陳秀海

［摘? 要］ 教材是教學(xué)的重要資源，是教師進(jìn)行教學(xué)的平臺之一，善用教材可以更好地駕馭課堂，提升課堂教學(xué)的有效性. 教材是學(xué)生的學(xué)習(xí)資源，教師在教學(xué)中挖掘數(shù)學(xué)教材內(nèi)涵，有利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)教材；學(xué)科素養(yǎng)；思維能力；創(chuàng)新

教材是教學(xué)的素材和載體，在教學(xué)使用的過程中部分教師對教材的使用存在諸多意見，對于教材的編排不理解，認(rèn)為不適合一線的教學(xué)，內(nèi)容過多或者過少……以至于在教學(xué)時使用不當(dāng)，影響了教學(xué)效果. 但事實(shí)上教學(xué)效果的不佳不能僅僅讓教材“背鍋”，因?yàn)榻滩闹皇翘峁┙o教師使用的一種教學(xué)資源，它的編排有其內(nèi)在的邏輯關(guān)系，符合普遍教學(xué)的要求，但并不是完全適用于每一個個體，因此教師需要根據(jù)自己的教學(xué)目標(biāo)和自身的理解，結(jié)合學(xué)情進(jìn)行合理的統(tǒng)籌和規(guī)劃，活用教材，才能發(fā)揮教材的最大功能.

學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)生適應(yīng)社會的必備品格，課堂教學(xué)是提升學(xué)生核心素養(yǎng)的主要陣地. 教師在課堂教學(xué)中要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)合理使用教材，通過教學(xué)活動引導(dǎo)學(xué)生理解教材的內(nèi)涵，在探究和實(shí)踐中感受知識的發(fā)生過程，創(chuàng)新思維活動，提升學(xué)生的核心素養(yǎng). 本文通過兩則初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例談一談如何活用教材以培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

探究數(shù)學(xué)結(jié)論的證明，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

證明：三角形的內(nèi)角和定理.

教師在學(xué)生已有知識的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生采用多種方法進(jìn)行證明，具體過程如下：

1. 構(gòu)造平角證明法

師：看到180°的角，同學(xué)們會想到什么角？為什么？

生（齊）：會想到平角及兩條平行線之間的同旁內(nèi)角和，因?yàn)檫@兩類角非常直觀，而且簡單易畫，能確保是180°.

師：說得非常好！說明了我們之前學(xué)過的聯(lián)想法已經(jīng)發(fā)揮作用了. 平角與直線是什么關(guān)系？它們之間有沒有什么區(qū)別？

生1：平角具有角的一般特點(diǎn)，有一個頂點(diǎn)和兩條邊，并且兩條邊落在一條直線上，但直線是沒有端點(diǎn)的.

師：我們來思考一下如何構(gòu)造一個平角呢？既然平角有唯一的頂點(diǎn)，那么我們要先將它的頂點(diǎn)確定，再把三角形的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)到這個平角上. 如何選取平角的頂點(diǎn)和構(gòu)造平角呢？請同學(xué)們講一講具體的操作和理由.

生2：三角形的頂點(diǎn)位置特殊，因此我選取三角形的頂點(diǎn)A，過頂點(diǎn)A作直線DE與BC平行，進(jìn)行角的等量轉(zhuǎn)換.

師：很好，那么過頂點(diǎn)A作幾條直線與邊BC平行呢？說一說你為什么這么做.

生2：根據(jù)平行線定理應(yīng)該是作唯一的一條平行直線.

師：好的，那么過點(diǎn)A作直線DE與BC平行，可以證明三角形內(nèi)角和的定理嗎？為什么？

生2：可以. 如圖1，過點(diǎn)A作直線DE與BC平行，因?yàn)镈E與BC平行，所以∠1與∠C相等，∠3與∠B相等，∠2與∠BAC相等，這樣∠1，∠2，∠3就構(gòu)成了一個平角.

師：回答得太精彩了！那請你來給大家進(jìn)行一次規(guī)范的證明. （學(xué)生敘述，教師板書，再次強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)語言的規(guī)范使用. ）

師：請問如何過點(diǎn)A在三角形的邊上構(gòu)造一個平角呢？

生2：可以將BA延長到點(diǎn)E，這樣得到平角∠BAE，如圖2.

師：你能證明你的結(jié)論嗎？

生2：可以，證明的方法和上一題類似，只要將BA延長到點(diǎn)E，過點(diǎn)A作直線AD與BC平行……（教師展示規(guī)范的證明過程，總結(jié)提醒）

師：上述方法是先在三角形頂點(diǎn)處選取平角的頂點(diǎn)，但一定要這么做嗎？能不能弱化這個條件呢？

生3：可以把平角的頂點(diǎn)選在三角形邊上，這就和平角的形狀非常相似了，也可以將平角的頂點(diǎn)選在三角形的內(nèi)部或者外部.

師：說得太好了，看來同學(xué)們對于數(shù)學(xué)的分類討論思想掌握得非常好. 我們怎樣才能解決上述的構(gòu)造思路呢？

生4：我們可以采用類似于上面的解題思路. 如圖3，在AB的邊上取一點(diǎn)D，作DE與BC平行，與AC相交于點(diǎn)E，作DF與AC平行，與BC相交于點(diǎn)F，通過平行線的性質(zhì)可以得到∠1，∠4和∠C相等，∠2與∠A相等，∠3與∠B相等，由此證明∠A，∠B與∠C的和等于180°.

師：回答得非常精彩！下面我們看一下規(guī)范的證明過程（課件展示）. 如果將平角的頂點(diǎn)取在△ABC的內(nèi)部或者外部，那么我們該如何證明呢？

學(xué)生陷入了沉思.

師：看來這個問題對同學(xué)們來說有一點(diǎn)難度. 請大家設(shè)想一下，當(dāng)平角的頂點(diǎn)取在三角形的內(nèi)外部時，我們可以過這個點(diǎn)作平行于邊的幾條直線？能否將三角形的內(nèi)角與平角的頂點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)換？這樣問題是不是能迎刃而解？

（觀察到有學(xué)生似乎有答案，教師請他進(jìn)行回答）

生5：我覺得可以作這樣幾條平行線，過點(diǎn)O作直線DE與BC平行，作直線FG與AC平行，作直線MN與AB平行. （學(xué)生有些興奮又有些猶豫）

師：我們來看一下課件，如圖4或圖5，過點(diǎn)O作直線DE與BC平行，作直線FG與AC平行，作直線MN與AB平行，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到∠1，∠4和∠C相等，∠2，∠6與∠A相等，∠3，∠5與∠B相等，由此證明∠A，∠B與∠C的和等于180°.

2. 構(gòu)造兩條平行線之間的同旁內(nèi)角的證明方法

師：剛才我們用到的證明方法都是采用選擇一個點(diǎn)，過該點(diǎn)作三角形邊的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)將三角形的內(nèi)角進(jìn)行轉(zhuǎn)換. 有沒有其他的構(gòu)造方法呢？比如平行線還能產(chǎn)生其他類型的角嗎？能否通過類比的方法證明？（教師給予適當(dāng)?shù)奶崾荆?/p>

生6：我們可以通過平行線中同旁內(nèi)角和為180°的性質(zhì)來構(gòu)造. 如圖6，過點(diǎn)A作直線AD與BC平行，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到∠1與∠C相等，∠1，∠2與∠B的和為180°，因?yàn)椤?與∠BAC相等，所以三角形中∠A，∠B和∠C的和為180°.

師：說得太好了！通過這個探究方法，我們發(fā)現(xiàn)這種證明方法更加簡便和精辟. 我們設(shè)想一下能分別過三個頂點(diǎn)作平行直線進(jìn)行構(gòu)造和類比證明嗎？

生7：可以證明. 如圖7，分別過點(diǎn)A，B，C作直線AD，BF，使其和CE互相平行. 根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到∠1和∠3相等，∠2和∠4相等，∠4，∠5，∠6和∠3的和為180°. 因?yàn)椤?與∠ABC相等，∠6和∠ACB相等，∠3與∠4的和與∠BAC相等，所以三角形的內(nèi)角和為180°.

師：精彩！通過剛才的探究，我們從兩個角度探索得到定理的七種證明方法，其中，同學(xué)們覺得哪種方法最為精辟呢？

生（異口同聲）：第六種.

師：是的，所以在解題過程中我們要多多動腦，敢于創(chuàng)新，從多個角度思考問題，探尋最佳的解題途徑.

3. 教學(xué)反思

本例以問題為導(dǎo)向，通過精妙的問題引領(lǐng)激發(fā)學(xué)生的探究興趣，點(diǎn)燃學(xué)生思維的火花，尋找學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，通過層層遞進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣的問題，進(jìn)行一步一步的證明. 在證明中，學(xué)生鍛煉了邏輯推理能力，提高了課堂學(xué)習(xí)效率. 本案例探討了七種證明三角形內(nèi)角和為180°的方法，先作輔助線，再構(gòu)造平角或平行線，最后進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換從而證明定理，這對于學(xué)生的思維是一種挑戰(zhàn)，它打破了教材的束縛，可以說是通過靈活使用教材提升學(xué)生核心素養(yǎng)的典范. 對于這七種證明方法，教師并不要求學(xué)生全部掌握，而是重點(diǎn)掌握構(gòu)造的方法和思考的角度，這樣設(shè)計(jì)的目的是在探究過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，使學(xué)生掌握探究的方法，為以后的長期學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 進(jìn)行一題多解的探究可以關(guān)注到不同層次的學(xué)生，讓學(xué)習(xí)程度較好的學(xué)生能更加深入地理解數(shù)學(xué)探究的方法和思路，同時學(xué)習(xí)能力稍弱的學(xué)生也能選擇較為簡捷的證明方法，同樣獲得解題的動力.

探究多邊形的概念教學(xué)，形成嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的科學(xué)精神

數(shù)學(xué)概念具有抽象、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶卣鳎诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中會遇到很多的數(shù)學(xué)概念和定義. 如何讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)？筆者進(jìn)行了一些探究：

1. 探究平面多邊形的數(shù)學(xué)概念

師：（在學(xué)生閱讀教材的基礎(chǔ)上提出問題）我們看到過這樣定義多邊形：在平面內(nèi)，一些首尾相連的線段組成的封閉圖形叫作多邊形. 你覺得這樣的定義準(zhǔn)確嗎？為什么？

學(xué)生思考，小組合作交流討論，各抒己見.

生1：我覺得對的，因?yàn)楹芏鄷隙际沁@樣寫的.

生2：我覺得有問題，因?yàn)榧热焕蠋熖岢鰜砹?，那肯定是值得商榷?

生3：我覺得是對的，因?yàn)檫@個定義比三角形定義多了一個條件“在平面內(nèi)”.

生4：我覺得是不對的，因?yàn)槲覀冏屑?xì)看三角形的定義，這個概念里面少了兩個條件，“不共直線”和“n條”.

生5：這是錯誤的，因?yàn)檫@樣的定義不能保證一定是多邊形，還可以有很多奇怪的圖形.

生6：這是不對的，我們可以用反證法進(jìn)行證明，按照這個定義，我們可以畫出圖8和圖9這樣的圖形，這兩個圖形和書本上的不同.

（學(xué)生各抒己見，教師先不進(jìn)行評論. 學(xué)生發(fā)表意見之后，教師進(jìn)行評價，指出學(xué)生的問題并且肯定已經(jīng)有學(xué)生學(xué)會了判斷定義是否完善的方法，接著提出問題）

師：請同學(xué)們思考一下“在平面內(nèi)”這個條件的重要性.

生7：我們可以在紙上畫一個四邊形，如果把這個四邊形沿對角線進(jìn)行對折，得到的線段也是滿足剛才的定義的，但是這不是我們所指的四邊形. （學(xué)生一邊操作，一邊解說）

師：說得非常好！這是一種反證的方法. 為什么不是所有圖形的定義都強(qiáng)調(diào)在平面內(nèi)呢？比如三角形為什么就沒有強(qiáng)調(diào)在平面內(nèi). （教師提示不共線的三點(diǎn)確定一個平面，但是不做深入的探究）如果這個概念中少了“不共直線”這個條件可以嗎？

生8：我覺得不行，如果與三角形的定義進(jìn)行類比，就會發(fā)現(xiàn)少了這個條件，這些線段有可能成為一條線段.

師：回答得很好！同樣采用反證法證明這個條件是不能省去的，因此我們應(yīng)把“不共直線”這個條件加上去. 對于缺少了“n條”這個條件，你們有沒有什么想法呢？

生9：“n條”就是將多邊形的邊數(shù)進(jìn)行了具體的限制.

師：剛才有同學(xué)提出，會有其他的一些奇怪的多邊形，是怎樣奇怪的多邊形呢？

生10：會出現(xiàn)圖8的五角星圖形或圖9的凹四邊形.

師：回答得很直觀，通過直接畫出圖形我們就可以找出這個定義中的破綻，所以作圖能力在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中非常重要. 我們觀察圖8，五角星的邊有什么特征？

生11：它的邊會出現(xiàn)相交的現(xiàn)象.

師：你觀察得非常仔細(xì)而且善于總結(jié)，值得表揚(yáng)，對這個問題我們暫不做研究. 我們先把“且不相交”這個條件補(bǔ)上.

如圖10，我們補(bǔ)充完善的定義是這樣的，把在同一個平面內(nèi)不共直線的n條線段首尾順次相接且不相交組成的封閉圖形稱作平面多邊形AAA…A（n∈Z+，n≥3）. 目前我們暫時不涉及內(nèi)凹的多邊形，以后會繼續(xù)學(xué)習(xí)凹凸多邊形的定義. 如果沒有特別說明，我們只考慮平面的凸多邊形.

2. 教學(xué)反思

概念教學(xué)容易陷入枯燥乏味和強(qiáng)行記憶的誤區(qū)，本例中通過設(shè)置反問調(diào)動學(xué)生的好奇心和積極性，提出“這樣定義是為什么”“如果不這樣定義可以嗎？怎樣改動呢？這樣改的依據(jù)是什么”等問題. 這些問題能加強(qiáng)學(xué)生對概念教學(xué)的理解，并通過反證法進(jìn)行證明和增補(bǔ)條件完善學(xué)生對平面多邊形概念的理解，培養(yǎng)他們嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的精神.

以上兩個教學(xué)案例是教師靈活使用教材的典范. 在鉆研教材、理解教材的基礎(chǔ)上，教師深入貫徹課改的理念，實(shí)踐課改的思想，在教學(xué)活動中發(fā)展學(xué)生的能力. 課堂教學(xué)體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)作用，尊重了學(xué)生的主體地位，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，鼓勵學(xué)生積極思考、踴躍參與，讓他們收獲學(xué)習(xí)后的喜悅. 在教學(xué)中教師注意教學(xué)評的一致性，采用多元評價的方法和手段，讓教學(xué)方式更加豐富多樣，多角度踐行課改的精神. 同時，教師要創(chuàng)新使用教材，關(guān)注學(xué)生思維能力的發(fā)展，培養(yǎng)他們的合作交流和語言表達(dá)能力，提升他們的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

綜上所述，教無定法，教材是教學(xué)的資源. 教師在教學(xué)中要靈活使用教材，用教材教而不是教教材. 在當(dāng)前的課改浪潮中，教師還要積極開拓創(chuàng)新，轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，踐行課改精神，真正將學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實(shí)到位，引領(lǐng)學(xué)生突破思維束縛，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新發(fā)展.