優(yōu)化過(guò)程復(fù)雜、多孔單胞間的連續(xù)性難以保障。因此,有必要對(duì)多孔單胞的設(shè)計(jì)方法、多孔結(jié)構(gòu)的連續(xù)性展開研究,豐富多孔結(jié)構(gòu)的多樣性,釋放其工程應(yīng)用潛力。

為實(shí)現(xiàn)多孔單胞構(gòu)型對(duì)多孔結(jié)構(gòu)功能特性的調(diào)控,本文提出了隱式曲面梯度多孔結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。結(jié)合數(shù)值均勻化法[25]建立隱式曲面梯度多孔結(jié)構(gòu)柔度最小化拓?fù)鋬?yōu)化模型,得到了幾何和功能呈梯度分布的隱式曲面多孔結(jié)構(gòu),并通過(guò)數(shù)值案例和三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文所提方法的可行性與有效性。

1 極小曲面多孔結(jié)構(gòu)幾何建模

1.1 三周期極小曲面幾何描述

三周期極小曲面是一種由隱式水平集函數(shù)定義的曲面式結(jié)構(gòu),具有較強(qiáng)的可設(shè)計(jì)性。因此,本文采用極小曲面作為梯度多孔結(jié)構(gòu)的代表性體積單元。為控制極小曲面的體積分?jǐn)?shù),在其隱式水平集函數(shù)中引入水平參數(shù)t,如下式

ΦP=C(X)+C(Y)+C(Z)-t

(1)

ΦG=C(X)S(Y)+C(Y)S(Z)+C(Z)S(X)-t

(2)

ΦI-WP=-C(X)C(Y)-C(Y)C(Z)-C(Z)C(X)-t

(3)

式中:C(·)為余弦函數(shù);S(·)為正弦函數(shù);X=2πx/L,Y=2πy/L,Z=2πz/L,x、y、z為高維物理空間坐標(biāo);L為單胞尺寸。式(1)～(3)分別為Primitive(P)型曲面、Gyroid(G)型曲面和I-Wrapped Package(I-WP)型曲面的四維隱式水平集函數(shù),根據(jù)水平集函數(shù)定義,可得到極小曲面的實(shí)體區(qū)域。

(4)

式中:Φ是極小曲面隱式水平集函數(shù);Ω是曲面實(shí)體區(qū)域;?Ω是曲面邊界;D是包含實(shí)體區(qū)域和曲面邊界的空間。極小曲面多孔結(jié)構(gòu)隱式建模過(guò)程如圖1所示。

圖1 極小曲面多孔結(jié)構(gòu)隱式建模過(guò)程Fig.1 The implicit modeling of TPMS

在極小曲面四維隱式水平集函數(shù)中,t代表水平集函數(shù)的一個(gè)水平面,通過(guò)改變水平參數(shù)t可以改變水平面到體心的距離,實(shí)現(xiàn)實(shí)體區(qū)域大小變化,從而控制多孔結(jié)構(gòu)的體積分?jǐn)?shù)。當(dāng)t極大或極小時(shí),極小曲面會(huì)出現(xiàn)斷裂現(xiàn)象,導(dǎo)致結(jié)構(gòu)在歐式空間中不連續(xù),極小曲面多孔結(jié)構(gòu)如圖2所示。

(a)P型曲面(b)G型曲面 (c)I-WP型曲面圖2 極小曲面多孔結(jié)構(gòu)Fig.2 TPMS-based cellular structures

在極小曲面隱式水平集函數(shù)中引入罰函數(shù),獲得如圖3所示的極小曲面骨架結(jié)構(gòu),保證極小曲面多孔結(jié)構(gòu)在小體積分?jǐn)?shù)下具有良好的連續(xù)性,表達(dá)式如下

(5)

(6)

C(Z)C(X))-(C(2X)+C(2Y)+C(2Z))-t

(7)

(a)P型曲面(b)G型曲面 (c)I-WP型曲面圖3 極小曲面骨架結(jié)構(gòu)Fig.3 TPMS-based skeleton structures

1.2 多孔結(jié)構(gòu)混合參數(shù)化建模

拓?fù)鋬?yōu)化方法設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)型復(fù)雜,構(gòu)造幾何參數(shù)驅(qū)動(dòng)模型梯度漸變是梯度多孔結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。圖4給出了三周期極小曲面參數(shù)化模型。為實(shí)現(xiàn)極小曲面與拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)合,對(duì)極小曲面隱式水平集函數(shù)線性加權(quán),構(gòu)造了混合水平集函數(shù)

(8)

圖4 三周期極小曲面參數(shù)化模型Fig.4 The parameterized TPMS models

根據(jù)參與建模的極小曲面類型和構(gòu)造方法,將所設(shè)計(jì)的極小曲面多孔結(jié)構(gòu)分為實(shí)心多孔結(jié)構(gòu)、空心多孔結(jié)構(gòu)和混合多孔結(jié)構(gòu)。本文采用I-WP型和P型兩種極小曲面進(jìn)行混合建模。

為建立空心多孔結(jié)構(gòu)參數(shù)化模型,對(duì)式(8)與同類型極小曲面隱式水平集函數(shù)進(jìn)行差集布爾運(yùn)算,得到空心多孔結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)表達(dá)式ΦH。差集布爾運(yùn)算數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(9)

為獲得混合多孔結(jié)構(gòu),對(duì)兩種極小曲面的混合水平集函數(shù)進(jìn)行并集布爾運(yùn)算,得到混合多孔結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)表達(dá)式Φhyb。并集布爾運(yùn)算數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(10)

2 三維數(shù)值均勻化法

三維數(shù)值均勻化法廣泛應(yīng)用于計(jì)算周期性多孔微結(jié)構(gòu)的宏觀等效屬性。基于數(shù)值均勻化法的變密度拓?fù)鋬?yōu)化方法能夠生成大量中間密度,滿足多孔結(jié)構(gòu)的材料分布需求。因此,本文采用三維數(shù)值均勻化法計(jì)算極小曲面多孔結(jié)構(gòu)的宏觀等效彈性張量。

2.1 極小曲面多孔結(jié)構(gòu)等效彈性屬性分析

基于均勻化理論,極小曲面多孔結(jié)構(gòu)的等效彈性張量可表示為

(11)

為得到擾動(dòng)位移χij,構(gòu)建均勻化平衡方程的矩陣形式如下

Kχij=fij

(12)

剛度矩陣為

(13)

虛擬載荷為

(14)

式中:Be為單元應(yīng)變-位移矩陣;εij為6個(gè)單位應(yīng)變,ε11=(1,0,0,0,0,0)T,ε22=(0,1,0,0,0,0)T,ε33=(0,0,1,0,0,0)T,ε12=(0,0,0,1,0,0)T,ε23=(0,0,0,0,1,0)T,ε13=(0,0,0,0,0,1)T。

將擾動(dòng)位移代入式(11),得到多孔結(jié)構(gòu)的宏觀等效彈性張量。由于極小曲面多孔結(jié)構(gòu)為體心立方結(jié)構(gòu),具有高度對(duì)稱性,其宏觀等效彈性張量為6×6的對(duì)稱矩陣,僅有3個(gè)獨(dú)立變量,簡(jiǎn)化形式如下式

(15)

2.2 基于徑向基函數(shù)的參數(shù)化等效彈性屬性

徑向基函數(shù)由于其插值效率高、收斂性好、插值系統(tǒng)解的唯一性等優(yōu)點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于離散數(shù)據(jù)的插值擬合[26-27]。宏觀等效彈性張量關(guān)于混合權(quán)重因子的函數(shù)曲線如圖5所示。采用徑向基函數(shù)建立多孔結(jié)構(gòu)宏觀等效彈性張量關(guān)于權(quán)重因子α的函數(shù),表達(dá)式如下

(a)P型多孔結(jié)構(gòu)

(b)I-WP型實(shí)心多孔結(jié)構(gòu)

(c)I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)

(d)I-WP&P型混合多孔結(jié)構(gòu)圖5 宏觀等效彈性張量關(guān)于混合權(quán)重因子的函數(shù)曲線Fig.5 Function curves of the macroscopic equivalent elasticity tensor with respect to the hybrid weight factor

(16)

(17)

其中γ是形狀參數(shù),即水平集網(wǎng)格體積的倒數(shù)。

同理,基于高斯徑向基函數(shù)建立多孔結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)關(guān)于權(quán)重因子α的函數(shù)V(α)表達(dá)式如下

(18)

式中:vi為擴(kuò)展系數(shù),本文為體積分?jǐn)?shù)。體積分?jǐn)?shù)關(guān)于權(quán)重因子的函數(shù)曲線如圖6所示。

圖6 體積分?jǐn)?shù)關(guān)于權(quán)重因子的函數(shù)曲線Fig.6 Curves of the volume fraction with respect to the weight factor

3 梯度多孔結(jié)構(gòu)高階連續(xù)建模

梯度多孔結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)過(guò)程中,多孔單胞間的連續(xù)性至關(guān)重要,良好的連續(xù)性有助于降低梯度多孔結(jié)構(gòu)在低連通區(qū)域的應(yīng)力集中[28-30]。

極小曲面的隱式水平集函數(shù)通過(guò)歐拉網(wǎng)格定義,結(jié)構(gòu)邊界為局部水平集函數(shù)的零水平面。局部水平集函數(shù)可由混合水平集函數(shù)進(jìn)行定義,如下式

(19)

式中:M為混合建模的極小曲面數(shù);X=(x,y,z)為高維物理空間坐標(biāo);βj為第j個(gè)極小曲面的權(quán)重函數(shù),如下式

(20)

其中Ωj為極小曲面j的區(qū)域。

(a)權(quán)重函數(shù)曲線

(b)原始梯度多孔結(jié)構(gòu)圖7 局部水平集權(quán)重函數(shù)Fig.7 The weight function of local level set

局部水平集權(quán)重函數(shù)如圖7所示。由圖7b可知,由局部水平集函數(shù)直接描述的結(jié)構(gòu)存在幾何突變的特征。為保證不同多孔單胞間的光滑過(guò)渡,采用Heaviside函數(shù)構(gòu)造局部插值模型,實(shí)現(xiàn)了梯度多孔結(jié)構(gòu)的高階幾何連續(xù)。局部插值模型數(shù)學(xué)表達(dá)式如下

H(Φj)=

(21)

式中:ζ為一個(gè)正極小值,用于避免數(shù)值奇異,Δ是Heaviside近似的半帶寬。高階連續(xù)局部插值模型如圖8所示。

(a)局部插值模型曲線

(b)基于局部插值模型的梯度多孔結(jié)構(gòu)圖8 高階連續(xù)局部插值模型Fig.8 The high-order continuity local interpolation model

4 梯度多孔結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

4.1 拓?fù)鋬?yōu)化模型

為實(shí)現(xiàn)極小曲面梯度多孔結(jié)構(gòu)剛度拓?fù)鋬?yōu)化,建立了體積約束下混合權(quán)重因子α為設(shè)計(jì)變量、結(jié)構(gòu)柔度最小化的優(yōu)化模型,如下式

(22)

式中:N為設(shè)計(jì)域內(nèi)的單元數(shù);目標(biāo)函數(shù)J為梯度多孔結(jié)構(gòu)的柔度;K、U和F分別為結(jié)構(gòu)的全局剛度矩陣、全局位移向量和全局載荷向量;V(α)為設(shè)計(jì)域的體積約束;V0為設(shè)計(jì)域的體積;f為體積分?jǐn)?shù)。

4.2 靈敏度分析

通過(guò)獲取目標(biāo)函數(shù)的梯度信息來(lái)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化算法有效搜索給定設(shè)計(jì)域內(nèi)最優(yōu)材料分布是拓?fù)鋬?yōu)化中的關(guān)鍵一步[19,31]。在拓?fù)鋬?yōu)化中,梯度信息通常被稱為敏度信息。因此,采用基于梯度信息的優(yōu)化準(zhǔn)則算法求解優(yōu)化模型式(22),需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度信息,目標(biāo)函數(shù)和約束條件對(duì)設(shè)計(jì)變量的一階導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)如下。

對(duì)于結(jié)構(gòu)柔度,在目標(biāo)函數(shù)中代入結(jié)構(gòu)場(chǎng)平衡方程KU=F,有J(α)=FTU,在確定的載荷條件下F為常量,結(jié)構(gòu)柔度關(guān)于設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)為

(23)

由上式可得

(24)

對(duì)結(jié)構(gòu)場(chǎng)平衡方程兩邊求導(dǎo)可得

(25)

將式(25)代入式(24)中,結(jié)構(gòu)柔度關(guān)于設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)為

(26)

其中

(27)

將式(27)代入式(26)中,結(jié)構(gòu)柔度關(guān)于設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)為

(28)

根據(jù)式(16),有

(29)

根據(jù)式(17),高斯徑向基函數(shù)關(guān)于設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)如下式

(30)

5 數(shù)值案例及實(shí)驗(yàn)分析

本文通過(guò)以下數(shù)值案例驗(yàn)證多孔結(jié)構(gòu)剛度拓?fù)鋬?yōu)化方法的有效性,每個(gè)算例討論實(shí)心多孔結(jié)構(gòu)(方案1)、空心多孔結(jié)構(gòu)(方案2)、混合多孔結(jié)構(gòu)(方案3)3種不同代表性體積單胞的結(jié)構(gòu)柔度最小化問題。假定構(gòu)成實(shí)體材料的彈性模量為1、泊松比為0.3,優(yōu)化迭代中前后目標(biāo)函數(shù)差值小于0.001或迭代次數(shù)達(dá)到200次時(shí),優(yōu)化結(jié)束。

5.1 三維懸臂梁結(jié)構(gòu)

5.1.1 數(shù)值案例 懸臂梁結(jié)構(gòu)邊界條件如圖9所示,固定336×42×168的懸臂梁結(jié)構(gòu)左端面,結(jié)構(gòu)右端面下邊界處施加F=-1的均布載荷。將宏觀結(jié)構(gòu)離散為16×2×8個(gè)八節(jié)點(diǎn)六面體單元,初始結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)為0.28,開展拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

圖9 懸臂梁結(jié)構(gòu)邊界條件Fig.9 Boundary condition of a cantilever beam structure

極小曲面梯度多孔結(jié)構(gòu)如圖10所示,優(yōu)化的結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)明顯的梯度分布,實(shí)現(xiàn)了功能的梯度變化,且滿足高階連續(xù)。對(duì)于方案1,通過(guò)優(yōu)化權(quán)重因子α,初始結(jié)構(gòu)柔度為4 635,優(yōu)化后結(jié)構(gòu)柔度為1 220,結(jié)構(gòu)剛度提升約為74%;對(duì)于方案2,通過(guò)優(yōu)化權(quán)重因子α,改變了空心多孔結(jié)構(gòu)壁厚,初始結(jié)構(gòu)柔度為2 857,優(yōu)化后結(jié)構(gòu)柔度為1 085,結(jié)構(gòu)剛度提升約為62%;對(duì)于方案3,通過(guò)優(yōu)化權(quán)重因子α,較大體積模量的P型多孔結(jié)構(gòu)向較大剪切模量的I-WP型多孔結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變,初始結(jié)構(gòu)柔度為1 897,優(yōu)化后結(jié)構(gòu)柔度為1 268,結(jié)構(gòu)剛度約提升33%。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明,在未優(yōu)化的初始均勻結(jié)構(gòu)中,多孔結(jié)構(gòu)的剛度性能優(yōu)劣依次為混合多孔結(jié)構(gòu)、空心多孔結(jié)構(gòu)、實(shí)心多孔結(jié)構(gòu);相比于未優(yōu)化的均布的極小曲面多孔結(jié)構(gòu),優(yōu)化的梯度多孔結(jié)構(gòu)的剛度得到了顯著提升。

(a)方案1

(b)方案2

(c)方案3圖10 極小曲面梯度多孔結(jié)構(gòu)Fig.10 TPMS-based graded cellular structures

5.1.2 魯棒性分析 在結(jié)構(gòu)實(shí)際工作期間,載荷往往不是恒定的,在非預(yù)期邊界條件下的結(jié)構(gòu)性能是衡量結(jié)構(gòu)魯棒性的重要標(biāo)準(zhǔn)。為驗(yàn)證多孔結(jié)構(gòu)的魯棒性,在非預(yù)期載荷的情況下對(duì)比了本文的3種方案、均勻結(jié)構(gòu)和傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化的實(shí)體結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)柔度變化。非預(yù)期載荷的大小與預(yù)期載荷相等,方向沿y軸偏轉(zhuǎn)1.37°,受非預(yù)期載荷懸臂梁結(jié)構(gòu)的邊界條件如圖11所示。在邊界條件不變的情況下計(jì)算預(yù)期與非預(yù)期載荷的結(jié)構(gòu)柔度,結(jié)果如圖12所示。

圖11 受非預(yù)期載荷懸臂梁結(jié)構(gòu)的邊界條件Fig.11 Boundary conditions of the cantilever beam structure with unexpected load

由圖12可知,傳統(tǒng)實(shí)體結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)柔度由預(yù)期載荷下的1 664升高至1 923,結(jié)構(gòu)柔度上升了259。實(shí)心多孔結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)柔度由1 219升高至1 416,結(jié)構(gòu)柔度上升了180?？招亩嗫捉Y(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)柔度由1 085升高至1 265,結(jié)構(gòu)柔度上升了197?；旌隙嗫捉Y(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)柔度由1 268升高至1 469,結(jié)構(gòu)柔度上升了201。均勻結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)柔度由4 634升高至5 057,結(jié)構(gòu)柔度上升了423。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明,相比傳統(tǒng)實(shí)體結(jié)構(gòu)和均勻多孔結(jié)構(gòu),本文所設(shè)計(jì)的梯度多孔結(jié)構(gòu)在非預(yù)期載荷下的結(jié)構(gòu)柔度變化較小,可以保證較高的結(jié)構(gòu)剛度,具有良好的魯棒性。

圖12 預(yù)期與非預(yù)期載荷的結(jié)構(gòu)柔度Fig.12 Structural compliance under unexpected and expected loads

5.2 三維Michell梁結(jié)構(gòu)

5.2.1 數(shù)值案例 Michell梁結(jié)構(gòu)邊界條件如圖13所示,固定尺寸為294×42×82的Michel梁結(jié)構(gòu)底部?jī)啥?結(jié)構(gòu)的上端面中部處施加F=-1的均布載荷。將宏觀結(jié)構(gòu)離散為14×2×4個(gè)八節(jié)點(diǎn)六面體單元,初始結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)為0.28,為簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程,僅對(duì)總設(shè)計(jì)域的右半部分結(jié)構(gòu)開展拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

圖13 Michell梁結(jié)構(gòu)邊界條件Fig.13 Boundary condition of the Michell beam

圖14給出了Michell梁梯度多孔結(jié)構(gòu)。方案1中初始結(jié)構(gòu)柔度為1 218,優(yōu)化后結(jié)構(gòu)柔度為310,結(jié)構(gòu)剛度提升約為74%;方案2中初始結(jié)構(gòu)柔度為797,優(yōu)化后結(jié)構(gòu)柔度為293,結(jié)構(gòu)剛度提升約為63%;方案3中初始結(jié)構(gòu)柔度為625,優(yōu)化后結(jié)構(gòu)柔度為426,結(jié)構(gòu)剛度提升約為32%。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明,優(yōu)化的梯度多孔結(jié)構(gòu)的剛度得到了顯著提升,且不同代表性體積單胞的Michell梁結(jié)構(gòu)剛度優(yōu)化程度與對(duì)應(yīng)的懸臂梁結(jié)構(gòu)剛度優(yōu)化程度基本一致。

(a)方案1

(b)方案2

(c)方案3圖14 Michell梁梯度多孔結(jié)構(gòu)Fig.14 Michell beam with graded cellular structures

5.2.2 Michell梁結(jié)構(gòu)的三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)分析 為進(jìn)一步揭示梯度多孔MBB梁的力學(xué)性能,對(duì)3種優(yōu)化的MBB梁結(jié)構(gòu)、均勻I-WP實(shí)體多孔結(jié)構(gòu)進(jìn)行三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)。由于數(shù)值案例簡(jiǎn)化了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域,在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)前,通過(guò)對(duì)稱平面將優(yōu)化結(jié)構(gòu)鏡像為完整MBB梁。為保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性,實(shí)驗(yàn)的結(jié)構(gòu)尺寸和體積分?jǐn)?shù)與5.2.1節(jié)中數(shù)值案例一致。選EOS-P760型3D打印機(jī),采用選擇性激光燒結(jié)技術(shù),制造了4種MBB梁結(jié)構(gòu)試樣,不同方案的3D打印試樣如圖15所示。結(jié)構(gòu)材料為PA2200,彈性模量為741 MPa,泊松比為0.3,屈服強(qiáng)度為54 MPa。

(a)均勻多孔結(jié)構(gòu)

(b)方案1

(c)方案2

(d)方案3圖15 不同方案的3D打印試樣Fig.15 3D-printed specimens

在溫室條件下,采用萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn),在保證結(jié)構(gòu)邊界條件一致的情況下,以50 mm/min的動(dòng)態(tài)載荷加載,加載時(shí)間為8 s,不同方案的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖16所示。

(a)均布多孔結(jié)構(gòu)

(b)方案1

(c)方案2

(d)方案3圖16 不同方案的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.16 The experimental platform in different schemes

彎曲載荷-位移曲線如圖17所示。由圖17可知,4種結(jié)構(gòu)所受到的載荷與位移呈線性變化。相對(duì)于均布的I-WP型均布結(jié)構(gòu),本文所設(shè)計(jì)的梯度結(jié)構(gòu)的斜率更大,具有更優(yōu)的承載特性,從而驗(yàn)證了本文方法的有效性。由于實(shí)驗(yàn)樣件的制造誤差以及I-WP實(shí)心梯度結(jié)構(gòu)與空心梯度結(jié)構(gòu)的理論柔度相差較小,從而造成兩種梯度結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)曲線斜率相近,但實(shí)驗(yàn)結(jié)果的變化趨勢(shì)符合理論分析的預(yù)期。

圖17 彎曲載荷-位移曲線Fig.17 The load-displacement curves

6 結(jié) 論

本文提出了一種隱式曲面梯度多孔結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。通過(guò)混合水平集函數(shù)實(shí)現(xiàn)了極小曲面多孔結(jié)構(gòu)混合參數(shù)化建模。結(jié)合數(shù)值均勻化法建立柔度最小化的拓?fù)鋬?yōu)化模型,基于局部插值模型,實(shí)現(xiàn)了高階連續(xù)的梯度多孔結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。數(shù)值案例和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,所設(shè)計(jì)的梯度多孔結(jié)構(gòu)較均布極小曲面多孔結(jié)構(gòu)具有更優(yōu)的魯棒性和承載特性,且單胞構(gòu)型的不同會(huì)造成梯度多孔結(jié)構(gòu)功能特性差異。所提方法能有效實(shí)現(xiàn)多孔單胞構(gòu)型對(duì)結(jié)構(gòu)功能特性的調(diào)控,豐富了多孔結(jié)構(gòu)的力學(xué)內(nèi)涵。