魏宇亭

［摘? 要］ 建構(gòu)初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，可從學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新概念間的矛盾入手，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突場，讓學(xué)生在認(rèn)知原動力的驅(qū)動下，經(jīng)歷概念的來源、發(fā)展、應(yīng)用的過程，領(lǐng)悟建立概念的合理性、必然性和必要性，在回歸概念本質(zhì)中發(fā)展核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)概念教學(xué)；認(rèn)知原動力；數(shù)學(xué)本質(zhì)；三會思想

引言

章建躍博士指出，概念教學(xué)得以充分展開的根本原動力是學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新概念之間的不平衡［1］. 因此，在概念教學(xué)中，教師要理性評估學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從學(xué)生的視角營造認(rèn)知矛盾，創(chuàng)設(shè)因認(rèn)知沖突而迫切需要新概念的情境；學(xué)生從沖突場中，吸取認(rèn)知原動力，回歸于數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從知識來源、發(fā)展和應(yīng)用的視角，感受概念的來龍去脈，進(jìn)而理解建立新概念的合理性、必要性和必然性，領(lǐng)悟蘊(yùn)含于概念中的數(shù)學(xué)思想和方法，實(shí)現(xiàn)在概念學(xué)習(xí)中發(fā)展核心素養(yǎng)的目標(biāo).

2021江蘇省初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動于10月14日至15日在丹陽市丹徒區(qū)茅以升實(shí)驗(yàn)學(xué)校舉行，蘇科版教材八年級上冊“平方根”為參賽課題之一. 在本課中，學(xué)生感受平方根概念存在的合理性，產(chǎn)生開平方運(yùn)算的必然性，設(shè)計運(yùn)算符號的必要性，既是教學(xué)的重難點(diǎn)，又是學(xué)生匯聚認(rèn)知矛盾的焦點(diǎn)，還是學(xué)生吸取認(rèn)知原動力的發(fā)力點(diǎn). 基于上述分析，筆者在評比現(xiàn)場，始終觀摩該選題的教學(xué)，整理了部分選手的教學(xué)片段，在類比評析中梳理通過吸取認(rèn)知原動力建構(gòu)數(shù)學(xué)概念課的有效途徑.

合理評估學(xué)情，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突場

1. 教學(xué)片段

（選手以A、B、C為代號，下同. ）

（1）A選手：在折紙活動中創(chuàng)設(shè)學(xué)生的認(rèn)知沖突場.

師：正方形的邊長為2，請問它的面積是多少？

生（齊）：面積為4.

師：反過來，如果正方形的面積為4，它的邊長是多少呢？

生（齊）：邊長為2.

師：老師帶來了一張面積為4平方分米的正方形紙片，你能將它折成一個面積為1平方分米的正方形嗎？其邊長是多少？

學(xué)生動手折疊.

師：折好的舉手，展示你是怎么折的.

如圖1，一生演示，回答：對折再對折即可.

師：利用這張面積為4平方分米的正方形紙片，請折一個面積為2平方分米的正方形.

學(xué)生動手操作，教師提示可在小組內(nèi)交流折法，隨后指名一學(xué)生演示，折紙方式如圖2.

師：其邊長怎么去求呢？

生（齊）：只能得到邊長2=2.

教師出示圖3.

師：你會求這塊直角三角形的斜邊長嗎？

生1：運(yùn)用勾股定理，能得到斜邊的平方為41.

生2：沒找到平方等于41的有理數(shù).

（2）B選手：在釘板游戲中創(chuàng)設(shè)學(xué)生的認(rèn)知沖突場.

師：動手操作是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要途徑，動手過程中能發(fā)現(xiàn)很多有價值的線索，拿出釘板，試試你能圈出哪些面積的正方形？

學(xué)生動手操作，用皮筋在釘板上圈出正方形，教師選學(xué)生展示.

一學(xué)生展示如圖4面積為9的正方形.

師：面積是9，你能得到什么等式？邊長是多長？

生1：設(shè)邊長為x，可得x2=9，邊長是3.

師：還有其他面積的正方形嗎？

在與學(xué)生的互動中，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生在釘板上用皮筋圈出如圖5的等腰直角三角形.

師：將這樣的兩個三角形組合在一起，可組成面積是49的正方形，你能得到什么等式？邊長是多少？

生2：可得x2=49，邊長是7.

師：還有其他的正方形嗎？

學(xué)生沉默.

師：有些同學(xué)得到的正方形與眾不同，面積為8（如圖6），邊長能看出來嗎？

學(xué)生沉默.

師：邊長為什么看不出來了？能否用一個模型或式子概括一下？

學(xué)生沉默.

師：求x是多少，對不對？

生（齊）：對，可得x2=8.

（3）C選手：基于互逆關(guān)系創(chuàng)設(shè)學(xué)生的認(rèn)知沖突場.

教師播放小視頻《打遍天下無敵手的無理數(shù)》，介紹畢達(dá)哥拉斯、希帕索斯研究勾股定理和無理數(shù)的小故事.

師：目前學(xué)過的數(shù)有哪些？

學(xué)生互相補(bǔ)充回答：正數(shù)、0、負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù).

師：從數(shù)的發(fā)展來看，小學(xué)學(xué)了正數(shù)和0，初中學(xué)了負(fù)數(shù)和無理數(shù)，高中還將進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù). 數(shù)系的擴(kuò)充，帶來的是數(shù)的運(yùn)算也發(fā)生變化. 我們學(xué)過的數(shù)的運(yùn)算有哪些？

生（齊）：加法、減法、乘法、除法、乘方.

教師根據(jù)學(xué)生的回答板書運(yùn)算名稱，將運(yùn)算分為一級、二級、三級.

師：加法與減法、乘法和除法從運(yùn)算上看，它們有什么關(guān)系？

生（齊）：互逆關(guān)系.

師：加法與減法、乘法和除法互為逆運(yùn)算，關(guān)于乘方運(yùn)算，你能提出什么問題呢？

生（齊）：乘方有沒有互逆運(yùn)算？

師：要研究乘方的逆運(yùn)算，我們從最一般、最特殊的平方開始.

2. 教學(xué)思考

（1）理性評估學(xué)情是基礎(chǔ).

理性評估學(xué)情是進(jìn)行概念教學(xué)的基礎(chǔ)，教師要理清學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，切準(zhǔn)其與新概念間的矛盾點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)放大矛盾點(diǎn)的情境，激起學(xué)生的憤悱心理，構(gòu)建吸取認(rèn)知原動力的沖突場. 上述課例，可將A、B選手的折紙活動和釘板游戲，劃歸為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn). 教師引導(dǎo)學(xué)生動手實(shí)驗(yàn)，預(yù)期分別構(gòu)造面積為2和8的正方形，讓學(xué)生看到上述正方形的邊長的確存在，但用已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)卻求取不了其長度. C選手粹取數(shù)學(xué)史，從畢達(dá)哥拉斯到希帕索斯，從數(shù)字的擴(kuò)充到運(yùn)算的發(fā)展，在互逆運(yùn)算的情境中，架設(shè)本節(jié)課的研究方向與方法.

觀摩時發(fā)現(xiàn)B選手設(shè)計的釘板游戲，學(xué)生用皮筋圈出的正方形，邊長均為整數(shù)，沒能達(dá)成預(yù)期，在教師不斷引導(dǎo)和示范下，才圈出面積為8的正方形. 因?yàn)閷W(xué)生基于慣性思維，更愿意尋找整數(shù)邊長的正方形，由此看出教師沒有理性評估學(xué)情. 教師可以將活動分兩步走，第一步讓學(xué)生用皮筋在釘板上圈正方形，若發(fā)現(xiàn)有學(xué)生圈出了面積為8的正方形，則達(dá)成預(yù)設(shè)；若沒能圈出面積為8的正方形，則可實(shí)施第二步，設(shè)置挑戰(zhàn)性問題：你能用皮筋圈出面積為8的正方形嗎？若能，請圈出圖形；若不能，請說明理由. 在挑戰(zhàn)性任務(wù)的驅(qū)動下，創(chuàng)設(shè)新的矛盾，構(gòu)建認(rèn)知沖突場，為學(xué)生吸取認(rèn)知原動力做準(zhǔn)備.

（2）有思維量的問題是關(guān)鍵.

數(shù)學(xué)教學(xué)活動，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維［2］. 有思維量的問題，是調(diào)動學(xué)生興趣、積極性、數(shù)學(xué)思考、創(chuàng)造性思維的催生劑. 有思維量的問題，首先要有思考域，讓學(xué)生有思考的空間，能發(fā)現(xiàn)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新概念之間的矛盾，這是吸取認(rèn)知原動力的根源；其次要有明確的指向，能引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷思辨過程，層層剖析化歸問題，抽象概念元素，讓學(xué)生真正參與，成為學(xué)習(xí)的主人. 上述課例，A選手給出的問題是“你會求這塊直角三角形的斜邊長嗎”，B選手給出的問題是“求x是多少，對不對”. 這兩個問題均值得商榷，如果學(xué)生從問題的指向來回答，那么最佳答案分別是“會或不會”和“對或錯”. 這顯然不是教師所期待的，其根源是教師的設(shè)問缺少思維量和指向性，引發(fā)不了學(xué)生的真思考. 若改為“怎樣求這塊直角三角形的斜邊長”和“怎樣求x”，則指向性和思考域都有本質(zhì)的改變. B選手“將這樣的兩個三角形組合在一起，可組成面積是49的正方形”的描述也欠準(zhǔn)確，沒能講明兩個三角形的組合方式，不夠嚴(yán)密.

吸取認(rèn)知動力，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)

1. 教學(xué)片段

師：研究生活問題，已知一塊正方形木板的邊長是2 m，則這塊正方形木板的面積是多少？

生（齊）：因?yàn)?2=4，所以正方形木板的面積是4 m2.

師：研究數(shù)學(xué)問題，計算32=_____，0.62=_____，

2=_____.

生1：運(yùn)算結(jié)果分別是9，0.36，.

師：上述式子，有什么共同特征？

生1：已知底數(shù)和指數(shù)2，根據(jù)乘方定義求冪.

師：用符號語言表示，在a2=x中，已知底數(shù)a和指數(shù)2，求冪x.

師：我們來逆向思考，一個正方形木板的面積是4 m2，則這塊正方形木板的邊長是多少米？

生2：設(shè)邊長為x，則x2=4. 因?yàn)?2=4，所以正方形木板的邊長是2 m.

師：如果面積改為100 m2呢？

生2：設(shè)邊長為x，則x2=100. 因?yàn)?02=100，所以正方形木板的邊長是10 m.

教師出示如圖7的問題.

師：你能算出圖中AB，A′B′的長嗎？

生3：設(shè)AB的長為x，依據(jù)勾股定理得x2=25. 因?yàn)?2=25，AB的長是5.

師：A′B′呢？

生3：設(shè)A′B′的長為x，依據(jù)勾股定理得x2=41，但我沒求出x的值.

師：我們先得到等式x2=41，請同學(xué)們觀察，x2=4，x2=100，x2=25，x2=41，這幾個式子有何共同特征？

生（齊）：都是已知乘方的結(jié)果和指數(shù)2，求底數(shù).

師：用符號語言表示，在x2=a中，已知冪a和指數(shù)2，求底數(shù)x. 觀察x2=a，你能提出問題嗎？

學(xué)生獨(dú)立思考后，小組討論，隨后提出問題.

生4：如何求x？x的值是否唯一？

生5：a的取值范圍有哪些限制？

生6：若x3=a，如何求x？

生7：已知冪和底數(shù)，能否求指數(shù)？

師：我們先來研究如何求x2=a，可以賦予a一個具體的數(shù)值.

教師出示：x2=4，x2=8，x2=2，x2=0，x2=，組織學(xué)生依次求解.

生8：因?yàn)椋ā?）2=4，所以x=±2.

生9：x2=8無法求解.

師：暫時先放一放.

生9：x2=2也無法求解，暫時放一放.

生8：因?yàn)?2=0，所以x=0.

生9：因?yàn)?/p>

±2=，所以x=±.

師：前面的例子，避免了a<0的情況，你能不能舉一個a的值小于0的例子？

生10：x2=-4，因?yàn)橐粋€數(shù)平方后結(jié)果為非負(fù)數(shù)，所以無法求解x2=-4.

師：x2=a，a要加取值范圍，即a≥0. 上面為什么能非常輕松地求出x的值？只要想誰的平方等于a即可. 這就是我們今天要學(xué)習(xí)的平方根，什么是平方根？

學(xué)生嘗試歸納平方根的概念.

2. 教學(xué)思考

（1）在認(rèn)知原動力的驅(qū)動下回歸數(shù)學(xué)本質(zhì).

數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)并不等同于數(shù)學(xué)教科書的定義或性質(zhì)、定理的描述. 后者只是刻畫了數(shù)學(xué)對象或?qū)ο箝g關(guān)系的形態(tài)，回答了“是什么”的問題，但是，對本質(zhì)的思考卻關(guān)乎它從哪里來、如何發(fā)展以及如何運(yùn)用這三大問題，即包含對知識來源、發(fā)展以及應(yīng)用的理解［3］. 上述課例，教師建立生活與數(shù)學(xué)、互逆關(guān)系的雙研究框架，基于學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新概念的矛盾，遞進(jìn)式地設(shè)計了問題串. 學(xué)生在問題驅(qū)動下吸取認(rèn)知原動力，連續(xù)經(jīng)歷問題的生成與解決，在此過程中，自然地感受到平方根源于平方運(yùn)算，建立起平方和開平方間的互逆關(guān)系. 在求取部分?jǐn)?shù)的平方根后，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)所給數(shù)字均為正數(shù)或0，在認(rèn)知原動力的驅(qū)動下，學(xué)生思維的觸角自然觸及負(fù)數(shù)，形成負(fù)數(shù)是否有平方根的新問題，至此平方根的概念已呼之欲出，并為探究性質(zhì)奠定了基礎(chǔ). 這樣的教學(xué)過程溯清了知識來源，理順了發(fā)展序列，選用了實(shí)際問題，在認(rèn)知原動力的驅(qū)動下，使概念教學(xué)回歸于數(shù)學(xué)本質(zhì).

（2）在基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的探究中發(fā)展核心素養(yǎng).

從認(rèn)知沖突場吸取的原動力，能續(xù)航學(xué)生探究深層次問題的能量；數(shù)學(xué)本質(zhì)的結(jié)構(gòu)，能進(jìn)一步拓展學(xué)生的思維空間. 上述課例，教師在得出“在a2=x中，已知底數(shù)a和指數(shù)2，求冪x”和“在x2=a中，已知冪a和指數(shù)2，求底數(shù)x”的結(jié)論后，設(shè)置了“觀察x2=a，你能提出什么問題”的探究活動. 學(xué)生在認(rèn)知原動力的驅(qū)動下，基于數(shù)學(xué)本質(zhì)，提出了“如何求x”“x的值是否唯一”“a的取值范圍有哪些限制”“若x3=a，如何求x”“已知冪和底數(shù)，能否求指數(shù)”等問題. 這些問題是知識發(fā)展的延續(xù)，是推動學(xué)生深入研究開方運(yùn)算的動力，涵蓋了本課及后續(xù)知識，尤其是問題“已知冪和底數(shù)，能否求指數(shù)”直指高中數(shù)學(xué)，閃現(xiàn)出思維的火花. 教師借助從生活到數(shù)學(xué)的實(shí)例，呈現(xiàn)互逆關(guān)系的板書，為學(xué)生提供了可用數(shù)學(xué)的眼光觀察“世界”；通過回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考“世界”；設(shè)計開放性問題，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)“世界”，在建構(gòu)新概念的活動中發(fā)展了學(xué)生以“三會”為代表的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

再起認(rèn)知沖突，引入運(yùn)算符號

1. 教學(xué)片段

（1）A選手：沖突催生需要，引入運(yùn)算符號.

師：當(dāng)x2=2，有沒有哪個有理數(shù)的平方等于2？

學(xué)生靜思，回復(fù)沒能找到對應(yīng)的有理數(shù).

師：七年級時，我們已接觸了這個數(shù).

投影出示教材，回顧用逼近法求的過程.

師：我制作了一個特殊的計算器，我們來計算2的正平方根.

教師演示，學(xué)生觀察，有學(xué)生小聲提到無理數(shù).

師：當(dāng)a不是一個有理數(shù)的平方時，x是否存在，它是什么？

學(xué)生靜思.

師：能否用已有的知識準(zhǔn)確表述？

生（齊）：不能.

師：當(dāng)原有的知識已解決不了，需要新運(yùn)算，因此規(guī)定了新的運(yùn)算符號“”. 課堂一小步，人類兩千年，下面我們一起領(lǐng)略根號的書寫史.

教師播放小視頻，介紹根號書寫演變史，隨后示范書寫.

（2）B選手：經(jīng)歷體驗(yàn)活動，引入運(yùn)算符號.

師：我們回到最初的問題x2=8，如何表示x？接下來，我們繼續(xù)學(xué)習(xí)如何表示.

出示閱讀材料，組織學(xué)生閱讀文字提取信息.

師：請同學(xué)們設(shè)計符號來表示平方根，可以從圖形的角度，也可從首字母的角度.

學(xué)生自主設(shè)計，隨后小組交流.

師：請小數(shù)學(xué)家上臺展示所設(shè)計的符號.

生1：我從數(shù)的角度設(shè)計，因?yàn)槠椒竭\(yùn)算的形式為22，從逆運(yùn)算的角度考慮，設(shè)計符號2 .

生2：我從圖形的角度設(shè)計“2F”，表示2的平方根.

……

師：同學(xué)們的設(shè)計很有創(chuàng)意，根號的書寫，歷經(jīng)兩千年的發(fā)展過程，請同學(xué)們觀看小視頻.

教師播放小視頻，介紹根號書寫的演變史，隨后示范書寫.

2. 教學(xué)思考

（1）粹取數(shù)學(xué)史，模擬知識產(chǎn)生的情境.

教學(xué)中引入數(shù)學(xué)史有助于學(xué)生對概念的理解，創(chuàng)設(shè)與某一歷史片段高度吻合的情境，讓學(xué)生感受迫于認(rèn)知沖突而產(chǎn)生對新符號的需求，體驗(yàn)符號產(chǎn)生的必要性. 上述課例中，A選手用計算器求的近似值，當(dāng)一串龐雜的數(shù)字出現(xiàn)時，極大地沖擊了學(xué)生的視覺，學(xué)生會自然產(chǎn)生使用運(yùn)算符號的渴求，教師再順理成章地介紹“”的演變史和書寫方法，教學(xué)流程如行云流水，渾然天成.

（2）基于有效性，設(shè)計合理嚴(yán)謹(jǐn)?shù)幕顒?

學(xué)生吸取的認(rèn)知原動力，要轉(zhuǎn)化為激發(fā)思考的驅(qū)動力、回歸本質(zhì)的活力、建構(gòu)概念的合力，要為學(xué)生營造認(rèn)知矛盾的沖突場，更要幫助學(xué)生跨越吸取認(rèn)知原動力的障礙. 上述課例中，B選手創(chuàng)設(shè)由學(xué)生自己設(shè)計運(yùn)算符號的情境，本質(zhì)上沒有可持續(xù)的發(fā)展延伸，缺乏有效性；學(xué)生的參與度雖高，但這是一項(xiàng)結(jié)局已定的“方案”，學(xué)生設(shè)計的運(yùn)算符號都不會被采用. 過程雖鮮活，但結(jié)局太殘忍，缺乏合情性，無形中給學(xué)生設(shè)置了障礙. 因此，數(shù)學(xué)課應(yīng)遠(yuǎn)離無效的喧鬧，為學(xué)生營造一個可以靜思的時空.

在合理的范圍內(nèi)，矛盾越大，沖突越大，所產(chǎn)生的動力也越大. 在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要理性評估學(xué)情，最大化地創(chuàng)設(shè)有效的、合理的認(rèn)知沖突場，使學(xué)生能吸取到最強(qiáng)勁的認(rèn)知原動力，在回歸于數(shù)學(xué)本質(zhì)的探究活動中建立新概念、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］章建躍. 章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

［2］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［3］傅贏芳，喻平. 從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)設(shè)計課堂教學(xué)——基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的視域［J］. 教育理論與實(shí)踐，2019，39（20）：41-43.