吳 鑫， 李高磊， 樂 源

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031)

具有懸臂結(jié)構(gòu)的碰撞系統(tǒng)作為一類典型的非光滑系統(tǒng)，已廣泛應(yīng)用于航空航天、機(jī)械制造、電子器件等工業(yè)領(lǐng)域[1-3]。通常，非光滑系統(tǒng)中的非光滑因素來源于系統(tǒng)間隙、碰撞或干摩擦等。而具有懸臂結(jié)構(gòu)的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)則同時(shí)具有懸臂結(jié)構(gòu)彎曲產(chǎn)生的幾何非線性因素和碰撞所產(chǎn)生的非光滑因素，其累積效應(yīng)通常會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象[4]。目前，對(duì)懸臂碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的研究主要集中在系統(tǒng)的諧波共振、分岔和混沌等動(dòng)力學(xué)行為方面[5-7]。目前尚無關(guān)于懸臂碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的奇異非混沌動(dòng)力學(xué)方面的相關(guān)研究。

奇異非混沌吸引子(strange nonchaotic attractors, SNAs)是奇異但非混沌的吸引集，其通常產(chǎn)生于擬周期運(yùn)動(dòng)與混沌運(yùn)動(dòng)之間?！捌娈悺敝傅氖俏泳哂蟹中蔚膸缀谓Y(jié)構(gòu)。“非混沌”指的是吸引子不依賴于系統(tǒng)的初始條件，即最大Lyapunov指數(shù)為非正數(shù)。從Grebogi等[8]在1984年首次揭示SNAs以來，人們認(rèn)識(shí)到“奇異”并非等價(jià)于“混沌”，并在各類非線性動(dòng)力系統(tǒng)中通過理論、數(shù)值和試驗(yàn)等方法對(duì)SNAs進(jìn)行了廣泛的研究。目前奇異非混沌動(dòng)力學(xué)已經(jīng)成為動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域重要的研究課題之一。

Ding等[9]從數(shù)值和解析的角度證實(shí)了SNAs在擬周期系統(tǒng)中的存在，并舉例說明了在典型的擬周期系統(tǒng)中可能出現(xiàn)的多種動(dòng)力學(xué)行為。Pikovsky等[10]利用SNAs對(duì)外激勵(lì)相位具有敏感依賴性，通過計(jì)算相敏感指數(shù)來刻畫吸引子的奇異性。Nishikawa等[11]利用不變曲線的泛函方程研究了一類SNAs在擬周期激勵(lì)系統(tǒng)中的分形及混沌演化。Witt等[12]通過研究受擬周期激勵(lì)Logistic映射的周期3窗口的內(nèi)部激變，發(fā)現(xiàn)了由內(nèi)部激變導(dǎo)致SNAs產(chǎn)生的新機(jī)制。Ditto等[13]在研究受雙頻擬周期激勵(lì)的屈曲磁彈性帶的試驗(yàn)中，首次證實(shí)了SNAs的存在。Thamilmaran等[14]通過試驗(yàn)方法在LCR電路系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)了產(chǎn)生SNAs的三種路徑，即Heagy-Hammel路徑、分形路徑和陣發(fā)路徑。Chithra等[15]在三階混沌電路系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了混沌吸引子及奇異非混沌吸引子，并通過最大Lyapunov指數(shù)、功率譜和0-1測(cè)試方法對(duì)兩種吸引子進(jìn)行了區(qū)分。Lindner等[16]利用開普勒太空望遠(yuǎn)鏡記錄了天琴座內(nèi)一些恒星的亮度在主頻率和次頻率上波動(dòng)的光線曲線，這兩種頻率的比率接近于黃金分割值，而由次頻率驅(qū)動(dòng)的非線性動(dòng)力系統(tǒng)通常存在SNAs，這是實(shí)驗(yàn)室外首次證實(shí)SNAs的存在。

上面的研究對(duì)象多數(shù)是針對(duì)光滑系統(tǒng)。目前已經(jīng)有研究發(fā)現(xiàn)在碰撞類非光滑系統(tǒng)中也存在豐富的奇異非混沌動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。Zhang等[17]研究了一類剛性約束碰撞振動(dòng)系統(tǒng)在余維三分岔點(diǎn)附近由于環(huán)面倍化中斷而產(chǎn)生的SNAs。Yue等[18]通過研究周期激勵(lì)的三自由度對(duì)稱碰撞振動(dòng)模型，在系統(tǒng)余維二分岔點(diǎn)附近發(fā)現(xiàn)存在SNAs，并進(jìn)一步討論了SNAs與混沌吸引子等的共存情況。

在實(shí)際工程中，具有懸臂結(jié)構(gòu)的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)有時(shí)處于復(fù)雜的外部環(huán)境中。通常，可用多頻激勵(lì)來近似模擬系統(tǒng)在外荷載作用下的振動(dòng)碰撞，當(dāng)各激振頻率不可有理通約時(shí)，則可以視為系統(tǒng)受擬周期激勵(lì)[19]。本文在以上研究基礎(chǔ)上，建立一類受擬周期激勵(lì)的具有懸臂結(jié)構(gòu)的碰撞振動(dòng)非光滑模型，揭示了其奇異非混沌動(dòng)力學(xué)以及多穩(wěn)態(tài)共存現(xiàn)象。通過相敏感性、奇異連續(xù)譜和有理數(shù)頻率逼近以及狀態(tài)變量的傅里葉變換的部分和在復(fù)平面上的路徑等工具刻畫了吸引子的奇異性；并利用最大Lyapunov指數(shù)[20-22]描述了吸引子的非混沌性。研究發(fā)現(xiàn)此類非光滑系統(tǒng)中SNAs的兩種不同演化路徑及其與擬周期吸引子及混沌吸引子共存的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。

1 含懸臂結(jié)構(gòu)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

含懸臂結(jié)構(gòu)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示。質(zhì)量為M的質(zhì)量塊連接在兩根懸臂結(jié)構(gòu)的自由端，懸臂結(jié)構(gòu)簡化為兩片板式彈簧，不計(jì)質(zhì)量，長度為L，抗彎剛度為EI(E，I分別為懸臂結(jié)構(gòu)的彈性模量和截面慣性矩)。質(zhì)量塊受到F1=A1cos(ωt)和F2=A2cos(φt)的激勵(lì)力作用，e1和e2為質(zhì)量塊與彈簧約束面之間的間隙。以系統(tǒng)靜止時(shí)質(zhì)量塊上邊緣為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為正方向，建立直角坐標(biāo)系。當(dāng)質(zhì)量塊的位移為e1或-e2時(shí)，將會(huì)與上下兩個(gè)彈性約束面發(fā)生碰撞。

圖1 含懸臂結(jié)構(gòu)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of vibro-impact system with cantilever

單自由度含懸臂結(jié)構(gòu)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(1)

式中：f(X)為懸臂結(jié)構(gòu)的彈性恢復(fù)力，其可以描述為非線性形式

(2)

E(X)為間隙分段函數(shù)，其表達(dá)式為

(3)

引入無量綱量，式(1)可轉(zhuǎn)化為

(4)

其中，

(5)

令θ=ωt，φ=φt，將式(4)在相空間R2×T2中寫成如下形式

(6)

通過角度變量φ引入三維Poincaré映射

Π:Σ→Σ,
Σ≡{(x,v,θ)∈R×R×S1|φmod 2π=0}

(7)

則映射方程可表示為

(8)

2 吸引子奇異性驗(yàn)證

2.1 相敏感函數(shù)

由于映射式(8)在區(qū)間θ=[0 2π]上稠密，所以其SNAs是不分段可微的。SNAs對(duì)系統(tǒng)初始條件的改變不具有敏感性，這反映在其最大Lyapnuov指數(shù)為非正數(shù)。然而，其對(duì)外激勵(lì)的相位卻具有敏感依賴性?；诖丝梢酝ㄟ^研究吸引子對(duì)相位的導(dǎo)數(shù)來刻畫吸引子的奇異性。吸引子對(duì)相位的導(dǎo)數(shù)為

(9)

相敏感函數(shù)可以通過計(jì)算SNAs的時(shí)間序列而獲得。對(duì)于任意小的ε，存在于滿足相位差ε0=|θn0-θ0|<ε的n0，則吸引子對(duì)相位的導(dǎo)數(shù)又可近似表示為

(10)

(11)

2.2 奇異連續(xù)譜

奇異連續(xù)譜法是在研究擬周期晶格模型和受擬周期激勵(lì)的量子系統(tǒng)中首次提出。通常，動(dòng)力系統(tǒng)的功率譜具有三種狀態(tài)：周期或擬周期等常規(guī)運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的離散功率譜、混沌或隨機(jī)運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的連續(xù)功率譜、奇異非混沌運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的奇異連續(xù)譜。因此，通過對(duì)吸引子進(jìn)行譜分析可以驗(yàn)證吸引子的奇異性。

系統(tǒng)狀態(tài)變量x的傅里葉變換部分和可表示為[23]

(12)

式中：Ω與系統(tǒng)兩個(gè)激勵(lì)力的頻率之比成比例關(guān)系； 當(dāng)T為時(shí)間時(shí)，X(Ω,T)為復(fù)平面上(ReX,ImX)上的路徑。通常，X(Ω,T)與T存在以下冪率關(guān)系

(13)

式中，ρ為標(biāo)度因子。若系統(tǒng)吸引子為SNAs，則1<ρ<2，且X(Ω,T)在復(fù)平面(ReX,ImX)上的路徑具有分形自相似結(jié)構(gòu)。

2.3 有理數(shù)頻率逼近

φk=Fk-1/Fk，F(xiàn)k=1,1,2,3,5,8,…

(14)

式中，F(xiàn)k為斐波納契數(shù)。則系統(tǒng)無理數(shù)頻率可以表示為極限形式

(15)

通過以上變換，原擬周期系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為周期系統(tǒng)。

3 奇異非混沌吸引子

抗彎剛度作為懸臂結(jié)構(gòu)的重要力學(xué)參數(shù)之一，對(duì)其深入研究具有重要理論及現(xiàn)實(shí)意義。對(duì)于本系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)質(zhì)量塊質(zhì)量和懸臂結(jié)構(gòu)長度確定后，則無量綱參數(shù)α可視為系統(tǒng)懸臂結(jié)構(gòu)的抗彎剛度系數(shù)。因此，對(duì)系統(tǒng)抗彎剛度的研究可轉(zhuǎn)換為對(duì)系統(tǒng)參數(shù)α的研究。下面研究均以系統(tǒng)參數(shù)α為控制參數(shù)。

圖2 α=0.620，1T環(huán)面Fig.2 For α=0.620，1T tours

圖3 α=0.610，2T環(huán)面Fig.3 For α=0.610，2T tours

圖4 α=0.59，2T環(huán)面Fig.4 For α=0.59，2T tours

圖5 α=0.587 7，SNAFig.5 For α=0.587 7，SNA

圖6 α=0.56，混沌吸引子Fig.6 For α=0.56，chaotic attractor

圖7 最大Lyapunov指數(shù)譜Fig.7 Top Lyapunov exponent

圖8 α=0.59, α=0.587 7時(shí)相敏感函數(shù)Fig.8 Phase sensitivity function when α=0.59, α=0.587 7

當(dāng)α=0.587 7時(shí)系統(tǒng)的奇異連續(xù)譜，如圖9(a)所示。由圖9(a)可見，此時(shí)標(biāo)度因子β=1.28；X(Ω,T)在復(fù)平面(ReX,ImX)上的路徑圖像，如圖9(b)所示?？梢钥闯銎渚哂忻黠@的分形結(jié)構(gòu)，這也表明了吸引子的奇異性。

圖9 α=0.587 7時(shí)的奇異連續(xù)譜和分形結(jié)構(gòu)Fig.9 Singular continuous spectrum and fractal structure when α=0.587 7

圖10為當(dāng)近似階數(shù)為φk=144/233，φk=6 765/10 946時(shí)近似系統(tǒng)在(θn,xn)平面上對(duì)應(yīng)的相圖，對(duì)比圖5和圖10可以看出，當(dāng)近似階數(shù)增加時(shí)，近似系統(tǒng)的吸引子進(jìn)一步逼近原系統(tǒng)的吸引子，這再一次證實(shí)了α=0.587 7時(shí)系統(tǒng)吸引子的奇異。

圖10 α=0.587 7時(shí)有理數(shù)頻率逼近Fig.10 Rational frequency approximation when α=0.587 7

4 奇異非混沌吸引子的產(chǎn)生機(jī)制

4.1 分形路徑

圖11 α=0.615，1T環(huán)面Fig.11 For α=0.615，1T tours

圖12 α=0.605，1T環(huán)面Fig.12 For α=0.605，1T tours

圖13 α=0.600 5，SNAFig.13 For α=0.600 5，SNA

圖14 α=0.605, α=0.600 5時(shí)相敏感函數(shù)Fig.14 Phase sensitivity function when α=0.605, α=0.600 5

圖15 α=0.600 5時(shí)的奇異連續(xù)譜和分形結(jié)構(gòu)Fig.15 Singular continuous spectrum and fractal structure when α=0.600 5

圖16 α=0.600 5時(shí)的有理數(shù)頻率逼近和最大Lyapunov指數(shù)譜圖16 Rational frequency approximation and top Lyapunov exponent when α=0.600 5

4.2 陣發(fā)路徑

圖17 α=0.59，1T環(huán)面Fig.17 For α=0.59，1T tours

圖18 α=0.587，SNAFig.18 For α=0.587，SNA

SNAs的奇異性同樣通過相敏感性、奇異連續(xù)譜和有理數(shù)頻率逼近的方法進(jìn)行刻畫。通過系統(tǒng)相敏感函數(shù)描述系統(tǒng)在此參數(shù)條件下吸引子的奇異性，如圖19所示。圖20(a)為α=0.587時(shí)吸引子的奇異連續(xù)譜，可以看出SNA的奇異連續(xù)譜呈現(xiàn)出很強(qiáng)的冪率行為，此ρ=1.50，同時(shí)X(Ω,T)在復(fù)平面(ReX,ImX)上的路徑也具有明顯分形特征，如圖20(b)所示。圖21(a)為取近似階數(shù)φ6 765=6 765/10 946的有理數(shù)逼近，其與圖18(b)中的結(jié)構(gòu)相似。

圖19 α=0.587時(shí)相敏感函數(shù)Fig.19 Phase sensitivity function when α=0.587

圖20 α=0.587時(shí)奇異連續(xù)譜和分形結(jié)構(gòu)Fig.20 Singular continuous spectrum and fractal structure when α=0.587

在圖21(b)中，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)收斂于負(fù)值，表明了此時(shí)吸引子的非混沌性。

圖21 α=0.587時(shí)有理數(shù)頻率逼近和最大Lyapunov指數(shù)譜Fig.21 Rational frequency approximation and top Lyapunov exponent when α=0.587

5 奇異非混沌吸引子的多穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)

圖22 (θn,xn)平面上相圖Fig.22 Phase diagrams in (θn,xn)

當(dāng)α進(jìn)一步減小到0.608 27時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)SNA演化為暫態(tài)SNA。由圖23(a)可見，當(dāng)初始條件為(0.15,0.15)時(shí)，系統(tǒng)隨時(shí)間的演化由奇異非混沌運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)閿M周期運(yùn)動(dòng)，圖23(b)為初始條件為(0,0)時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)變量v的時(shí)間序列。不同時(shí)間區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)在(θn,xn)上的相圖，如圖24所示。由圖24(a)可見，在[0,30 000]時(shí)間區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)T-SNA與2T擬周期吸引子共存。

圖23 α=0.608 27狀態(tài)變量v的時(shí)間序列Fig.23 Time series of the state variable v when α=0.608 27

圖24 α=0.608 27時(shí)(θn,xn)平面上相圖Fig.24 For α=0.608 27, phase diagrams in (θn,xn)

當(dāng)α=0.599時(shí)，系統(tǒng)由暫態(tài)SNA演化為暫態(tài)混沌，如圖25(a)所示，同樣地，圖25(b)為初始條件為(0,0)時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)變量v的時(shí)間序列。圖26(a)展示了系統(tǒng)在[0,30 000]時(shí)間區(qū)域內(nèi)SNA與暫態(tài)混沌的共存情況。圖26(b)為系統(tǒng)在[50 000,100 000]時(shí)間區(qū)域內(nèi)的相圖，此時(shí)系統(tǒng)暫態(tài)混沌吸引子已轉(zhuǎn)變?yōu)镾NA。通過圖27系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)發(fā)現(xiàn)，隨著時(shí)間不斷演化，最大Lyapunov指數(shù)由正值進(jìn)入負(fù)值，這也表明了系統(tǒng)的暫態(tài)混沌發(fā)生轉(zhuǎn)移。

圖25 α=0.599狀態(tài)變量v的時(shí)間序列Fig.25 Time series of the state variable v when α=0.599

圖26 α=0.599時(shí)(θn,xn)平面上相圖Fig.26 For α=0.599, phase diagrams in (θn,xn)

圖27 α=0.599， (x0,v0)=(0.15,0.15)時(shí)最大Lyapunov指數(shù)譜Fig.27 For α=0.599, (x0,v0)=(0.15,0.15) top Lyapunov exponent

而當(dāng)α最終減小到0.593時(shí)，系統(tǒng)此時(shí)僅存混沌運(yùn)動(dòng)，如圖28所示，其對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)為0.004。

圖28 α=0.593時(shí)(θn,xn)平面上相圖Fig.28 For α=0.593, phase diagrams in (θn,xn)

6 結(jié) 論

奇異非混沌動(dòng)力學(xué)的研究已經(jīng)開展了三十多年，目前大多數(shù)的研究主要針對(duì)于不同領(lǐng)域的離散或光滑系統(tǒng)。本文以一類雙頻激勵(lì)的具有懸臂結(jié)構(gòu)的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。利用相敏感函數(shù)、奇異連續(xù)譜、有理數(shù)頻率逼近、狀態(tài)變量的傅里葉變換的部分和在復(fù)平面上的路徑、最大Lyapunov指數(shù)等工具，揭示了懸臂碰撞振動(dòng)系統(tǒng)豐富而又復(fù)雜的奇異非混沌動(dòng)力學(xué)及其多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。研究結(jié)果表明：

(1) 通常擬周期運(yùn)動(dòng)通過無限次的倍化可直接通向混沌。而本系統(tǒng)1T環(huán)面經(jīng)過一次倍化而變成2T環(huán)面后，擬周期吸引子便產(chǎn)生扭曲和褶皺，從而導(dǎo)致倍化終止。隨著參數(shù)變化，擬周期吸引子首先演化為SNA，最后通向混沌。

(2) 在某些參數(shù)區(qū)間，系統(tǒng)存在通向SNAs的不同路徑，即分形路徑和陣發(fā)路徑。分形路徑的顯著特征是擬周期吸引子產(chǎn)生褶皺狀，這也可視為SNAs出現(xiàn)的前兆，而陣發(fā)路徑的特征是原擬周期吸引子附近出現(xiàn)散亂無序的離散點(diǎn)，直到演變?yōu)镾NAs。

(3) 系統(tǒng)存在暫態(tài)及穩(wěn)態(tài)SNAs與擬周期吸引子的共存、穩(wěn)態(tài)SNAs與混沌吸引子的共存情況，首先出現(xiàn)的SNA是由陣發(fā)路徑而產(chǎn)生，且通過數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)其共存區(qū)間較短。當(dāng)穩(wěn)態(tài)SNA轉(zhuǎn)變?yōu)闀簯B(tài)SNA后，另一個(gè)擬周期吸引子也逐漸開始向SNA演化。當(dāng)后面的擬周期吸引子演變?yōu)镾NA時(shí)，系統(tǒng)暫態(tài)SNA也演化為暫態(tài)混沌吸引子，此時(shí)系統(tǒng)SNA與暫態(tài)混沌吸引子發(fā)生共存。最終，系統(tǒng)暫態(tài)混沌消失，SNA轉(zhuǎn)遷為穩(wěn)定的混沌吸引子。

本文的研究方法和結(jié)果可為非光滑連續(xù)系統(tǒng)中的奇異非混沌動(dòng)力學(xué)理論研究提供思路，同時(shí)也可為工程中含懸臂結(jié)構(gòu)的相關(guān)碰撞裝置或構(gòu)件的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供理論支持。