摘要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高層次是知何由以知其所以然，即“想得到”。已有知識(shí)、一般觀念（或者說(shuō)基本思想方法、研究“套路”）以及最終目標(biāo)、差異消除等，都是“想得到”的重要影響因素。數(shù)學(xué)教學(xué)中，要讓學(xué)生從已有知識(shí)出發(fā)，運(yùn)用一般觀念，自主探究發(fā)現(xiàn)新的知識(shí);從最終目標(biāo)出發(fā)，實(shí)現(xiàn)差異消除，自主探究得到解題思路。這樣，學(xué)生才更能“想得到”。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);“想得到”;學(xué)會(huì)學(xué)習(xí);知識(shí)發(fā)現(xiàn);問(wèn)題解決

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有三個(gè)遞進(jìn)的層次：知其然，即知道是什么;知其所以然，即知道為什么;知何由以知其所以然，即知道怎么想到。它們分別指向記住、懂了、會(huì)了。顯然，最高的層次即“想得到”，是培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力（“帶得走”的素養(yǎng)）的關(guān)鍵。那么數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何讓學(xué)生“想得到”呢？已有知識(shí)、一般觀念（或者說(shuō)基本思想方法、研究“套路”）以及最終目標(biāo)、差異消除等，都是“想得到”的重要影響因素。因此，要讓學(xué)生通過(guò)自主探究，體會(huì)到它們對(duì)“想得到”的作用。本文從知識(shí)發(fā)現(xiàn)教學(xué)與問(wèn)題解決教學(xué)兩個(gè)方面舉一些案例來(lái)說(shuō)明。

一、知識(shí)發(fā)現(xiàn)“想得到”：基于已有知識(shí)，運(yùn)用一般觀念

數(shù)學(xué)知識(shí)之間充滿聯(lián)系。新知識(shí)不是從天而降的，而是以舊知識(shí)為“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，在一般觀念的指引下得到的。知識(shí)教學(xué)中，教師不能告知或預(yù)設(shè)知識(shí)結(jié)果，而要讓學(xué)生從已有知識(shí)出發(fā)，運(yùn)用一般觀念，自主探究發(fā)現(xiàn)新的知識(shí)。這里的一般觀念通常包括從一般到特殊的演繹、從特殊到一般的歸納以及各類數(shù)學(xué)對(duì)象（各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域）研究“套路”的類比遷移。

例如，教學(xué)“完全平方公式”時(shí)，教師通常這樣引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)公式：（1）讓學(xué)生用兩種方法計(jì)算如圖1所示的正方形的面積;（2）讓學(xué)生從數(shù)到字母、從特殊到一般逐步計(jì)算（m+2）2、（3+2b）2、（2m+3n）2、（a+b）2。這樣的教學(xué)雖然沒(méi)有直接告知，但是已經(jīng)預(yù)設(shè)了結(jié)果，過(guò)度牽引學(xué)生按照教師的指令操作，使學(xué)生缺少探索的空間，雖然“做得到”，但是“想不到”。比如，這樣的正方形哪里來(lái)的？為什么要計(jì)算這些式子的結(jié)果？

實(shí)際上，完全平方公式等乘法公式是多項(xiàng)式乘法的特例。學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式的乘法，完全可以由此出發(fā)，運(yùn)用從一般到特殊（演繹推理）的一般觀念，自主探究發(fā)現(xiàn)完全平方公式。具體教學(xué)設(shè)計(jì)如下石樹(shù)偉.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)立意的“層次”“關(guān)系”及“提升”——由“完全平方公式”同課異構(gòu)引發(fā)的思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013（1）：74-76。：

1.前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式的乘法，能說(shuō)說(shuō)運(yùn)算法則嗎？運(yùn)算的依據(jù)是什么？

2.（x+b）（x+d）可以利用公式直接寫(xiě)出結(jié)果，它是（a+b）（c+d）在a=c=x時(shí)的特例。（給出“先行組織者”，讓學(xué)生更容易“想得到”。）在（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd中，你認(rèn)為還有哪些特殊情形？你能得到什么？（完全放手讓學(xué)生探究，學(xué)生的結(jié)論多種多樣，包括完全平方公式和平方差公式。）

3.今天我們主要研究完全平方公式，完全平方公式有什么特征？請(qǐng)用自己的語(yǔ)言表述公式。

再如，教學(xué)“三角形的中位線定理” 時(shí)，教師通常這樣引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理：（1）讓學(xué)生按步驟取中點(diǎn)、畫(huà)中位線、測(cè)量角度和長(zhǎng)度、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后證明結(jié)論;（2）讓學(xué)生動(dòng)手操作，將三角形紙片剪拼成平行四邊形（如圖2所示），從而引出三角形中位線的概念，發(fā)現(xiàn)三角形中位線的性質(zhì)（定理）并得到證明的思路。這樣的教學(xué)依然存在過(guò)度牽引的問(wèn)題，使學(xué)生雖然“做得到”，但是“想不到”。比如，為什么要測(cè)量角度和長(zhǎng)度？為什么要將三角形剪拼成平行四邊？

實(shí)際上，學(xué)生對(duì)等邊三角形（如圖3所示）和等腰直角三角形（如圖4、圖5所示）等特殊的三角形比較熟悉，從中發(fā)現(xiàn)三角形中位線的性質(zhì)也比較容易（當(dāng)然，從圖3中不太容易想到中位線與第三邊的長(zhǎng)度關(guān)系）。因此，可以讓學(xué)生由此出發(fā)，運(yùn)用從特殊到一般（歸納推理）的一般觀念，自主探究發(fā)現(xiàn)（猜想）三角形的中位線定理，然后嚴(yán)格證明。王玉宏.在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)創(chuàng)新思維——以三角形中位線的教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017（2）：2629。

又如，教學(xué)“平行四邊形的性質(zhì)”時(shí)，教師通常直接要求學(xué)生將平行四邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)180°，觀察哪些點(diǎn)、線段、角重合，從而依次發(fā)現(xiàn)其關(guān)于邊、角、對(duì)角線的性質(zhì)。這樣的教學(xué)依然存在探究空間過(guò)小的問(wèn)題，使學(xué)生雖然“做得到”，但是“想不到”。

而實(shí)際上，我們可以引導(dǎo)學(xué)生基于對(duì)性質(zhì)的理解，從已經(jīng)學(xué)過(guò)的三角形性質(zhì)出發(fā)，總結(jié)圖形性質(zhì)研究的一般“套路”，再運(yùn)用這樣的一般觀念，自主探究發(fā)現(xiàn)平行四邊形的性質(zhì)。具體教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

1.性質(zhì)是指事物內(nèi)部元素之間穩(wěn)定的聯(lián)系。（給出“先行組織者”，讓學(xué)生更容易“想得到”。）一般三角形的性質(zhì)有哪些？是從哪些方面來(lái)研究的？（如三角形的內(nèi)角和為180°，任兩邊之和大于第三邊，外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，三條高交于一點(diǎn)，等腰三角形“三線合一”等，是從三角形的組成要素、相關(guān)要素的數(shù)量和位置關(guān)系上來(lái)研究的。）

2.那么，平行四邊形的性質(zhì)可以從哪些方面來(lái)研究？（從平行四邊形的組成要素和相關(guān)要素——邊、角、對(duì)角線之間關(guān)系的角度研究。）

3.前面研究過(guò)一般的四邊形，你是怎么研究的？（將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。）根據(jù)這些方法與經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)嘗試研究平行四邊形的性質(zhì)。

二、問(wèn)題解決“想得到”：圍繞最終目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)差異消除

問(wèn)題解決和知識(shí)發(fā)現(xiàn)主要的不同在于，問(wèn)題解決時(shí)往往有一個(gè)明確的目標(biāo)，而知識(shí)發(fā)現(xiàn)時(shí)往往目標(biāo)不夠明確。解題教學(xué)中，教師不能告知或預(yù)設(shè)解法結(jié)果，也不能簡(jiǎn)單歸類題型、套用解法，而要讓學(xué)生從最終目標(biāo)出發(fā)，實(shí)現(xiàn)差異消除，自主探究得到解題思路。這里的差異消除，指的是消除最終目標(biāo)和已知條件或已有知識(shí)之間的差異，基本手段是轉(zhuǎn)化。

例如，教學(xué)“解方程x-14-1=2x+16”時(shí)，不應(yīng)讓學(xué)生套用解一元一次方程的一般步驟（去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1等），而要讓學(xué)生先明確解方程的最終目標(biāo)（得到“x=a”的形式），再分析已知方程與最終目標(biāo)的差異（如兩邊都有未知數(shù)和常數(shù)、未知數(shù)和常數(shù)作為整體在參與運(yùn)算等），思考如何（依據(jù)什么）轉(zhuǎn)化可以消除差異（如移項(xiàng)、去分母和去括號(hào)等）。由此，學(xué)生便能自己想到解方程的步驟（知道解法步驟是怎么來(lái)的）。

再如，“證明三角形的中位線定理”的教學(xué)。發(fā)現(xiàn)（猜想）了三角形的中位線定理后，學(xué)生便有了證明的目標(biāo)。教學(xué)中，可以讓學(xué)生從這個(gè)目標(biāo)出發(fā)，分析其與已知條件或已有知識(shí)的差異。學(xué)生從已知條件考慮，會(huì)發(fā)現(xiàn)“平行于第三邊，并且等于第三邊的一半”的目標(biāo)與“三角形”“兩邊中點(diǎn)”的條件差異較大;而從已有知識(shí)考慮，會(huì)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)與“對(duì)邊平行且相等”的平行四邊形性質(zhì)差異較小。由此，學(xué)生可以想到將中位線延長(zhǎng)為原來(lái)的兩倍，構(gòu)造待證的平行四邊形（如圖2中的DBCF）。然后，由這個(gè)新的目標(biāo)出發(fā)，分析其與已知條件的差異，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)“中位線延長(zhǎng)為原來(lái)的兩倍”“一邊中點(diǎn)”的條件決定了一個(gè)平行四邊形（如圖2中的ADCF），從而“另一邊中點(diǎn)”的條件又決定了一個(gè)平行四邊形，即上述新的目標(biāo)。如此，學(xué)生便找到了證明三角形的中位線定理的思路。

又如，有這樣一道題：

如下頁(yè)圖6，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且和B、C不重合，連接PA，過(guò)P 作PE⊥PA，交CD所在直線于E。

（1）在圖中找出一對(duì)相似三角形，并說(shuō)明理由;

（2）若點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E總在線段CD上，求m的取值范圍。

作為鋪墊，對(duì)第（1）問(wèn)，易得△ABP∽△PCE。

教學(xué)第（2）問(wèn)時(shí)，可以讓學(xué)生從“求m的取值范圍”這個(gè)目標(biāo)出發(fā)，分析其與已知條件的差異。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)“點(diǎn)E總在線段CD上”這個(gè)條件蘊(yùn)含著“CE≤CD=1”這個(gè)不等關(guān)系，與目標(biāo)的差異最小。進(jìn)而，發(fā)現(xiàn)在梯形ABCD中，點(diǎn)E隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的位置（CE長(zhǎng)）由點(diǎn)P的位置（BP長(zhǎng)）決定。于是，想到利用△ABP∽△PCE，得到ABPC=BPCE，進(jìn)而得到CE（y）與BP（x）之間的函數(shù)關(guān)系：