陶新軍 陳華曲

[摘 要]“問題導學”復習課教學模式包括知識回顧、自主構(gòu)建、應用探索、總結(jié)歸納四個環(huán)節(jié)。如何設(shè)置問題，提高學生思維能力，是教師應該思考的首要問題。

[關(guān)鍵詞]問題導學;提問;圓錐曲線;離心率

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）02-0001-04

筆者曾有幸聽了兩位教師教學“圓錐曲線離心率求值與范圍問題”的同課異構(gòu)課，并從“如何設(shè)計問題”這一角度進行了點評。之所以選擇從“如何設(shè)計問題”的角度進行點評，是因為我校的黃河清校長在教學實踐中探索出了“問題導學”教學法，其涉及新授課教學模式與復習課教學模式。其中，“問題導學”復習課教學模式包括知識回顧、自主構(gòu)建、應用探索、總結(jié)歸納四個環(huán)節(jié)。每一個環(huán)節(jié)都有導向性的問題，教師合理設(shè)計問題，才能更好地引導學生思考，進而提高學生的思維能力。但是，提問要與學生的智力水平和知識水平相適應，讓學生“跳一跳，能摘到果子”。那么，教師怎樣才能在教學中問到“點子”上呢？筆者以“圓錐曲線離心率求值與范圍問題”的教學設(shè)計為例對如何設(shè)計問題進行評析。

“圓錐曲線離心率求值與范圍問題”的教學設(shè)計如下：

一、教材分析

離心率是刻畫橢圓的扁平程度和雙曲線的開口大小的一個量。求離心率的大小和范圍問題是高考的熱點和難點。離心率問題既可以考查圓錐曲線的定義和性質(zhì)，又可以綜合考查平面幾何、三角函數(shù)、平面向量等內(nèi)容，還可以考查考生的邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力，更可以考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法。因此，它備受命題者青睞。在高考第一輪復習中，我們不僅要求“全”，而且要求“聯(lián)”。在高考第二輪復習中，我們不再要求“全”，而應要求“變”?；谝陨侠砟睿P者設(shè)計了本課教學。

本節(jié)課是求圓錐曲線離心率問題的復習課，旨在通過精心設(shè)計課堂教學活動，鞏固學生的基礎(chǔ)知識，完善學生的知識結(jié)構(gòu)，促進學生掌握解決問題的方法。

二、教學設(shè)計

（一）知識回顧

我們知道，離心率[e=ca]是刻畫橢圓的扁平程度和雙曲線的開口大小的一個量。

如圖1所示。

問題1：在橢圓和雙曲線中哪些線段分別表示[a， b， c]？

設(shè)計意圖：復習橢圓、雙曲線[a， b， c]和對應線段的關(guān)系，復習離心率的定義和范圍。

（二）自主構(gòu)建

問題2：你們能解答下面的題目，并比較它們的相同點和不同點嗎？

（1）雙曲線[C：x24-y212=1]的離心率為 ? ? ? ?。

（2）橢圓[C：x2a2+y24=1]的一個焦點為[2， 0]，則橢圓[C]的離心率為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

設(shè)計意圖：這兩道題目的共同點是可以直接求解[a， c]，也可以直接求解離心率;不同點是第（1）題已知[a， b]，可以求[c];第（2）題已知[b， c]，可以求[a]。

[例1]若雙曲線[C]：[x2a2-y2b2=1（a>0， b>0）]的一條漸近線被圓[（x-2）2+y2=4]所截得的弦長為2，則橢圓[C]的離心率為? ? ? ? ? ? ? ? 。

A. 2 B. [3] C. [2] D. [233]

[思路引導一]

師：例1和前面兩題有什么區(qū)別？

生：前面兩題直接可以求解[a， b， c，]例1不能直接求解。

師：如何尋找關(guān)于[a， b， c]的等量關(guān)系？

生：可以從幾何圖形中尋找。

師：請在三角形背景下尋找關(guān)于[a， b， c]的等量關(guān)系。如圖2，在[△OAB]中，[AB=2]，[OB=2]，可以求解哪條線段的長度？

生：可以作圓心到弦的垂線，得到弦心距為[3]。

師：我們求解的弦心距[3]和雙曲線中的[a， b， c]如何建立關(guān)系？

生：通過點到直線的距離公式可以列出關(guān)于[a， b， c]的方程。

[思路引導二]

師：觀察[△OAB]，它有何特點？

生：[△OAB]是正三角形。

師：在[△OAB]中，[∠AOB]是多少？

生：[∠AOB=π3]。

師：[∠AOB]和雙曲線中的[a， b， c]如何建立關(guān)系？

生：[tan∠AOB=ba=3]。

問題3：通過以上題目，你能歸納出求離心率大小的基本步驟嗎？

設(shè)計意圖：例1不能直接求[a， b， c]的值，如何建立關(guān)于[a， b， c]的等量關(guān)系？通過教師的引導，學生探索發(fā)現(xiàn)，建立等量關(guān)系。學生歸納總結(jié)，教師再補充完善，歸納、總結(jié)求離心率大小的基本步驟：（1）通過已知條件畫出幾何圖形;（2）通過幾何圖形列出關(guān)于[a， b， c]的等式;（3）解等式（?；癁閍，c的齊次式）。

（三）應用探索

[例2]雙曲線[C]：[x2a2-y2b2=1] [（a>0， b>0）]的兩個焦點為[F1]，[F2]，若[P]為雙曲線上的一點，且[PF1=2PF2]，求雙曲線[C]離心率的取值范圍。

[思路引導一]

師：例2和例1有何不同？

生：例1是求離心率的大小，例2是求離心率的取值范圍。

師：例2中哪些條件是固定的？

生：[PF1=2PF2]。

師：例2中哪些條件是變化的？

生：[P]為雙曲線上的一動點。

師：動點意味著變化，變化就會產(chǎn)生不等關(guān)系，本題中動點P在哪些位置有變化？

生：[P]點從右上方運動到[A]點，[PF2]的長度逐漸變小;從[A]點運動到右下方，[PF2]的長度逐漸變大。

師：你能用[a， b， c]來表示這些變化嗎？

生：[PF2≥c-a]。

[思路引導二]

師：觀察[△PF1F2]，你能用[a， b， c]來表示這些變化嗎？

生：[PF1+PF2≥2c]。

[思路引導三]

師：我們學習了雙曲線的第二定義，[PF2]的長度如何表示？

生：[PF2=ex0-a]。

師：參考思路引導一，我們能用[a， b， c]來表示[PF2]嗎？

生：[PF2=ex0-a=2a]，即[x0=3ae]。

師：本題中雙曲線的范圍是多少？

生：[x0≥a]，亦即[x0=3ae≥a]。

問題4：通過以上思路，你能否歸納出求離心率范圍的基本步驟？

設(shè)計意圖：例2是求離心率的取值范圍。解答例2的關(guān)鍵在于確定[a， b， c]的不等關(guān)系。題目只給了兩焦半徑的等量關(guān)系，難點在于挖掘題目中的隱含條件，確定不等關(guān)系。一方面，可通過幾何圖形定性分析，找到邊的不等關(guān)系;另一方面，可通過定量計算，利用雙曲線的性質(zhì)，由方程過渡到不等式，從而確定不等關(guān)系。教師引導學生總結(jié)歸納出求離心率取值范圍的基本步驟：（1）通過已知條件畫出幾何圖形;（2）通過幾何圖形列出關(guān)于[a， b， c]的不等式;（3）解不等式（?；癁閍，c的齊次式）。

問題5：若將條件[PF1=2PF2]改為[PF1=γPF2（γ>1），]結(jié)果又會怎樣呢？

問題6：在問題5的前提下，若將條件雙曲線[C]：[x2a2-y2b2=1（a>0， b>0）]改為橢圓[C]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，結(jié)果又會怎樣呢？

設(shè)計意圖：將圓錐曲線類型由雙曲線改為橢圓，其他條件不變，離心率的取值范圍又會怎樣變化呢？題目的變式，旨在考查學生在條件變化后對離心率取值范圍問題的掌握情況，滿足不同層次學生的學習需求，提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

（四）總結(jié)歸納

問題7：本節(jié)課我們復習了哪些知識？用到了哪些數(shù)學思想方法？

1.求離心率大小的基本步驟：

（1）通過已知條件畫出幾何圖形;

（2）通過幾何圖形列出關(guān)于[a， b， c]的等式;

（3）解等式（?；癁閇a， c]的齊次式）。

2.求離心率取值范圍的基本步驟：

（1）通過已知條件畫出幾何圖形;

（2）通過幾何圖形列出關(guān)于[a， b， c]的不等式;

（3）解不等式（常化為[a， c]的齊次式）。

3.用到了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法。

設(shè)計意圖：學生通過總結(jié)歸納，完善數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，掌握數(shù)學思想方法，培養(yǎng)數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

三、教學反思

復習課是比較常見的課型。復習是完善學生知識結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。復習中，教師應設(shè)計一系列具有遞進性、挑戰(zhàn)性和探究性的問題，引導學生學習，進行高水平的思維訓練。這樣，學生既可以鞏固數(shù)學知識，促進知識內(nèi)化，又可以培養(yǎng)去偽存真、舉一反三的思維能力，逐步提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

以“問題”為載體，以學生的“學”為目標，以教師的“導”為主線組織課堂教學，是“問題導學”教學模式的核心。教師在進行教學設(shè)計時，既要考慮知識之間的聯(lián)系，又要考慮知識的變化，還要考慮學情。為此，教師會對專業(yè)的知識進行深入的探討和研究，久而久之，教師的專業(yè)水平會得到極大的提升。

四、教學評析

（一）問題設(shè)計要激發(fā)學生的學習興趣

好的開端是成功的一半。若一節(jié)課的開始，教師設(shè)計學生感興趣的問題，會極大地激發(fā)學生的學習熱情和學習興趣。怎樣才能設(shè)計學生感興趣的問題呢？教師要在課前做足功課，根據(jù)教學內(nèi)容提前對問題進行預設(shè)。教師可以結(jié)合當前的熱門事件設(shè)計問題，可以根據(jù)數(shù)學的發(fā)展與歷史故事設(shè)計問題，可以根據(jù)章頭提示設(shè)計問題。本節(jié)課是高考第二輪復習課。復習課是教師依據(jù)學生的記憶規(guī)律，通過特定的教學活動對學生已有的知識進行鞏固、拓展的課型。復習課的“知識回顧”環(huán)節(jié)重點要激發(fā)學生的學習興趣。在教學中，甲、乙兩位教師一開始都給出了近三年高考全國卷離心率的考點分布圖和離心率的公式。教師甲布置學生自己看離心率的考點分布圖，然后講解離心率公式。這樣導入課堂就顯得有些嚴肅，學生參與度不高。課堂一開始，學生的積極性沒有被調(diào)動起來，課堂氣氛有些沉悶。教師乙是布置學生讀有關(guān)離心率的考點，然后提問：“離心率考了幾次？”學生答：“三次?！苯處熞艺f：“重要事情說三遍，可見離心率很重要?！边@個提問很簡單，學生容易回答，一下就激發(fā)了學生的學習熱情和學習興趣。這樣的提問，不僅有利于本節(jié)課教學的開展，還間接強調(diào)了離心率的重要性。

（二）問題設(shè)計要留夠?qū)W生思考時間

教師設(shè)計好問題并提問學生后要耐心等待，給學生足夠的時間思考、回答，不要剛提出一個問題，學生還沒回答，又馬上提出下一個問題，導致課堂結(jié)束后還留下多個問題給學生。有的學生課后沒有思考，久而久之也懶得思考，極大地影響了思考問題的積極性。

建構(gòu)主義理論認為，學習不應被看成對教師所授予知識的被動接受，而應是學習者以自身已有的知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)的主動建構(gòu)活動。這就要求教師合理引導，把學習自主權(quán)交給學生。下面對例1進行點評。

點評：對于例1，教師用5分鐘講了兩種解法，還寫了板書，提了8個問題，時間很倉促，學生沒有時間思考，更不用說動筆計算了。教師“滿堂灌”加“滿堂問”，上完一節(jié)課，自己很累，而學生收獲不大。

（三）問題設(shè)計要注意嚴謹性

數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，教師要利用有限的課堂時間培養(yǎng)學生思維的嚴謹性。教師可以設(shè)計問題，讓學生回答，學生回答問題時可能知識運用不嚴謹，也可能思維不嚴謹，還可能表述不嚴謹。教師要不斷發(fā)現(xiàn)學生存在的問題并完善學生的解答。下面繼續(xù)對例1進行點評。

點評：對于例1，教師先畫圖，由弦長是2，半徑是2，可知△[AOB]是等邊三角形，然后提問：“直線的傾斜角為多少？”筆者認為這樣提問不合理、不嚴謹。因為漸近線有2條，教師只畫出了一條。若教師把2條漸近線都畫出來，構(gòu)圖成等邊三角形，然后再提問：“漸近線的傾斜角為多少？”這樣更嚴謹，學生也不至于漏解。

（四）問題設(shè)計要體現(xiàn)開放性

教師設(shè)計問題，不要僅局限于記憶類的問題，要設(shè)計一些開放性的問題，讓學生“想探索、能探索”，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維。下面對例2進行點評。

點評：對于例2，求離心率范圍，關(guān)鍵是建立[a， b， c] 的不等式，也就是建立[PF2≥AF2=c-a]這一關(guān)鍵不等式。教師提問：“這里有哪個特殊點啊？”學生答：“[A]，[F2]。”教師又問：“哪個點更特殊？”學生回答：“[A]點。”教師再問：“難道往無窮大處就不特殊嗎？”教師的提問往答案處引導，這樣和告訴學生答案類似，限制了學生的思維。本題[P]點是動點，[F2]是定點，若教師提問：“怎樣確定[PF2]的范圍？”則更開放，更能引發(fā)學生思考，更有利于提高學生的思維能力，真正實現(xiàn)學科育人。

（五）問題設(shè)計要體現(xiàn)多樣性

教師設(shè)計問題要多樣化，如一節(jié)有記憶類的提問，有開放性的提問，還有針對不同層次學生的提問，避免單一提問。如果只問成績好的學生，成績不好的學生就會想：“反正老師也不會問我，我不用思考了?！边@樣，連公平、公正都做不到，非常不利于學生的成長。

設(shè)計問題要注意質(zhì)量。有的教師就常問“是不是”“對不對”，學生也習慣性地回答“是”“對”。這樣的提問沒什么效果。

總之，通過聽課、評課讓筆者受益匪淺，學習他人長處，提高自我。每次學習都讓筆者意識到自己還有需要提高的地方，這種感覺讓筆者找到了作為教師有別于其他行業(yè)的責任感與幸福感。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 陳康，黃河清.《黃河清“問題導學”教學法》復習課教學課例評析[J].中學教學參考，2012（8）：4-6.

（責任編輯 黃桂堅）