胡海光

[摘? 要] 以數(shù)解形是小學(xué)階段認(rèn)識圖形的重要策略。因此在教學(xué)中，教師要根據(jù)學(xué)生、教材實(shí)際，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)，通過提供格子圖等含有“數(shù)”的材料，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，把握概念的本質(zhì)。

[關(guān)鍵詞] 以數(shù)解形;格子圖;幾何概念;深度學(xué)習(xí)

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！彼貏e強(qiáng)調(diào)了數(shù)形結(jié)合的作用與重要性。在平常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們更關(guān)注“以形助數(shù)”，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，用來理解或解決問題;而對于“以數(shù)解形”，借助數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性則重視不夠。顯然，在幾何概念教學(xué)中，數(shù)量的介入對于學(xué)生獲得清晰、精細(xì)、準(zhǔn)確的認(rèn)知顯得尤為重要。能否從這一層面做一些嘗試，借助數(shù)量，尤其是格子圖，讓學(xué)生獲得對幾何概念清晰、精細(xì)、準(zhǔn)確的認(rèn)知？結(jié)合人教版四上“平行四邊形的認(rèn)識”這一課，筆者作了一些思考與研究。

一、對前人實(shí)踐的思考

（一）教學(xué)設(shè)計(jì)1

1. 認(rèn)識平行四邊形的特征

（1）從生活中抽象出圖形。

（2）在方格紙上畫出圖形。

畫一畫：你還能想象出平行四邊形的樣子嗎？在方格紙上畫一個(gè)平行四邊形。（教師收集學(xué)生作品，排序做好展示準(zhǔn)備）

看一看：展示的作品是不是平行四邊形？如果不是，請說出理由。

（3）通過對比找異同。

比一比：請觀察畫在方格紙上的平行四邊形，它們長得一樣嗎？不同點(diǎn)在哪兒？相同點(diǎn)在哪兒？

預(yù)設(shè)：

不同點(diǎn)：大小、形狀、方向等。（非圖形特征）

相同點(diǎn)：對邊平行、對邊相等、對角相等。（圖形特征）

（4）在操作中驗(yàn)證特征。

用畫在方格紙上的平行四邊形或平行四邊形紙片，想辦法驗(yàn)證剛才發(fā)現(xiàn)的一個(gè)或多個(gè)相同點(diǎn)。先獨(dú)立操作，再組內(nèi)交流，最后全班分享。

2. 概括平行四邊形的定義

對于平行四邊形，學(xué)生并不陌生，早在一年級下冊，學(xué)生就已經(jīng)初步認(rèn)識了，在生活中與學(xué)習(xí)中，也多有接觸。但對于平行四邊形，學(xué)生還是停留在整體的感知上，對于“邊”與“角”的特征雖有一些感覺，但并未有很深刻的感悟。顯而易見，只通過觀察，是很難讓學(xué)生對平行四邊形的特征有深刻感悟的。本設(shè)計(jì)讓學(xué)生通過畫，把心中的平行四邊形展示出來;再通過比較、驗(yàn)證，使學(xué)生對平行四邊形的特征有了較深刻的感悟，從而積累了經(jīng)驗(yàn)。毋庸置疑，在本設(shè)計(jì)中，格子圖作用居功至偉。有了格子圖，才能讓學(xué)生較順利地畫出他們心中的平行四邊形;有了格子圖，才有不同平行四邊形之間的比較，學(xué)生能夠聚焦到平行四邊形的本質(zhì)特征上?？梢赃@樣說，正是借助格子圖，才成就了本節(jié)課;借助格子圖中的“格子數(shù)”，才能讓學(xué)生對形的本質(zhì)的認(rèn)識有了思維的抓手。但細(xì)究之，還有一些地方值得商榷：對于平行四邊形的認(rèn)識，學(xué)生本來就有“整體性”，再讓學(xué)生畫一個(gè)完整的平行四邊形是否有助于學(xué)生從“整體感知”走向“特征分析”？面面俱到式的觀察、驗(yàn)證是否有利于學(xué)生對于特征的深度學(xué)習(xí)？

（二）教學(xué)設(shè)計(jì)2

1. 找圖形：呈現(xiàn)課本情境圖——電動移門、樓梯扶手、木柵欄

讓學(xué)生找一找、指一指圖片中的平行四邊形，再說一說在生活中還有哪些地方能見到平行四邊形，抽象出平行四邊形。

2. 同桌合作，用小棒圍平行四邊形

提供5根不同長度的小棒，6厘米、6厘米、5厘米、4厘米、4厘米。

思考：（1）你準(zhǔn)備選用哪幾根小棒來圍平行四邊形？（2）想一想，可以圍成幾個(gè)平行四邊形？

3. 匯報(bào)交流

（1）展示學(xué)生不同的作品（圖1）。

（2）觀察，你們都用了哪幾根小棒來圍平行四邊形？在圍的時(shí)候要注意些什么？（對邊要選同樣長的小棒，對邊的小棒要擺平行）

（3）我們怎么來驗(yàn)證平行四邊形對邊平行呢？出示圖2。

生驗(yàn)證反饋：左右對邊之間的距離都是3格。而上下對邊之間的距離都是兩個(gè)小正方形的對角線的長度，說明兩組對邊分別平行（平行線之間的距離處處相等）。師借助課件動畫演示（圖3）。

（4）思考：你認(rèn)為平行四邊形有什么特征？

4. 根據(jù)學(xué)生的回答，概括平行四邊形的特征，并歸納平行四邊形的概念

新課標(biāo)指出：學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿和記憶，動手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。通過學(xué)生自主地觀察思考、動手操作等體驗(yàn)式學(xué)習(xí)，有助于解決數(shù)學(xué)概念的抽象性與兒童思維的形象性之間的矛盾，強(qiáng)化概念學(xué)習(xí)。本例中，用標(biāo)有數(shù)量的小棒擺平行四邊形，讓學(xué)生充分利用原有經(jīng)驗(yàn)，通過自主探索認(rèn)識平行四邊形邊的特征。在這樣的活動過程中，小棒中的“數(shù)量”以及原有表象綜合在一起，共同促進(jìn)學(xué)生對平行四邊形的認(rèn)識，使學(xué)生的活動真正起到了發(fā)現(xiàn)、探究、證明的作用。顯然，擺的活動更傾向于“對邊相等”這一特點(diǎn)的體驗(yàn)，對于“對邊平行”支持力度明顯不足。所以本例中，又提供格子圖背景的標(biāo)準(zhǔn)平行四邊形，讓學(xué)生再次觀察驗(yàn)證，用“數(shù)”來幫助學(xué)生體驗(yàn)平行四邊形對邊相等這一特征。不難發(fā)現(xiàn)，這樣的設(shè)計(jì)，對于平行四邊形的“對邊平行”的體驗(yàn)是不夠深刻的，而“對邊平行”不僅是認(rèn)識平行四邊形的特征的需要，更是與后繼課梯形的特征直接相關(guān)。

那么如何有效地利用格子圖，以“數(shù)”解“形”，讓學(xué)生自主地深度探究平行四邊形的特征呢？

二、我們的實(shí)踐與思考

（一）借“格”思“形”——從直覺認(rèn)識走向具體分析

教學(xué)片段1：

1.由平行四邊形的生活例子引入，抽象出平行四邊形。

2. 出示格子圖（圖4）。

師：老師已在格子圖中畫了兩條直線（圖4），你能否再補(bǔ)畫兩條直線，創(chuàng)造出你心中的平行四邊形？

生：能。

師：請你先想象一下，該補(bǔ)畫怎樣的兩條直線呢？

師：大家已經(jīng)有想法了，那么動手畫一畫吧。

范希爾認(rèn)為，兒童一開始是通過整體輪廓辨認(rèn)圖形，能畫圖或模仿畫出圖形，初步描述圖形，但無法通過圖形的特征或要素名稱來分析圖形，也無法對圖形做概括地論述。學(xué)生對平行四邊形的原有認(rèn)識也是這樣，具有整體性，能從整體外觀上判斷一個(gè)圖形“像”還是“不像”平行四邊形。對平行四邊形中關(guān)于邊的特征“對邊平行、對邊相等”這些特征，學(xué)生雖已有很多經(jīng)驗(yàn)，但并未自動地作為判斷平行四邊形的理由與思考的方向。教師出示格子圖中的兩條已有直線，讓學(xué)生補(bǔ)畫兩條直線來創(chuàng)造平行四邊形，迫使學(xué)生調(diào)動已有的對平行四邊形的表象與經(jīng)驗(yàn)，觀察、思考格子圖中的兩條直線的特征，使平行四邊形邊的特征納入學(xué)生主動探索的范圍，使學(xué)生對平行四邊形的認(rèn)知，由模糊的直覺逐步走向?qū)μ卣鞯姆治觥?/p>

（二）用“格”辨“形”——讓認(rèn)知從朦朧走向數(shù)學(xué)化

教學(xué)片段2：

1. （學(xué)生補(bǔ)畫后）你都補(bǔ)畫了幾個(gè)平行四邊形？你是怎么想的？

2. 匯報(bào)展示

①展示作品（圖5），這是你們心中的平行四邊形嗎？請你給大家介紹一下，你補(bǔ)畫了怎樣的一組直線創(chuàng)造出了平行四邊形？

展示作品（圖6），這也是你們心中的平行四邊形嗎？

師：同學(xué)們，這兩位同學(xué)的方法有什么相同的地方嗎？（前面三個(gè)都補(bǔ)畫了一組平行線，第4個(gè)補(bǔ)畫了一組相交線）

師：你們怎么都想到前面3個(gè)補(bǔ)畫一組平行線，第4個(gè)補(bǔ)畫一組相交線來創(chuàng)造平行四邊形呢？（前面三個(gè)已經(jīng)有一組平行線，所以再補(bǔ)畫一組平行線即可;第4個(gè)已經(jīng)有一組相交線，所以再補(bǔ)畫一組相交線就能創(chuàng)造出平行四邊形了）

②展示作品（圖7），這也是你們心目中的平行四邊形嗎？（第4個(gè)不是，前面三個(gè)是）

師：第4個(gè)也是補(bǔ)畫了一組相交的直線，為什么你們認(rèn)為它就不是平行四邊形了呢？（有一組對邊不平行）

師：你們怎么知道這兩條線是不平行的呢？（這一頭有5格，那一頭有4格，延長后會相交）

師：通過觀察，你們看出了這兩條直線是不平行的，還有別的方法也能證明它們不平行嗎？（量一量這兩條直線之間的距離）（請學(xué)生上臺驗(yàn)證）

師：大家用不同的方法說明了這兩條直線不平行，那么這個(gè)就不是一個(gè)平行四邊形了。

師：那這些線要怎樣才能創(chuàng)造出平行四邊形呢？（要平行）

師：你說的平行是指哪兩條直線要平行？（左右平行）那上下呢？（也要平行）

③師：你自己畫的圖形符合你們對平行四邊形的要求嗎？請大家選擇一個(gè)自己畫的平行四邊形驗(yàn)證。（學(xué)生驗(yàn)證）

師：看來，不管原來有一組平行線還是一組相交線，要?jiǎng)?chuàng)造平行四邊形，都必須要有兩組平行線，兩組平行線相交就能創(chuàng)造出平行四邊形。

弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)作為人類的一種活動，它的主要特征就是數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是數(shù)學(xué)化的過程。簡單地說，數(shù)學(xué)化就是學(xué)會用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)考察現(xiàn)實(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法解決實(shí)際問題。教學(xué)片段2中，學(xué)生對格子圖中的兩條直線的補(bǔ)畫，實(shí)質(zhì)上就是讓學(xué)生從數(shù)量上來考察、認(rèn)識平行四邊形的過程。在補(bǔ)畫過程中，學(xué)生既能直觀地整體判斷所創(chuàng)造的圖形，又能從數(shù)量上做分析辨別，從而促使學(xué)生不斷地反思、調(diào)整自己對平行四邊形的認(rèn)知。通過正例與錯(cuò)例的比較，引導(dǎo)學(xué)生再次對畫法進(jìn)行辨別、反思，將學(xué)生的思維引向精致化，幫助他們從整體感知逐步走向數(shù)量分析，進(jìn)而超越經(jīng)驗(yàn)，獲得關(guān)于平行四邊形基本特征的明確認(rèn)識。這樣的過程，由表及里，逐步深入，使學(xué)生對平行四邊形的認(rèn)識從朦朧的感覺走向明朗化、清晰化、數(shù)學(xué)化，從而一步一步地觸及概念的內(nèi)核，形成正確的概念認(rèn)識。

（三）用“數(shù)”驗(yàn)“形”——讓認(rèn)識從粗淺走向深入

教學(xué)片段3：

1. 師：通過剛才的學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)平行四邊形兩組對邊分別平行的特征，請你們仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)平行四邊形還有什么特征嗎？（學(xué)生思考）

師：把你們的發(fā)現(xiàn)寫在2號學(xué)習(xí)單上。你們可以在老師提供的平行四邊形上量一量，來證明你們的發(fā)現(xiàn)。

2. 反饋交流

生1：我量出這個(gè)平行四邊形的每條邊分別是……所以平行四邊形的對邊是相等的。

生2：量出每個(gè)角的度數(shù)，所以對角也是相等的。

師：哪些同學(xué)也有這樣的發(fā)現(xiàn)？

3. 師：剛才我們發(fā)現(xiàn)了平行四邊形的對邊相等、對角相等的特征，是不是所有的平行四邊形都有這樣的特征呢？

老師在幾何畫板上畫出了一個(gè)平行四邊形（圖8）。請大家觀察：對邊相等嗎？分別是多少厘米？對角相等嗎？分別是多少度？

變化平行四邊形的形狀后，對邊、對角還會相等嗎？（拖動變化如圖9）

你有什么發(fā)現(xiàn)？（不論怎么變，對邊相等、對角相等。一個(gè)角的度數(shù)變了，對角的度數(shù)也跟著變……）

4. 師：看來所有的平行四邊形從“邊”來看，我們發(fā)現(xiàn)了對邊平行也相等的特征，從“角”來看，發(fā)現(xiàn)了對角相等的特征（板書）。

人類認(rèn)識活動，總是先接觸個(gè)別事物，而后推及一般，又從一般推及個(gè)別，如此循環(huán)往復(fù)，使認(rèn)識不斷深化。著名的化學(xué)家門捷列夫曾說：只有通過從規(guī)律中推出結(jié)果（沒有規(guī)律就不可能也不能期待結(jié)果），并且在經(jīng)驗(yàn)檢驗(yàn)中證實(shí)這些結(jié)果，才能得出這些規(guī)律。顯然，在平行四邊形特征的認(rèn)識中，讓學(xué)生對平行四邊形進(jìn)行觀察、發(fā)現(xiàn)、操作、驗(yàn)證，在此基礎(chǔ)上得出“對邊相等”“對角相等”等結(jié)論僅僅是一個(gè)粗淺的認(rèn)識。要進(jìn)一步深化認(rèn)識，還需要提供更豐富的材料，讓學(xué)生建立突出事物共性的、清晰的典型表象。幾何畫板中提供的可任意拖動變化的平行四邊形以及隨之變化的邊與角度的數(shù)據(jù)，極大地豐富了學(xué)生學(xué)習(xí)的材料，讓學(xué)生在觀察邊、角數(shù)據(jù)的變化中，進(jìn)一步感悟到平行四邊形無論怎么變，對邊始終相等、對角始終相等的特征，甚至更進(jìn)一步地認(rèn)識到平行四邊形相鄰兩個(gè)內(nèi)角和是180度、四個(gè)內(nèi)角和是360度等知識。巧妙地提供平行四邊形的邊與角的數(shù)據(jù)，不僅使教學(xué)更加流暢，還讓學(xué)生對形的認(rèn)識從粗淺走向深入。

三、反思及聯(lián)想

用數(shù)解形，顯然有利于對形的深度學(xué)習(xí)。但怎樣利用數(shù)、什么時(shí)候利用數(shù)來深挖概念本質(zhì)是一個(gè)值得研究的問題。

（一）在感知模糊處結(jié)合“數(shù)”，凸顯“形”之本質(zhì)

形比較直觀，但正因?yàn)橹庇^，使學(xué)生對事物的認(rèn)識多了幾分感性，少了幾分理性。然而對數(shù)學(xué)概念的理解，不僅要從直觀上知其然，還要從數(shù)理的本質(zhì)上知其所以然。這就離不開“數(shù)”的參與?！捌叫兴倪呅蔚恼J(rèn)識”一例中，充分利用格子圖，讓學(xué)生對“對邊平行且相等”與“對角相等”的特征既能從直觀上得到感知，又能從數(shù)理上解釋所感知的內(nèi)容，讓學(xué)生對平行四邊形概念本質(zhì)的理解更加清晰、深刻。

小學(xué)教材中對平面圖形的認(rèn)識，尤其是低段內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，教材在編排時(shí)多直觀、少數(shù)理。人教版二年級下冊的“平移與旋轉(zhuǎn)”，教材是這樣編排的：從生活中的平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象引入，讓學(xué)生直觀感知什么是平移，什么是旋轉(zhuǎn)。教師在講平移時(shí)，只能說是向上、向下、向各個(gè)方向直直地移動。至于什么是直直地移動，只能意會不能言傳了。這樣的編排與教學(xué)，在有助于低年級學(xué)生直觀學(xué)習(xí)的同時(shí)，似乎也少了些數(shù)學(xué)的味道，學(xué)生對概念的感知比較模糊。

怎樣破解？有教師這樣教學(xué)平移。

教學(xué)片段4：

1. 師：這（圖10）是格子板上的一個(gè)箭頭，你能平移一下這個(gè)箭頭嗎？

2. 學(xué)生嘗試后展示學(xué)生作品（圖11）。

師：這些（圖11）都是你們心中的平移嗎？（學(xué)生認(rèn)為前3個(gè)作品是平移，第4個(gè)不是平移）

師質(zhì)疑：為什么說第4個(gè)不是平移？

生1：箭頭有點(diǎn)斜了。

生2：頭移動了2格，尾巴只移動了一格多，頭和尾移動的格數(shù)要一樣多。

師：同意他們的觀點(diǎn)嗎？前面3個(gè)頭和尾移動得一樣多嗎？

小結(jié)：看來，平移就是頭移動幾格，尾移動同樣的格子。平移時(shí)，可以向上平移，也可以向下平移。

3. 展示左右平移的作品，引導(dǎo)學(xué)生思考這是不是平移。（略）

4. 微視頻：斜著平移箭頭。讓學(xué)生區(qū)別是不是平移？為什么？（略）

這樣的教學(xué)，讓學(xué)生對平移的認(rèn)知從模糊走向清晰，讓學(xué)生對概念的認(rèn)知從感性走向理性。顯然，適當(dāng)加入“數(shù)”，更有助于學(xué)生對概念本質(zhì)的理解。

（二）在表達(dá)不清處利用“數(shù)”，說清概念本質(zhì)

形的直觀使學(xué)生的思維變得更為感性，然而數(shù)學(xué)概念本質(zhì)相對抽象，學(xué)生雖通過觀察、操作等活動，對隱藏在直觀的形背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)有感悟，但若缺失從直觀過渡到抽象的那一把梯子，就不能很好地把觀察所得理性地表達(dá)清楚。如在“平行四邊形的認(rèn)識”一例中，教師提供了格子背景，使學(xué)生能很快借助格子從數(shù)據(jù)上得出結(jié)論與理由：上下邊長各是4格，左右邊長各是3斜邊，所以對邊相等。又因?yàn)樯舷逻吘嚯x都是3格，左右邊距離都是2對角線，所以對邊平行。讓直觀與理性分析得到完美地整合。又如在“平行與垂直”這一課中，對看似平行實(shí)則不平行的兩條線的判斷，學(xué)生是很難講清楚的。因?yàn)榻柚皟蓷l直線延長后不相交”，有時(shí)并非行得通，而且這種外延描述式的概念界定，使學(xué)生很難把握概念的本質(zhì)。有教師據(jù)此，對“平行與垂直”做如下教學(xué)。

教學(xué)片段5：

在學(xué)生初步認(rèn)識相交與不相交后，出示課件（圖12）。

師：老師畫了兩幅圖（圖12），你們能幫助判斷一下，它們屬于什么情況？

生1：第①組的兩條直線延長之后不會相交，第②組的兩條好像不會相交。

生2：第②組的兩條也不一定呀。

師：老師這里有工具，借用一下，再來觀察，它們到底會不會相交，為什么？（課件呈現(xiàn)圖13）

生：第②組兩條直線很明顯，原來空的是兩格，后來距離變得越來越近，最后一定會相交了。

師：如果老師把它們延長，想象一下會怎么樣？（學(xué)生思考后，課件演示延長，圖14）

師：再看第①組，你們憑什么說它們不會相交？

生：因?yàn)閮蓷l直線之間的距離一直都是兩格，再怎么延長也不會相交。

小結(jié)：看來，在同一張紙上的兩條直線，只要寬度不變，它們就不會相交，如果寬度有變化，延長后肯定相交。

通過格子圖中的數(shù)，讓學(xué)生清楚地表達(dá)出平行線的一個(gè)重要特征：平行線的距離處處相等。通過數(shù)讓學(xué)生清楚地表達(dá)出形的特征，而語言的清晰表達(dá)，則又鍛煉了學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生對概念本質(zhì)的深度理解。

（三）在不甚理解時(shí)利用“數(shù)”，感悟概念本質(zhì)

數(shù)量的特點(diǎn)是精確，與形相比，剔除了外在的干擾，易于聚集于問題的本質(zhì)。如“角的初步認(rèn)識”這一課中，教師通過做活動角、比較活動角等活動，花大量的時(shí)間，力圖讓學(xué)生感悟“角的大小與所畫邊的長短無關(guān)，與邊叉開的大小有關(guān)” 。實(shí)際的結(jié)果卻是，教師教得辛苦，學(xué)生學(xué)得牽強(qiáng)，仍無法從根本上讓學(xué)生信服此結(jié)論。究其原因是學(xué)生看到的角是兩邊的長短，至于兩邊的關(guān)系（叉開的大小）只是一個(gè)模糊的感覺，所以當(dāng)邊的長度明顯變化時(shí)，更加刺激了學(xué)生關(guān)注邊的長度，而非思考邊與邊的關(guān)系。針對這一問題，有教師采用了這樣的設(shè)計(jì)。

教學(xué)片段6：

1. 師：老師在鐘面里畫了三個(gè)角（圖15），觀察這三個(gè)角，你想說些什么？

生1：第一個(gè)角的開口對著一格，第二個(gè)角的開口對著兩格，第三個(gè)角的開口對著三格，角的開口越來越大了。

生2：第一個(gè)角里面有一個(gè)小角，第二個(gè)角里面有兩個(gè)小角，第三個(gè)角里面有三個(gè)小角。所以第三個(gè)角最大。

師：大家同意嗎？看來角的兩邊張開得越大角就越大。

2. 師：比較這兩個(gè)角（圖16），誰大？你是怎么看出來的？

生：一樣大，因?yàn)樗鼈兌加幸粋€(gè)小角，角的兩邊張開得一樣大。

師：哦，角的兩邊張開得一樣大，說明角的大小一樣。

3. 師：這兩個(gè)角呢（圖17）？

生1：第二個(gè)大，因?yàn)檫@個(gè)角的邊更長。

生2：不對。兩個(gè)一樣大。因?yàn)檫@兩個(gè)角都有一個(gè)小角，張開的大小是一樣的。

師：大家同意嗎？比較兩個(gè)角的大小，我們要看什么？

小結(jié)：角的大小與角兩邊叉開的大小有關(guān)，與邊的長度無關(guān)。

通過提供可視、可數(shù)的鐘面小角圖，實(shí)質(zhì)上為學(xué)生提供了可以比較、可以測量的工具，角的“大小”不再是語言中、手勢中的“大小”，而是可用“數(shù)”來描述的“大小”，讓概念的本質(zhì)屬性得以強(qiáng)化，讓學(xué)生的思維有了依靠?！皵?shù)”的加入，真正使學(xué)生感悟到了角的“大小”的本質(zhì)。