徐英姿 沈建明

［摘 要］關(guān)于“分?jǐn)?shù)除法”單元中的問題解決，教材沿用了分?jǐn)?shù)乘法的數(shù)量模型，運(yùn)用方程的思路來解決實(shí)際問題，但是卻用算術(shù)思維來解決“分?jǐn)?shù)工程問題”?；诮虒W(xué)的單元整體性考慮，教學(xué)“分?jǐn)?shù)除法”時(shí)溝通新舊知識(shí)，通過題組來滲透方程思想，以構(gòu)建更加完整的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。

［關(guān)鍵詞］整體教學(xué)；方程思想；分?jǐn)?shù)工程問題

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2022）35-0041-03

人教版教材六年級(jí)上冊(cè)的“分?jǐn)?shù)除法”單元最后的工程問題，是人教版教材新增的一類實(shí)際問題，它是對(duì)過去簡(jiǎn)單的工程問題的拓展，主要是讓學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)的抽象表達(dá)，把以前的數(shù)量邏輯與現(xiàn)在的分率表達(dá)進(jìn)行類比統(tǒng)整，從而豐富對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。在“分?jǐn)?shù)除法”單元中，關(guān)于“分?jǐn)?shù)除法解決問題”的相關(guān)內(nèi)容——例4、例5、例6，均為先找出順向的乘法數(shù)量關(guān)系，再運(yùn)用方程的方法來解決問題。但是，對(duì)于本單元中的工程問題，教材則采用算術(shù)方法來解決。從單元統(tǒng)整的角度考慮，是否可以采用順向的結(jié)構(gòu)化思維，運(yùn)用方程的模型來解決分?jǐn)?shù)工程問題，讓學(xué)生建立更加完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)？帶著這樣的思考，筆者進(jìn)行了教學(xué)探究。

一、題組比較，豐富數(shù)率結(jié)構(gòu)

之前的教材并沒有單獨(dú)編排整數(shù)的工程問題。四年級(jí)上冊(cè)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”單元的有關(guān)單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)以及速度、時(shí)間和路程的問題，都是從“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”這一數(shù)量關(guān)系中衍生出來的，因此，明確具體問題的具體的量還是非常有必要的。教師可在教學(xué)引入階段可讓學(xué)生聯(lián)系新舊知識(shí)，進(jìn)一步明確“工作效率×工作時(shí)間=工作總量”這一數(shù)量關(guān)系，同時(shí)，通過題組幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)量關(guān)系模型，為后面的解決問題做好鋪墊。

1.新舊聯(lián)系，拓展模型結(jié)構(gòu)

筆者開門見山，直接出示課題“工程問題”，讓學(xué)生回顧已學(xué)知識(shí)。

出示題組的第1題：（1）修一條公路，甲隊(duì)每天修3千米，乙隊(duì)每天修2千米，兩隊(duì)合修，7.2天修完，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ？請(qǐng)?zhí)岢鰡栴}并列式解答。

學(xué)生基本上都提出問題“這條路全長(zhǎng)多少千米”，并列出“（3+2）×7.2=36（千米）”。筆者追問：“這里的‘3是什么？這里的‘2呢？‘7.2又是什么？”同時(shí)結(jié)合學(xué)生的回答板書：

筆者提問：“還可以怎么算呢？”學(xué)生都能列出“3×7.2+2×7.2=36（千米）”。筆者板書：

通過提問和交流，學(xué)生復(fù)習(xí)了簡(jiǎn)單的含有工作效率、工作時(shí)間和工作總量的實(shí)際問題，明確“同時(shí)進(jìn)行的問題，只要知道各自的工作效率和工作時(shí)間，就有兩種思路求出工作總量”，從而拓展了最基本的數(shù)量關(guān)系模型。

2.把握結(jié)構(gòu)，乘除思路融合

出示題組的第2題：（2）修一條長(zhǎng)36千米的公路，甲隊(duì)每天修3千米，乙隊(duì)每天修2千米，兩隊(duì)合修，? ? ? ? ? ? ？這道題是“已知工作總量和工作效率，求工作時(shí)間”的問題，學(xué)生通常喜歡用算術(shù)方法解決。對(duì)此，筆者有意引導(dǎo)學(xué)生先根據(jù)板書中的數(shù)量關(guān)系來找已知量：“這里已經(jīng)知道了什么？”根據(jù)學(xué)生回答，筆者在數(shù)量關(guān)系式對(duì)應(yīng)的量上打鉤，并提問：“要我們求什么？可以怎么求？”同時(shí)板書：

解決同一個(gè)問題有多種思路，但萬變不離其宗的就是數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)。學(xué)生通過觀察，就能發(fā)現(xiàn)用方程方法與用算術(shù)方法解題的共同點(diǎn)。

比較后，學(xué)生體會(huì)到運(yùn)用乘法的數(shù)量關(guān)系式列式是順向的思維，符合題目的敘述順序，而依據(jù)關(guān)系式，用分?jǐn)?shù)除法解決是逆向思維，但不管用哪種方法，都需要根據(jù)數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)來列式（如圖1）。至此，學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)的作用。

3.數(shù)形結(jié)合，聯(lián)系數(shù)率變化

工程問題放在“分?jǐn)?shù)除法”這一單元，與之前最大的區(qū)別就是數(shù)的不一樣。從具體的數(shù)量到抽象的分率，數(shù)學(xué)能力較弱的學(xué)生肯定在理解上有困難。筆者運(yùn)用畫線段圖、列表格等幾何直觀的方法，幫助學(xué)生進(jìn)行思考與表達(dá)。

出示題組的第3題：（3）修一條公路，如果甲隊(duì)單獨(dú)修，12天修完；如果乙隊(duì)單獨(dú)修，18天修完。兩隊(duì)合修，幾天修完？

如果是一開始直接給出這道題，由于沒了路程數(shù)，學(xué)生原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)不足，會(huì)認(rèn)為題目信息不足；以題組的形式引出，則為部分學(xué)生提供了思路上的借鑒。教師可通過提示“能不能假設(shè)公路的總長(zhǎng)度”，幫助學(xué)生自主獲得用假設(shè)法解決問題的思路。

學(xué)生獨(dú)立完成后，教師通過學(xué)生的回答完善表格（如表1）。

有的學(xué)生把“要修的路”假設(shè)為某一個(gè)具體的數(shù)量，有的學(xué)生把“要修的路”長(zhǎng)度抽象成“1”，都能算出7.2天，而這僅僅是完成了本題的一半，更關(guān)鍵的是理解“為什么假設(shè)的總路長(zhǎng)不同，最后算出來的總天數(shù)卻不變”。對(duì)于這樣的問題，學(xué)生無法用話語清楚表達(dá)。于是筆者用原始長(zhǎng)度一樣且可變長(zhǎng)或變短的三條松緊帶，分別演示了甲隊(duì)修路情況、乙隊(duì)修路情況以及兩隊(duì)合修情況（如圖2）。這樣的演示形象又直觀地體現(xiàn)出，雖然要修的路的長(zhǎng)度在假設(shè)的過程中不斷變化，但是甲隊(duì)和乙隊(duì)每天修的長(zhǎng)度占總路長(zhǎng)的比率卻沒有變化。學(xué)生真正體會(huì)到：無論“要修的路”長(zhǎng)多少，兩隊(duì)合修的天數(shù)都一樣；把“要修的路”假設(shè)為“1”是最為簡(jiǎn)便的。

以上設(shè)計(jì)是對(duì)已學(xué)的數(shù)量關(guān)系模型進(jìn)行了拓展，引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)具體量的理解延伸至用分率表達(dá)。同時(shí)，這也承接了本單元的一個(gè)編排思路：順向建構(gòu)數(shù)量結(jié)構(gòu)模型，采用乘法或方程法來解決實(shí)際問題。

二、結(jié)構(gòu)變式，體會(huì)方程優(yōu)點(diǎn)

1.從“同時(shí)”到“分開”，合理選擇模型

在用分?jǐn)?shù)除法解決問題時(shí)，有的學(xué)生一直采用算術(shù)方法逆向列式。雖然這樣的方法也有優(yōu)點(diǎn)，但是從順向思維結(jié)構(gòu)化的角度來看，運(yùn)用方程方法更容易統(tǒng)整乘法與除法問題的解決方法，便于厘清數(shù)量關(guān)系。

出示變式題1：修一條公路，如果甲隊(duì)單獨(dú)修，12天修完；如果乙隊(duì)單獨(dú)修，18天修完。現(xiàn)在甲隊(duì)先修了4天，余下的工作由乙隊(duì)繼續(xù)完成。乙隊(duì)要幾天才能修完？

在列數(shù)量關(guān)系式時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不能用“（工作效率甲+工作效率乙）×工作時(shí)間=工作總量”這一公式，因?yàn)樽兪筋}1改變了之前“兩人合作，同時(shí)進(jìn)行”的條件，使得各自的工作時(shí)間不一樣了，反而是“工作效率甲×工作時(shí)間甲+工作效率乙×工作時(shí)間乙=工作總量”這一結(jié)構(gòu)更適合本題。

筆者讓學(xué)生先說甲隊(duì)的工作效率和乙隊(duì)的工作效率各是多少，再說“已知哪幾個(gè)量，要求哪個(gè)量”。學(xué)生很自然地將已知數(shù)據(jù)代入“工作效率甲×工作時(shí)間甲+工作效率乙×工作時(shí)間乙=工作總量”中，列出了方程[112×4+118×x=1]。

也有學(xué)生列式為（1- [112]×4）÷[18]，但是通過比較，更多的學(xué)生選擇了用方程來解答問題。

從“同時(shí)”到“分開”的過程，需要學(xué)生合理選擇模型。這就是本課伊始同時(shí)出示兩種不同模型結(jié)構(gòu)的意圖。模型本身沒有優(yōu)劣之分，只有合適與不合適，學(xué)生需要根據(jù)具體問題來具體分析和運(yùn)用。

2.從“分開”到“先單后合”，完善模型認(rèn)識(shí)

在經(jīng)歷了對(duì)數(shù)量模型的合理選擇后，筆者對(duì)數(shù)量模型進(jìn)行了組合，以完善學(xué)生對(duì)模型的認(rèn)識(shí)。

出示變式題2：修一條公路，如果甲隊(duì)單獨(dú)修，12天修完；如果乙隊(duì)單獨(dú)修，18天修完?，F(xiàn)在甲隊(duì)先修了4天，余下的工作由甲隊(duì)和乙隊(duì)繼續(xù)合作完成，還要幾天才能修完？

考慮到學(xué)生能力的不同，筆者引導(dǎo)學(xué)生建立總量模型“甲先修的工作量+甲、乙合修的工作量=工作總量”：“甲先修的工作量怎么求？甲、乙合修的工作量又怎么表示？”很多學(xué)生都能運(yùn)用代數(shù)的思維列出方程：

通過情境的層層深入，學(xué)生經(jīng)歷了方程模型的建立與鞏固的過程，漸漸接受方程這一代數(shù)思維。

3.從“整體”到“部分”，豐富數(shù)率表達(dá)

出示變式題3：修一條公路，如果甲隊(duì)單獨(dú)修，12天修完；如果乙隊(duì)單獨(dú)修，18天修完。兩隊(duì)合修，幾天修完全長(zhǎng)的[13]？

因?yàn)橛辛饲懊娴匿亯|，所以學(xué)生解答本題時(shí)基本上都沒有問題：

為什么要在這個(gè)位置放變式題3？從設(shè)計(jì)的角度看，前面總量都是單位“1”，學(xué)生容易形成思維定式；現(xiàn)在把總量從“1”變成“[13]”，雖然僅僅是數(shù)據(jù)上的改變，卻有利于學(xué)生深入理解數(shù)量關(guān)系。

比起算術(shù)方法，方程思想更具有實(shí)操性，對(duì)于稍難的題目，方程的優(yōu)勢(shì)更明顯，更容易被大部分學(xué)生接受，學(xué)生會(huì)漸漸喜歡用總量模型的方程思想解題。

三、情境變換，統(tǒng)一方程結(jié)構(gòu)

分?jǐn)?shù)工程問題之所以是分?jǐn)?shù)除法解決問題中最為抽象的一類，主要是需要把總量抽象成“1”，并用相應(yīng)的分率來表示。因此，有必要重現(xiàn)包含“單價(jià)”和“速度”數(shù)量關(guān)系的題目，變換一下情境，促進(jìn)學(xué)生對(duì)方程結(jié)構(gòu)與數(shù)率關(guān)系統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)。

1.變化內(nèi)容場(chǎng)景，提煉結(jié)構(gòu)原型

出示兩道題目，讓學(xué)生二選一：

（1）甲車從A城市到B城市要行駛2小時(shí)，乙車從B城市到A城市要行駛3小時(shí)。兩車同時(shí)分別從A城市和B城市出發(fā)，幾小時(shí)后相遇？

（2）一定數(shù)量的錢，如果只買A商品可以買2千克，如果只買B商品可以買3千克。如果這些錢同時(shí)買A和B，金額一樣多，可以各買多少千克？

雖然這里的數(shù)量關(guān)系與工程問題一致，但很多學(xué)生卻沒了思路。筆者讓學(xué)優(yōu)生進(jìn)行講解：

通過不同情境下的問題比較，學(xué)生較好感知了“（[1a] + [1b]）x=1”的解決問題模型，對(duì)方程總量結(jié)構(gòu)原型有了完整的認(rèn)識(shí)。

2.數(shù)率綜合比較，靈活數(shù)量表達(dá)

出示一道綜合題：一共有320棵樹，如果一隊(duì)單獨(dú)種，需要8天;如果二隊(duì)單獨(dú)種，需要10天?，F(xiàn)在兩隊(duì)合種，5天能種完嗎？

有不少學(xué)生列式為：（320÷8+320÷10）×5=360（棵），360>300（棵）。

筆者提問：“這樣做可以嗎？”馬上有學(xué)生表示可以，并迅速給出了另一種方法：（[18] + [110] ）×5= [98] [>]1。

通過比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“320棵”只是具體的某一個(gè)數(shù)量，這里不管是哪個(gè)具體數(shù)量，都可以用單位“1”來表示后再解答。這樣一來，抽象的單位“1”有了具體數(shù)量的支撐，學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)清了數(shù)率之間的聯(lián)系，豐富了表達(dá)數(shù)量的方式。

總之，對(duì)“分?jǐn)?shù)工程問題”的教學(xué)，重點(diǎn)要放在把握與理解數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)上，滲透方程思想，溝通相關(guān)數(shù)量關(guān)系的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，讓學(xué)生運(yùn)用一種順向的結(jié)構(gòu)化思維，構(gòu)建完整的分?jǐn)?shù)乘除法問題解決策略體系。

（責(zé)編 金 鈴）