德雪紅，張博文，金敏*，吳桂芳，翟曉敏，郭文斌

(1. 內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，呼和浩特 010020； 2. 航天科工集團第六研究所，呼和浩特 010076)

生物質(zhì)成型顆粒圓周表面粗糙形貌是精確分析生物質(zhì)成型顆粒表面與成型模具之間相互接觸作用的基礎(chǔ)，是分析成型模具所受摩擦磨損機理并實現(xiàn)其磨損預(yù)測的關(guān)鍵。而重構(gòu)準確、可信的生物質(zhì)成型顆粒圓周表面粗糙形貌數(shù)字化模型，是成型顆粒圓周表面與成型模具接觸模擬仿真，以及成型模具力學(xué)性能、摩擦磨損機理分析及磨損預(yù)測的關(guān)鍵[1-2]。

分形理論自20世紀由Mandelbrot創(chuàng)建以來，已廣泛應(yīng)用于分析和處理具有復(fù)雜細節(jié)特征的自然現(xiàn)象[3-6]。分形理論對描述具有標度率特點的自然現(xiàn)象具有較好適用性[7-10]，此外，生物質(zhì)成型顆粒圓周表面粗糙形貌也具有統(tǒng)計自相似性和標度不變特性[11-14]，因此，可利用分形理論對生物質(zhì)成型顆粒圓周表面粗糙形貌進行分析。

近年來，一些學(xué)者[15-20]先后開展了利用分形理論研究金屬接觸表面間的真實接觸狀況，以解決金屬與金屬接觸面間的摩擦機理問題，進而預(yù)測摩擦磨損狀況，但目前還鮮見利用分形理論對生物質(zhì)成型顆粒外表面做的相關(guān)研究，以及對其與成型孔內(nèi)壁真實接觸狀況進行理論分析。筆者用盒子計數(shù)法、變差法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法3種算法分別計算出成型顆粒圓周表面分形參數(shù)D和G，并以此為基礎(chǔ)，利用W-M分形函數(shù)，建立起生物質(zhì)成型顆粒圓周表面粗糙形貌分形模型，再通過數(shù)值模擬，實現(xiàn)其表面形貌重構(gòu)，力求利用W-M分形函數(shù)構(gòu)造出更具普遍意義的生物質(zhì)成型顆粒圓周表面粗糙度曲線。

1 理論分析及模型建立

因環(huán)模成型模孔粗糙表面具有分形特征，基于表面分型參數(shù)接觸模型能夠客觀反映粗糙表面的接觸性質(zhì)，故所建摩擦力公式具有科學(xué)性[11-15]。經(jīng)典接觸力學(xué)指出，當固體表面既承受法向載荷又承受切向載荷時：若兩力比值小于0.3，屈服將發(fā)生在表層以下；若兩力比值大于0.3，屈服將發(fā)生在接觸點的邊緣[15-18]。摩擦分子機械理論指出，在外力作用下，兩摩擦表面間的作用可分為機械作用和分子作用兩種，即指由于彈塑性變形、微凸體間相互碰撞、嚙合及犁溝效應(yīng)等而阻礙的相對滑動，以及由于分子力作用和分子活動使接觸微凸體發(fā)生黏附而產(chǎn)生的滑動阻力[17]。表面間分子作用力與機械阻力之和的切向分量即為摩擦力。

1.1 摩擦表面接觸狀態(tài)分析

對于沿x方向相對滑動速度Vx一定的面接觸摩擦副元件，其在z方向上的相對滑動速度Vz取決于表面形貌特征及力學(xué)性能，設(shè)Vx=?S/?t，Vz=?h/?t，將Δh兩邊對時間t求導(dǎo)可得：

(1)

圖1 某點微凸體對相對滑動距離S后的接觸狀態(tài)Fig. 1 Contacting state of a pair of micro asperity after a relative sliding distance

1.2 微觀接觸力學(xué)分析

(2)

(3)

在Ai上對式(1)兩邊積分求和，可得兩接觸表面真實接觸面積Ar為：

VzAr=VxAo-Eo

(4)

圖2 微接觸面上的受力分析Fig. 2 Force analysis of micro contacting surface

此處設(shè)整個接觸面上分子作用力和機械變形阻力在z、x方向上的分量分別為Rz1、Rz2和Tz1、Tz2，將式(2)、(3)左邊分別設(shè)為W(1)、W(2)后代入式(4)，整理得Vz[Rx1/W(1)-Ar/E0]+Vx[A0/E0-Rz1/W(1)]=0，Vz[Tz1/W(2)-Ar/E0]+Vx[A0/E0-Tx1/W(2)]=0成立，則有Rz1=(A0/Ar)Rx1=cRx1，Tx1=(A0/Ar)Tz1=cTz1(設(shè)系數(shù)c=A0/Ar)。設(shè)?？撞牧峡辜魪姸葹棣?，Arp為塑性接觸面積，則有Arp=Rx1/τ，若?？變?nèi)表面與成型顆粒接觸表面間法向載荷為FN，則FN=Rz1+Tz1，因此?？變?nèi)表面與成型顆粒間產(chǎn)生的摩擦力F=Rx1+Tx1=cFN+(1-c2)τArp。

因粗糙表面自仿射分形特征，基于粗糙表面分形表征和經(jīng)典接觸力學(xué)理論[17]可得：

(5)

1.3 生物質(zhì)成型顆粒圓周表面粗糙形貌分形模型建立

生物質(zhì)成型顆粒是由具有一定粒度、含水率的木屑或秸稈等農(nóng)林剩余物原料在外力作用下，經(jīng)過環(huán)模成型機壓縮而成的具有一定直徑尺寸及密度的顆粒狀物。成型顆粒圓周表面結(jié)構(gòu)具有明顯的自相似性、不平滑性，可采用分形理論對生物質(zhì)成型顆粒圓周表面形貌進行描述，從而應(yīng)用于成型機摩擦磨損機理研究中。

W-M分形函數(shù)是處處連續(xù)、不可微分且具有自仿射分形特征的理想曲線，該函數(shù)能夠?qū)Τ尚皖w粒圓周表面等工程表面輪廓進行模擬。國內(nèi)外學(xué)者一般采用經(jīng)過修正的、適合工程表面的W-M分形函數(shù)[17]：

(6)

式中：Z(x)為成型顆粒圓周表面輪廓高度，m；x為輪廓測量坐標，m；γn為空間頻率，γ>1，取1.5，n為整數(shù)；ωL為表面輪廓的截斷低頻上限，ωL=1/L；L為表面輪廓采樣長度，m；ωU為輪廓的截斷高頻上限，ωU=1/2δ；δ為輪廓分辨率；σ為標準差，取0.05。

2 表面輪廓分形維數(shù)計算方法

分形理論作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個分支，可以從分數(shù)維度的視角來描述和研究具有自相似性的、不規(guī)則的幾何圖形(如山脈、樹木等)問題[17]。針對生物質(zhì)成型顆粒圓周表面粗糙形貌的研究，選取計算分形維數(shù)常用的3種方法——盒子計數(shù)法、變差法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法分別進行分形維數(shù)的測定。

2.1 盒子計數(shù)法

將表面輪廓曲線用邊長等于1的方盒子覆蓋，將此方盒子分割成含有2n個小方盒的網(wǎng)格集，小方盒的邊長為2-n，如圖1所示，用這個網(wǎng)格集覆蓋輪廓曲線，統(tǒng)計出與輪廓相交的小盒子數(shù)量M(n)，則曲線分形維數(shù)為：

(7)

2.2 變差法

以寬為r的矩形框首尾相接，將表面輪廓曲線覆蓋起來，令第i個框內(nèi)表面輪廓的最大值與最小值之差為Hi，若尺度r很小，則Hi值就逼近曲線的長度。因此，等價的測度數(shù)V(r)表達式為：

(8)

將V(r)與r在雙對數(shù)坐標中作直線回歸分析，由斜率α可得輪廓曲線分形維數(shù)：

D=2-α

(9)

2.3 結(jié)構(gòu)函數(shù)法

將表面輪廓曲線視為一個時間序列z(x)，則具有分形特征的時間序列能使其采樣數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)函數(shù)滿足：

S(θ)=[z(x+θ)-z(x)]2=c1θ4-2D

(10)

式中：[z(x+θ)-z(x)]2為差方算術(shù)平均值；θ為數(shù)據(jù)間隔的任意選擇值，m；c1為系數(shù)。

針對若干尺度θ對輪廓曲線的離散信號計算出相應(yīng)的S(θ)，然后在對數(shù)坐標中得lgS和lgθ直線的斜率α，因此，分形維數(shù)D與斜率α的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

D=2-α/2

(11)

3 參數(shù)測定及試驗分析

3.1 試驗條件

試驗用成型顆粒樣本由木屑(呼和浩特市周邊的松樹和楊樹混合木屑)經(jīng)生物質(zhì)成型機壓縮制成，其顆粒度為1～3 mm、含水率約11%、密度約1.2 g/cm3。樣本制作工藝流程：生物質(zhì)環(huán)模成型機由電機(功率7.5 kW)帶動環(huán)模旋轉(zhuǎn)，物料與環(huán)模間摩擦力和物料與壓輥間摩擦力使壓輥自轉(zhuǎn)，物料在環(huán)模與壓輥間形成的楔形空間受擠壓力作用而被擠入環(huán)模成型孔(成型?？组L徑比5∶1)內(nèi)，并逐漸從環(huán)?？滓灾鶢钚问奖粩D出。

主要測試儀器：JB-8C型精密粗糙度儀(廣精精密儀器有限公司)；DHS-10A型快速水分測定儀；100 mL量筒(精度1 mL)；網(wǎng)孔直徑3 mm的標準檢驗篩(符合GB/T 6003.1—1997《金屬絲編織網(wǎng)試驗篩》要求)；JAEIHAENE型電子秤(精度0.01 g)；游標卡尺；秒表(精度0.01 s)。

3.2 試驗方法

將生物質(zhì)環(huán)模成型機生產(chǎn)的直徑為6 mm的木屑壓縮成型顆粒，進行密度和含水率的測量，然后利用粗糙度儀對成型顆粒圓周表面粗糙形貌進行測量并提取數(shù)據(jù)，再利用3種分形維數(shù)方法計算成型顆粒圓周表面粗糙形貌的分形維數(shù)D。

3.2.1 成型顆粒密度計算

取若干成型顆粒，將其端面磨平后采用游標卡尺測出顆粒長度與直徑，并稱得質(zhì)量，最后求得顆粒密度。

3.2.2 表面粗糙形貌測量

選出直徑為6 mm的10組(每組10個成型顆粒樣本)木屑壓縮成型顆粒樣本，利用粗糙度儀對每一顆粒樣本的圓周表面粗糙狀態(tài)進行軸向形貌測量，獲得表面輪廓曲線，提取其表面輪廓曲線數(shù)據(jù)后，再利用3種分維算法計算生物質(zhì)成型顆粒圓周表面粗糙形貌分形維數(shù)D值。

1)盒子計數(shù)法。根據(jù)盒子計數(shù)法計算分維的原理，實現(xiàn)不同大小的網(wǎng)格(設(shè)n=1，2，…，11)對所測樣本粗糙表面輪廓進行動態(tài)覆蓋，再利用MATLAB對網(wǎng)格邊長2-n和網(wǎng)格數(shù)目2n分別進行統(tǒng)計，再采用最小二乘法對二者進行對數(shù)擬合，所擬合出的圖形斜率α(圖3)絕對值即為分形維數(shù)D值，計算結(jié)果如表1所示。

圖3 ln M(n)與nln 2的關(guān)系Fig. 3 Relationship between ln M(n) and nln 2

2)變差法。對所測樣本粗糙表面輪廓形貌，分別取尺度r為1，2，…，10 μm，測出對應(yīng)的Hi值，利用式(8)計算出對應(yīng)的V(r)值，建立lgV(r)與lgr為坐標軸的散點圖，進行數(shù)據(jù)擬合后得出直線，求出斜率α(圖4)，將其絕對值代入式(9)，求得分形維數(shù)D值，計算結(jié)果如表1所示。

3)結(jié)構(gòu)函數(shù)法。對所測樣本粗糙表面輪廓形貌，分別取θ為1，2，…，10 μm，測出對應(yīng)的表面粗糙高度z(x+θ)及z(x)值，并利用式(10)計算出對應(yīng)的S(θ)值，建立lgS與lgθ為坐標軸的散點圖，進行數(shù)據(jù)擬合后得出直線，求出斜率α(圖5)，將其絕對值代入式(11)，求得分形維數(shù)D值，計算結(jié)果如表1所示。

圖4 lg V(r)與lg r的關(guān)系Fig. 4 Relationship between lg V(r) and lg r

表1 成型顆粒圓周表面粗糙形貌分形維數(shù)D的算法比較Table 1 Comparison of fractal dimension D algorithms for rough surface topography of molding particles

圖5 lg S與lg θ的關(guān)系Fig. 5 Relationship between lg S and lg θ

3.3 試驗結(jié)果與分析

所取樣本經(jīng)過3種分維算法后得到的生物質(zhì)成型顆粒圓周表面粗糙形貌分形維數(shù)D值見表1。由表1可知，生物質(zhì)成型顆粒圓周表面的粗糙度均值為1.45 μm時，粗糙形貌分形維數(shù)D的均值約為1.6(保留一位小數(shù)后)。樣本表面輪廓采樣長度L取50 μm，其輪廓的分辨率δ取0.001，并與分形維數(shù)D一起代入式(6)后計算得出分形特征參數(shù)G=2.24×10-5m。

由表1分析可知，盒子計數(shù)法、變差法及結(jié)構(gòu)函數(shù)法3種算法所測出的分形維數(shù)D相同，均約為1.6，但略有區(qū)別。結(jié)構(gòu)函數(shù)算法計算D所得數(shù)據(jù)最大，D的均值達到1.646 2，方差也最高，達到0.015 49；變差算法計算D所得數(shù)據(jù)最小，D的均值為1.581 4，方差達0.004 43；盒子計數(shù)法計算D所得數(shù)據(jù)居中，D的均值為1.603 8，方差最小，僅為0.000 05。因此，經(jīng)分析得出，由于盒子計數(shù)法計算所得樣本方差相對最小，用環(huán)模生物質(zhì)成型機生產(chǎn)的密度為1.2 g/cm3的生物質(zhì)成型顆粒圓周表面粗糙形貌的分形維數(shù)D測量中，采用盒子計數(shù)法計算分形維數(shù)D值相對精度更高。

4 成型顆粒表面粗糙形貌模擬

4.1 二維仿真模擬

將上述計算結(jié)果代入式(6)后，編寫二維隨機粗糙表面程序，利用MATLAB進行模擬計算，對成型顆粒圓周表面粗糙形貌進行數(shù)值模擬。具體參數(shù)設(shè)置：分形維數(shù)D=1.6，分形特征參數(shù)G=2.24×10-5m，輪廓分辨率δ=0.001，輪廓采樣長度L=50 μm。模擬后的結(jié)果如圖6所示。

圖6 成型顆粒圓周表面粗糙形貌二維模擬Fig. 6 Two-dimensional simulation of rough surface topography of molding particles

4.2 三維仿真模擬

根據(jù)上述計算結(jié)果，對成型顆粒粗糙表面輪廓，利用式(6)在MATLAB中進行計算后再經(jīng)過三維空間隨機轉(zhuǎn)化計算，得到的三維形貌視圖結(jié)果如圖7所示。

圖7 成型顆粒圓周表面粗糙形貌三維模擬Fig. 7 Three-dimensional simulation of rough surface topography of molding particles

4.3 模擬試驗結(jié)果分析

將實測木屑成型顆粒粗糙表面所得分形參數(shù)D、G作為數(shù)據(jù)仿真的初始值，利用W-M分形函數(shù)對其輪廓形貌進行模擬，結(jié)果如圖6(二維視圖)和圖7(利用MATLAB進行隨機轉(zhuǎn)化得到三維視圖)所示。成型顆粒圓周表面粗糙形貌電鏡放大100倍下的掃描狀態(tài)見圖8，其中暗色區(qū)表示顆粒表面比較光滑，白色線條區(qū)表示非光滑表面，白色線條越多表明成型顆粒圓周表面孔隙越多、密度越低，也越粗糙。

圖8 成型顆粒圓周表面粗糙形貌Fig. 8 SEM image of rough surface of molding particles

為了對模擬結(jié)果進行分析，需要對圖3中的模擬粗糙形貌數(shù)據(jù)進行采集后與圖8的表面粗糙形貌作對比分析。針對木屑壓縮成型顆粒表面粗糙形貌的輪廓算數(shù)平均偏差Ra、平均輪廓波峰高度Rp、輪廓單元平均寬度Rsm、粗糙度峰值數(shù)Rpc、輪廓支承比率Rmr這5個重要參數(shù)進行對比探討。圖3中，模擬輪廓算數(shù)平均偏差Ra=1.432 μm(實測Ra=1.495 μm)，模擬平均輪廓波峰高度Rp=2.84 μm(實測Rp=2.776 μm)，模擬輪廓單元平均寬度Rsm=0.178 mm(實測Rsm=0.182 mm，如圖8所示)，模擬粗糙度峰值數(shù)Rpc=30峰/mm(實測Rpc=32.5峰/mm)，模擬輪廓支承比率Rmr=89.8%(實測Rmr=93.6%)。

根據(jù)上述數(shù)據(jù)分析結(jié)果，模擬參數(shù)Ra、Rp、Rsm、Rpc、Rmr與實測參數(shù)接近程度(模擬值/實測值)分別為95.8%，102.3%，97.8%，92.3%，95.9%，說明利用W-M分形函數(shù)模擬木屑壓縮成型顆粒數(shù)據(jù)基本準確合理。由此可知，所測得的分形維數(shù)D及分形特征參數(shù)G正確，所用粗糙表面分形模擬模型對生物質(zhì)成型顆粒圓周表面粗糙形貌的模擬是合理的。

5 結(jié) 論

對于以混合木屑為原料、顆粒度1～3 mm、含水率11%、直徑6 mm、密度1.2 g/cm3的生物質(zhì)成型顆粒，采集其圓周表面粗糙形貌數(shù)據(jù)，采用盒子計數(shù)法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法、變差法3種方法分別計算出粗糙表面分形模型的關(guān)鍵參數(shù)(分形維數(shù)D和分形特征參數(shù)G)，再根據(jù)W-M分形函數(shù)，建立了生物質(zhì)成型顆粒圓周表面粗糙形貌分形模型，并進行數(shù)值模擬，得到如下主要結(jié)論。

1)生物質(zhì)成型顆粒圓周表面的粗糙度均值為1.45 μm時，粗糙形貌分形維數(shù)D的均值約為1.6，分形特征參數(shù)G約為2.24×10-5m。

2)模擬結(jié)果表明，粗糙表面分形模擬模型對生物質(zhì)成型顆粒圓周表面的粗糙形貌模擬準確合理，所測得的分形維數(shù)D及分形特征參數(shù)G準確，所用粗糙表面分形模型對生物質(zhì)成型顆粒圓周表面粗糙形貌的模擬是合理的，且具有普遍意義。

3)采用盒子計數(shù)法、變差法及結(jié)構(gòu)函數(shù)法3種方法測定生物質(zhì)成型顆粒圓周表面粗糙形貌分形維數(shù)D的過程中，盒子計數(shù)法的計算結(jié)果最可信，計算精度相對更高。