朱宇杰, 張智勇,,, 陳毅恒, 芮筱亭, SATTEL Thomas, 陳予恕, 楊紹普
(1. 南京理工大學(xué) 理學(xué)院,南京 210094; 2. 南京理工大學(xué) 發(fā)射動力學(xué)研究所,南京 210094;3. 伊爾默瑙工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院,伊爾默瑙 98684; 4. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院,哈爾濱 150001;5. 石家莊鐵道大學(xué) 省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點實驗室,石家莊 050043)
制造業(yè)是工業(yè)經(jīng)濟最重要的支柱,機械工業(yè)在制造業(yè)中的占比接近2/3,其中軸承產(chǎn)業(yè)直接或間接地影響著我國20萬億人民幣以上規(guī)模的經(jīng)濟量[1]。滾動軸承由于其低阻尼、大過載和小體積等特點,是旋轉(zhuǎn)機械的主要支承件和傳動部件。軸承滾動體在自轉(zhuǎn)的同時隨保持架在滾道內(nèi)繞轉(zhuǎn)軸公轉(zhuǎn),不可避免地會引起軸承支承剛度時變特性,并誘發(fā)系統(tǒng)的變?nèi)岫?varying compliance,VC)參激振動[2-3]。一般而言,健康軸承對其支承系統(tǒng)振動特性的影響主要體現(xiàn)在彈性支承和VC時變激勵兩個方面[4-5],在軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)設(shè)計過程中應(yīng)充分考慮滾動軸承的激振特性。
滾動軸承被視為本質(zhì)非線性機械件[6],包含滾動體與滾道之間的Hertzian接觸、軸承游隙以及VC參激等多種非線性因素,由此帶來的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的滯后突跳振動研究,歷來屬于軸承-轉(zhuǎn)子動力學(xué)領(lǐng)域的基本科學(xué)問題[7-9]。我國現(xiàn)役某型軍機航空發(fā)動機在高壓轉(zhuǎn)子前支承球軸承處就曾多次出現(xiàn)超過故障判據(jù)的異常突跳振動現(xiàn)象,導(dǎo)致該型軍機發(fā)動機多次提前返廠修理。Sunnersj?較早分析了考慮慣性力的線彈性圓柱滾子軸承模型,發(fā)現(xiàn)VC振動可以給系統(tǒng)帶來周期運動和不規(guī)則的非周期運動。Fukata等針對考慮Hertzian接觸和軸承徑向游隙非線性的經(jīng)典兩自由度軸承模型,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在一階VC共振頻率區(qū)間具有亞諧、準(zhǔn)周期和類混沌運動行為。Mevel等[10-11]對該模型進行進一步的理論和試驗,探討了球軸承VC振動通向混沌的道路,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在一階臨界轉(zhuǎn)速區(qū)間存在倍周期分岔失穩(wěn)進入混沌運動的形式。Sankaravelu等[12]把打靶法與同倫延拓法相結(jié)合,發(fā)現(xiàn)滾動軸承VC振動幅頻響應(yīng)曲線具有滯后跳躍行為。之后,Ghafari等[13-15]也分析了滾動軸承VC滯后突跳或其雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。從Hertzian接觸共振角度出發(fā),Zhang等[16-17]采用諧波平衡-頻時轉(zhuǎn)換(harmonic balance and alternating frequency/time domain,HB-AFT)方法,研究發(fā)現(xiàn)球軸承在VC參激接觸主共振區(qū)間具有軟滯后和交叉滯后共振行為。隨后,Jin等[18]對上述共振特性進行了試驗驗證。另外,Zhang等[19]指出球軸承主共振區(qū)間的倍周期分岔行為可由系統(tǒng)不同自由度方向上的VC參激1∶2內(nèi)共振引起,并給出了一類有效的控制VC運動周期倍化的方法。上述研究主要針對滾動軸承VC主共振區(qū)間的響應(yīng)特性展開。然而,根據(jù)非線性振動基本理論,參激系統(tǒng)往往具有豐富的主共振、內(nèi)共振、超諧、亞諧和組合共振行為,因此相關(guān)工作有待深入展開。
學(xué)者們對不同類型非線性振動系統(tǒng)的亞諧共振及其失穩(wěn)特性展開了廣泛研究,在種群系統(tǒng)[20]、湍流演化[21]、分子動力學(xué)[22]、微機電系統(tǒng)(micro-electro-mechanical system,MEMS)[23]、電動力學(xué)[24-25]、能量采集[26]等領(lǐng)域針對亞諧共振研究取得了系列成果。就軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)而言,隨著旋轉(zhuǎn)機械向高速、重載和自動化方向發(fā)展,這對滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性、安全性提出了更高的要求,促進了研究者對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)亞諧共振的深入研究。Ehrich[27]基于對系統(tǒng)有限差分方程數(shù)值積分,分析了考慮軸承游隙的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎曲振動響應(yīng)特性隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律,發(fā)現(xiàn)在低阻尼和強非線性情形下系統(tǒng)可能發(fā)生高階亞諧振動行為。Yoshida等[28]研究了考慮重力和Hertzian非線性的非對稱球軸承-Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不平衡激勵下的響應(yīng)特性,文中對于Hertzian接觸1.5次冪非線性支承力項采用包含線性項和三次非線性項恢復(fù)力的形式擬合替代,采用多性尺度法研究了系統(tǒng)的共振幅頻特性,并對其穩(wěn)定性進行了分析。理論和試驗表明,系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速約為水平和垂直方向上自然頻率的兩倍的情況下,在重載和非重載方向分別具有軟、硬滯后1/2階亞諧共振特性。另外,該文發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在兩個1/2階亞諧共振區(qū)間具有組合共振特性,但未作深入研究。Bai等[29]建立了考慮球軸承Hertzian接觸力、軸承游隙以及轉(zhuǎn)子彎曲振動在內(nèi)的六自由度非線性轉(zhuǎn)子模型,利用軸心軌跡和幅頻響應(yīng)曲線研究了系統(tǒng)在不平衡激勵下的亞諧共振特性,并且采用Floquet理論分析了系統(tǒng)響應(yīng)的失穩(wěn)特性,所得結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)吻合。他們指出球軸承亞諧共振是由于系統(tǒng)的Hertzian接觸力和軸承游隙等非線性因素共同作用的結(jié)果。Hou等[30]研究了盤旋狀態(tài)下非線性剛度、阻尼、偏心距和操縱負荷對飛行器轉(zhuǎn)子系統(tǒng)共振特性的影響,發(fā)現(xiàn)偏心距和操縱負荷越大,觸發(fā)的亞諧共振越強。Wu等[31]針對包括多個裝配間隙的轉(zhuǎn)子-軸承-基座系統(tǒng),采用Jones-Harris方法獲得了考慮預(yù)緊的角接觸高速球軸承的等效非線性支撐剛度,通過建立系統(tǒng)的集總參數(shù)模型分析了不平衡激勵和間隙對系統(tǒng)振動響應(yīng)幅度的影響。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)具有亞諧滯后共振響應(yīng)特性,且隨著裝配間隙的增加,系統(tǒng)的振動響應(yīng)幅度和共振跳躍行為會更加突出,同時系統(tǒng)的共振位置向低頻移動。目前為止,如上所述國內(nèi)外主要針對不平衡激勵下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的亞諧共振特性進行了研究,并未深入分析軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)VC參激下的亞諧共振行為。
HB-AFT方法利用AFT時域離散化技術(shù),能夠快速得到非線性項的頻域信息,進而完成非線性系統(tǒng)的諧波平衡過程,實現(xiàn)對一般非線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)諧波響應(yīng)的求解[32]。Kim等[33-34]為了分析多自由度、多頻激勵系統(tǒng)的準(zhǔn)周期響應(yīng)特性,發(fā)展了廣義HB-AFT方法。Zhang等將同倫延拓技術(shù)嵌入HB-AFT方法,結(jié)合Hsu求解Floquet單值矩陣的離散方法,能夠自動追蹤非線性系統(tǒng)周期響應(yīng)及其分岔特性。最近,Chen等[35]利用系統(tǒng)整體傳遞矩陣階數(shù)與系統(tǒng)的自由度數(shù)無關(guān)的特點,給出了結(jié)合模型增量傳遞矩陣的諧波平衡方法,提升了諧波平衡法求解多自由度系統(tǒng)周期響應(yīng)的效率。
本文針對球軸承VC參激亞諧共振研究甚少的現(xiàn)狀,將以HB-AFT方法和Floquet理論為主要分析手段,深入研究球軸承系統(tǒng)VC參激1/2階亞諧共振響應(yīng)的觸發(fā)機制、滯后跳躍特性及其分岔失穩(wěn)機理,并擬探究軸承徑向游隙、阻尼等系統(tǒng)主要參數(shù)對復(fù)雜亞諧共振行為的影響規(guī)律。
本文采用經(jīng)典的兩自由度深溝球軸承模型,如圖1所示。圖1中的模型包含滾動體與滾道之間的Hertzian接觸、軸承游隙以及VC參激等因素,已有研究表明,該球軸承-剛性Jeffcott轉(zhuǎn)子模型能夠較好地定性和定量反映系統(tǒng)徑向VC振動的響應(yīng)特性,特別是在軸承徑向跳動分析中具有重要價值。本文所研究的JIS6306球軸承的具體規(guī)格參數(shù),如表1所示。
圖1 球軸承系統(tǒng)及其兩自由度彈簧模型Fig.1 The ball bearing system and its two-degree-of-freedom spring model
表1 JIS6306球軸承的規(guī)格參數(shù)Tab.1 Specifications of JIS6306 ball bearing
見圖1,第i個滾動體的瞬時角位置為
θi=2π(i-1)/Nb+Ωt
(1)
其中,滾動體通過角頻率(即保持架轉(zhuǎn)速)
Ω=ωs(1-Db/Dh)/2
(2)
則第i個滾動體與軸承套圈的接觸變形表示為
δi=xcosθi+ysinθi-δ0
(3)
式中:ωs為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速; 2δ0為軸承的徑向游隙。
假設(shè)滾動體和滾道之間滿足Hertzian點接觸受力變形關(guān)系,則球軸承恢復(fù)力滿足
(4)
式中,G[·]為Heavisde函數(shù)。當(dāng)δi≥0時,G[δi]=1,表示第i個滾動體與滾道接觸;當(dāng)δi<0時,G[δi]=0,表示第i個滾動體與滾道接觸失去接觸。
根據(jù)球軸承恢復(fù)力式(4),球軸承-剛性Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)VC運動微分方程可表示為
(5)
滾動軸承滾動體與滾道之間具有Hertzian接觸變形關(guān)系使系統(tǒng)可具有硬彈簧特性[36],靜載Ws作用方向上球軸承系統(tǒng)的近似線性化靜態(tài)剛度可表示為
(6)
式中,δWs為Ws作用方向上的總體變形。
顯然,式(6)并不適用于球軸承系統(tǒng)運轉(zhuǎn)過程中動態(tài)剛度的估計。然而,滾動軸承動態(tài)剛度特性對于其支承系統(tǒng)的非線性響應(yīng)特性具有顯著的影響。根據(jù)恢復(fù)力式(4),可近似估計系統(tǒng)的徑向線性化動態(tài)剛度
(7)
則系統(tǒng)的動態(tài)共振頻率(嚴格來說非線性振動系統(tǒng)不存在固有頻率)表示為
(8)
則系統(tǒng)兩自由度方向上等效共振頻率ωx0,ωy0可由式(8)算術(shù)平均值來估計。
就球軸承VC參激振動而言,系統(tǒng)的VC參激頻率與滾珠個數(shù)相關(guān),可表示為
ΩVC=NbΩ
(9)
一般而言,參激系統(tǒng)可能激起豐富的共振行為[37-39]。對于本文研究對象,系統(tǒng)可能觸發(fā)的VC參激主共振、亞諧和超諧共振的頻率條件為
ΩVC≈{nωxx,mωyy, 1/jωxx, 1/kωyy}
(10)
且當(dāng)n(m)=1時,系統(tǒng)發(fā)生VC參激主共振;當(dāng)n(m)=h時,系統(tǒng)可能在x(y)方向上激起1/h階亞諧共振;當(dāng)j(k)=1/h時,系統(tǒng)可能在x(y)方向上激起h階超諧共振。另外,系統(tǒng)可能觸發(fā)VC參激組合共振的頻率條件包含
ΩVC≈nωxx±m(xù)ωyy±u/jωxx±v/kωyy
(11)
式中,h,m,n,j,k,u和v均為整數(shù)(j,k非零),且h≠1。
值得注意的是:由于系統(tǒng)非線性動態(tài)剛度的滯后特性,使系統(tǒng)可能具有多種共振響應(yīng)共存的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象[40]。
對于周期激勵非線性振動系統(tǒng),把響應(yīng)周期是系統(tǒng)激勵周期M倍的周期解稱為系統(tǒng)周期M解。因此,在1/M階亞諧共振區(qū)間,系統(tǒng)一定具有周期M解,即包含周期M運動。下面給出本文研究式(5)的VC周期M解求解及其穩(wěn)定性分析過程。
為了提高求解精度和效率,首先對式(5)進行時間和位移尺度的無量綱化,令τ=NbΩt/M,X=[X,Y]T=[x/δ0,y/δ0]T,則式(5)可以表示為
X″(τ)=F[X(τ),X′(τ),λ]
(12)
因本文求解系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線,令其中控制參數(shù)λ=Ω。此時,原式(5)的VC參激周期M響應(yīng),對于無量綱式(12)而言,其無量綱響應(yīng)周期TVC為2π,則可把式(12)的位移X(τ)和非線性力F(·)表示為
(13)
把式(13)代入式(12),諧波平衡可得代數(shù)關(guān)系式
g(P,Q,λ)=0
(14)
式中,X(τ)和F(·)的諧波系數(shù)表示為
(15)
式(14)由2K+1個代數(shù)方程組成,包含P,Q共計4K+2個未知諧波系數(shù),因此不能直接求解位移響應(yīng)X(τ)(即求解P),需要首先把Q由P來表示,此過程由下述AFT技術(shù)實現(xiàn)。
采用反有限Fourier變換得到X(τ)的時域離散信息
(16)
由式(12)可得非線性力的時域離散信息
F(n)=F[X(n),X′(n),λ]
(17)
那么,通過有限Fourier變換可得
(18)
上述AFT過程中:Pk=ak+ibk;Qk=ck+idk;N為一個時域周期內(nèi)的采樣點數(shù),且n=0, …,N-1;當(dāng)n=0時,φ=1,否則φ=2。
式(18)得到了由P表示Q的關(guān)系式。設(shè)P為未知變量,接下來可通過求解非線性代數(shù)方程式(14)求得系統(tǒng)的X(τ)諧波解。為了避免在轉(zhuǎn)向點(即折疊分岔點)迭代求解失效,并實現(xiàn)隨控制變量λ的系統(tǒng)周期M解分枝的自動追蹤求解,引入弧長延拓過程,把式(14)轉(zhuǎn)換為
(19)
式中,s為曲線[P(s),λ(s)]的弧長變量,采用經(jīng)典的預(yù)估校正法即可實現(xiàn)式(19)的求解[41],這里不再累述。
2.1節(jié)基于HB-AFT方法可求得系統(tǒng)VC周期M解U*(τ),下面基于Floquet穩(wěn)定性理論[42]給出該解穩(wěn)定性分析的基本過程。
設(shè)U=[X,X′,Y,Y′]T=[X1,X2,X3,X4]T,根據(jù)式(5),可把無量綱式(12)變換為
(20)
式中,ΩM=NbΩ/M。
由式(20),用ΔU擾動VC周期M解U*(τ),即
[U*(τ)+ΔU]′=H[τ,U*(τ)+ΔU]
(21)
進一步可得關(guān)于擾動項的下述線性近似關(guān)系
ΔU′=?H[τ,U*(τ)]/?U*(τ)·ΔU
(22)
則U*(τ)的局部線性穩(wěn)定性可由式(22)中ΔU的穩(wěn)定性來判斷。由于U*(τ)為式(20)的周期M解,則?H[τ,U*(τ)]/?U*(τ)同樣是周期為2π的周期變系數(shù)矩陣。因此,可以采用Floquet理論對式(22)來判定系統(tǒng)VC周期M解的穩(wěn)定特性。
借助HB-AFT方法求得的系統(tǒng)VC周期M解U*(τ),采用Hsu方法可以方便計算式(20)的Floquet單值矩陣,進而判斷系統(tǒng)的Floquet乘子(即單值矩陣的特征值,記為λm)。根據(jù)λm通過復(fù)平面單位圓的方式可知系統(tǒng)VC周期M解的三類基本的失穩(wěn)形式:
(1) 當(dāng)Floquet主乘子由+1軸越出單位圓時,系統(tǒng)周期響應(yīng)可能發(fā)生折疊分岔、跨臨界分岔和對稱破缺分岔,其中折疊分岔僅在系統(tǒng)周期軌線轉(zhuǎn)向點位置出現(xiàn);
(2) 當(dāng)Floquet主乘子由-1軸穿出單位圓時,系統(tǒng)周期響應(yīng)發(fā)生倍周期分岔;
(3) 當(dāng)Floquet共軛乘子離開單位圓時,周期響應(yīng)發(fā)生二次Hopf分岔。
在軸承徑向間隙δ0=1.2 μm時,以保持架轉(zhuǎn)速Ω為控制參數(shù),如圖2所示,采用嵌入弧長延拓的HB-AFT方法可追蹤系統(tǒng)的VC周期1和周期2解分枝。利用式(8)預(yù)測系統(tǒng)x,y兩自由度方向的等效主共振頻率ωx0,ωy0分別為1 910.1 rad/s,1 331.4 rad/s,則由式(9)可知,系統(tǒng)兩自由度的VC參激主共振頻率分別為ωx0/Nb=238.761 4 rad/s和ωy0/Nb=166.424 4 rad/s。因此,圖2區(qū)域a-a和b-b分別是系統(tǒng)x,y方向的VC主共振區(qū)間。此時,系統(tǒng)在兩個主共振區(qū)間分別表現(xiàn)出軟的滯后共振和交叉共振行為,這與已有的理論和試驗結(jié)果一致。同時,系統(tǒng)在兩倍的參激主共振頻率477.522 8 rad/s和332.848 8 rad/s附近再次觸發(fā)共振響應(yīng),由此可預(yù)測c-c和d-d區(qū)間的共振峰分別為系統(tǒng)在x,y方向的1/2階VC亞諧共振區(qū)間。
圖2 x(黑線)、y(灰線)方向穩(wěn)定(實線)和不穩(wěn)定(虛線)的VC周期解頻響曲線Fig.2 Stable (solid) and unstable (dashed) VC periodic frequency-response curves in x (black line) and y (gray line) direction
就亞諧共振分岔特性而言,系統(tǒng)在y方向1/2階亞諧共振區(qū)間依然表現(xiàn)出交叉共振滯后特性,如圖3所示。由Floquet穩(wěn)定性分析可知:穩(wěn)定的VC周期1解分枝的主Floquet乘子在點A1,如表2所示,點A2通過-1軸離開單位圓,由超臨界倍周期分岔失穩(wěn)激起VC周期2解分枝,進而觸發(fā)y方向1/2階亞諧共振;穩(wěn)定的VC周期2解分枝的主Floquet乘子在點A3,如表3所示,點A4穿過+1軸離開單位圓,導(dǎo)致系統(tǒng)由折疊分岔失穩(wěn)發(fā)生滯后跳躍行為。例如,隨著控制參數(shù)Ω的增加,穩(wěn)定的周期2解分枝在折疊分岔點A4突跳至穩(wěn)定的周期1解分枝點A5的位置。隨著轉(zhuǎn)速Ω的增大,如圖4和圖5所示,系統(tǒng)VC周期1解分枝分別在點B1和點B2由亞臨界和超臨界倍周期分岔觸發(fā)周期2解分枝,進而激起x方向上的1/2階亞諧共振響應(yīng),此時的VC周期2運動幅頻響應(yīng)曲線向左偏,表現(xiàn)出軟的滯后共振特性,這與x方向主共振區(qū)間的滯后特性是一致的。另外,在x方向上1/2階亞諧共振區(qū)間,穩(wěn)定的周期2解分枝在點B3由超臨界周期倍化失穩(wěn)產(chǎn)生周期4解分枝,之后周期4解分枝同樣由超臨界周期倍化在點B4觸發(fā)周期8解分枝,而周期8解分枝隨著Ω的減小在點B5由折疊分岔發(fā)生了滯后跳躍行為??傊?,1/2階亞諧共振響應(yīng)是由倍周期分岔失穩(wěn)激起的,且與不同自由度方向上的主共振響應(yīng)的滯后特性相同。上述結(jié)果與采用極值法[43]繪制的數(shù)值分岔圖是吻合的,如圖6所示。
圖3 y方向1/2階亞諧共振區(qū)間y(τ)的頻響曲線Fig.3 Frequency-response curves of y(τ) in y direction 1/2 order subharmonic resonance
表2 周期1運動分支在點A1附近的 Floquet 乘子λmTab.2 Period-1 motion Floquet multipliers λm around A1
表3 周期2運動分支在點A3附近的 Floquet 乘子λmTab.3 Period-2 motion Floquet multipliers λm around A3
圖4 x方向1/2階亞諧共振區(qū)間x(τ)的頻響曲線Fig.4 Frequency-response curves of x(τ) in x direction 1/2 order subharmonic resonance
圖5 x方向1/2階亞諧共振區(qū)間y(τ)的頻響曲線Fig.5 Frequency-response curves of y(τ) in x direction 1/2 order subharmonic resonance
圖6 當(dāng)δ0= 1.2 μm時,響應(yīng)的數(shù)值分岔圖,其中黑點、灰點分別為Ω向上、向下掃頻的數(shù)值積分結(jié)果Fig.6 For δ0 =1.2 μm, numerical bifurcation diagrams, Ω sweeping up (black dots) and down (gray dots)
就響應(yīng)特性而言,在y方向1/2階亞諧共振區(qū)間,如圖7所示,當(dāng)Ω=340 rad/s時,系統(tǒng)時間歷程具有顯著的VC周期2運動特性,y(τ)相對于x(τ)表現(xiàn)出更大的1/2亞諧成分,此時兩自由度方向并未發(fā)生強烈的耦合振動(見圖2d-d區(qū)間)。在x方向1/2階亞諧共振區(qū)間,穩(wěn)定的B1-B3周期2解分枝在兩自由度方向未發(fā)生強烈的耦合振動,故只有x(τ)表現(xiàn)出顯著的VC周期2運動特性(見圖4和圖5)。顯著不同的是:系統(tǒng)兩自由度方向在B3-B4周期4和B4-B5周期8解分枝上發(fā)生了強烈的耦合共振,此時y方向振動幅度顯著增加。對于B3-B4分枝,如圖8所示,當(dāng)Ω=440 rad/s時,系統(tǒng)VC響應(yīng)在x方向依然表現(xiàn)出周期2運動行為,此時卻在y方向激起強烈的VC周期4運動特性,展現(xiàn)出如Zhang等研究所示的1∶2耦合VC參激內(nèi)共振響應(yīng)特征。另外,對于穩(wěn)定的VC周期8運動B4-B5分枝而言,如圖9所示,當(dāng)Ω=410 rad/s時,系統(tǒng)VC運動在x方向依然表現(xiàn)出周期2響應(yīng)行為,但在y方向表現(xiàn)出了顯著的VC周期8運動特性,此時系統(tǒng)發(fā)生了較為強烈的1∶4耦合參激內(nèi)共振行為。
圖7 當(dāng)Ω=340 rad/s時,x(τ)和y(τ)的時間歷程和頻譜圖Fig.7 For Ω=340 rad/s, time series and frequency spectrum of x(τ) and y(τ), respectively
圖8 當(dāng)B3-B4解分枝Ω=440 rad/s時,響應(yīng)的時間歷程和頻譜圖Fig.8 For Ω=440 rad/s, time series and frequency spectra on B3-B4 solution branch
圖9 當(dāng)B4-B5解分枝Ω=410 rad/s時,響應(yīng)的時間歷程和頻譜圖Fig.9 For Ω=410 rad/s, time series and frequency spectra on B4-B5 solution branch
就共振類型而言,除了上述1/2階VC參激亞諧共振響應(yīng),系統(tǒng)在兩自由度方向上發(fā)生耦合,還觸發(fā)了顯著的VC參激組合共振行為。穩(wěn)定的VC周期1解分枝(系統(tǒng)出現(xiàn)共軛Floquet乘子穿出了單位圓情形,如表4所示)在點B6和點B7由亞臨界和超臨界二次Hopf分岔失穩(wěn),因此在點B7激起穩(wěn)定的VC準(zhǔn)周期運動分枝(見圖5和圖6)。例如,在失穩(wěn)的B6-B7周期1解分枝Ω=410 rad/s位置上,如圖10所示,因?qū)?yīng)的VC準(zhǔn)周期運動包含不可約頻率成分,響應(yīng)軌跡的Poincare映射為封閉點集。此時,無量綱頻率成分p≈0.586,q≈0.414,因無量綱VC激勵周期為2π(見2.1節(jié)),顯然p+q=1為系統(tǒng)的VC激勵頻率。而在原時間尺度下p,q對應(yīng)的頻率值分別為Nb·Ω·p≈1 922.08 rad/s,Nb·Ω·q≈1 357.92 rad/s,接近前文所述系統(tǒng)兩自由度方向等效主共振頻率ωx0=1 910.1 rad/s,ωy0=1 331.4 rad/s。因此,可以推斷wx+ωy=ΩVC型組合共振是系統(tǒng)發(fā)生VC準(zhǔn)周期運動分枝的內(nèi)在機理,這屬于參激組合共振的一類基本特征[44-45]。
表4 周期1運動分支在點B7附近的Floquet乘子λmTab.4 Period-1 motion Floquet multipliers λm around B7
圖10 當(dāng)B6-B7解分枝Ω=410 rad/s時,響應(yīng)的頻譜和軌跡圖Fig.10 For Ω=410 rad/s, frequency spectra and orbit on B6-B7 solution branch
游隙作為軸承的基本參數(shù),對于滾動軸承的壽命、安裝和熱脹容量等具有重要的影響。由于其對軸承剛度能夠產(chǎn)生調(diào)節(jié)作用,下面將探討軸承徑向游隙δ0對系統(tǒng)亞諧共振行為的影響。當(dāng)δ0=10 μm時,如圖11和圖12所示,由于系統(tǒng)y方向主共振位置e-e與x方向兩倍超諧共振位置f-f接近,因此,可能激起的y方向1/2階亞諧共振的頻率區(qū)間會與x方向主共振位置疊加,這導(dǎo)致x方向主共振位置穩(wěn)定的周期1解在點C1和點C2由亞臨界倍周期分岔衍生出大范圍的周期2解分枝;另一方面,系統(tǒng)在x方向主共振區(qū)間附近還激起了兩個VC周期2封閉解分枝,其在y方向的振動峰值大于x方向的振動峰,即展現(xiàn)出y方向1/2階亞諧共振的響應(yīng)特性。此時,系統(tǒng)x方向在點C3和點C4由倍周期分岔激起的具有軟滯后特性的1/2階亞諧共振區(qū)間變大,隨著控制參數(shù)Ω的減小,穩(wěn)的1/2亞諧共振響應(yīng)在點C5由亞臨界倍周期分岔失穩(wěn)跳躍至封閉的VC周期4共振分枝C8-C9。周期4共振分枝C8-C9在y方向的共振峰幅度顯著,再根據(jù)其觸發(fā)位置可以認為是y方向1/4階亞諧共振響應(yīng)的體現(xiàn),上述分析結(jié)果與數(shù)值分岔圖13吻合。
圖11 當(dāng)δ0=10 μm,c=200 N·s/m時,x(τ)頻響曲線Fig.11 For δ0=10 μm and c=200 N·s/m, frequency-response curves of x(τ)
圖12 當(dāng)δ0=10 μm,c=200 N·s/m時,y(τ)頻響曲線Fig.12 For δ0=10 μm and c=200 N·s/m, frequency-response curves of y(τ)
圖13 當(dāng)δ0=10 μm,c=200 N·s/m時,x的數(shù)值分岔圖,其中黑點、灰點分別為Ω向上、向下掃頻的數(shù)值積分結(jié)果Fig.13 For δ0=10 μm, c=200 N·s/m, numerical bifurcation diagramsof x, Ω sweeping up (black dots) and down (gray dots)
圖14 當(dāng)δ0=10 μm,c=200 N·s/m,Ω=390 rad/s時,周期1、周期2和周期4多解共存響應(yīng)特性Fig.14 For δ0=10 μm, c=200 N·s/m, Ω=390 rad/s, coexistence of period-1 motion, period-2 motion and period-4 motion
圖15 當(dāng)δ0=10 μm,c=200 N·s/m,Ω=326 rad/s時,響應(yīng)的頻譜和軌跡Poincare映射圖Fig.15 For δ0=10 μm, c=200 N·s/m, Ω=326 rad/s, frequency spectra and Poincare mapping of orbit of response
就參數(shù)影響規(guī)律而言,如圖16所示,對于x方向VC參激1/2階亞諧共振,隨著阻尼的增大亞諧共振失穩(wěn)區(qū)間有減小的趨勢。相比而言,軸承徑向游隙對此類型亞諧共振觸發(fā)位置具有顯著的調(diào)控作用,如圖17所示,隨著軸承間隙逐漸減小(δ0取20.0 μm,10.0 μm和1.2 μm),系統(tǒng)x方向1/2階亞諧共振失穩(wěn)區(qū)間向高頻移動,且VC周期1運動上觸發(fā)亞諧共振的亞臨界和超臨界倍周期分岔點之間逐漸靠近。因此,可推測當(dāng)軸承徑向游隙δ0減小到一定閾值時,x方向1/2階亞諧共振可得到抑制。當(dāng)δ0=1.0 μm時,x方向1/2階亞諧共振并未觸發(fā),如圖18所示,這與數(shù)值分岔圖19的結(jié)果吻合。此時,系統(tǒng)在分岔點D3和D4之間由亞臨界和超臨界二次Hopf分岔失穩(wěn)同樣激起了ωx+ωy=ΩVC型組合共振響應(yīng)。整體而言,對比圖2、圖11和圖18可以發(fā)現(xiàn),隨著軸承間隙的變小,系統(tǒng)的復(fù)雜共振響應(yīng)行為能夠得到很好的抑制。
圖16 當(dāng)δ0=10 μm時,阻尼c對1/2階亞諧共振x(τ)頻響的影響Fig.16 For δ0=10 μm, influence of damping c on x(τ) frequency-response curves of 1/2 order subharmonic resonance
圖17 當(dāng)c=200 N·s/m時,徑向游隙δ0對1/2階亞諧共振x(τ)頻響的影響Fig.17 For c=200 N·s/m, influence of radial clearance δ0 on x(τ) frequency-response curves of 1/2 order subharmonic resonance
圖18 當(dāng)δ0=1.0 μm,c=200 N·s/m時,x(黑線)、y(灰線)方向VC周期解頻響值曲線Fig.18 For δ0=1.0 μm, c=200 N·s/m, VC periodic frequency-response curves in x (black line) and y (gray line) direction
圖19 當(dāng)δ0=1.0 μm,c=200 N·s/m時,響應(yīng)的數(shù)值分岔圖,其中黑點、灰點分別為Ω向上、向下掃頻的數(shù)值積分結(jié)果Fig.19 For δ0=1.0 μm, c=200 N·s/m, numerical bifurcation diagrams, Ω sweeping up (black dots) and down (gray dots)
本文針對包括Hertzian接觸、軸承徑向游隙和VC參激非線性的球軸承模型,采用HB-AFT方法結(jié)合Floquet穩(wěn)定性理論,研究了球軸承VC參激1/2階亞諧共振的觸發(fā)機制及其滯后響應(yīng)特性。發(fā)現(xiàn)在VC參數(shù)激勵下,系統(tǒng)可在兩自由度方向上由亞臨界、超臨界倍周期分岔失穩(wěn)激起1/2階亞諧共振行為。指出不同自由度方向上觸發(fā)的1/2階亞諧共振響應(yīng)的軟、硬滯后類型與其對應(yīng)的主共振滯后類型一致。研究表明,由于共振響應(yīng)的滯后性,系統(tǒng)可能存在不同共振類型共存的響應(yīng)區(qū)間,使系統(tǒng)VC振動可能具有豐富的滯后突跳、多解共存乃至耦合內(nèi)共振行為,這會對軸承的壽命乃至其支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運行的穩(wěn)定性和安全性帶來潛在的影響。分析指出隨著軸承徑向游隙的減小,系統(tǒng)1/2階亞諧共振失穩(wěn)區(qū)間向高頻移動且逐漸變小。因此,合理地選取軸承游隙能夠有效地調(diào)節(jié)亞諧共振的觸發(fā)位置和共振幅度。整體而言,隨著徑向游隙的變小,系統(tǒng)的復(fù)雜共振響應(yīng)行為能夠得到很好的抑制。此外,研究發(fā)現(xiàn)VC參激還可由二次Hopf分岔失穩(wěn)觸發(fā)系統(tǒng)的組合共振行為,由于不同自由度方向上的耦合作用,系統(tǒng)的組合共振響應(yīng)具有顯著的準(zhǔn)周期乃至混沌振動現(xiàn)象。
總之,對于滾動軸承這類型時變剛度參激系統(tǒng),在其動力學(xué)設(shè)計過程中應(yīng)充分考慮系統(tǒng)可能觸發(fā)的超諧、亞諧、內(nèi)共振以及組合共振行為。本文對于滾動軸承復(fù)雜非線性振動響應(yīng)行為的演化機制研究具有一定的參考意義。