李海東

摘 要：培養(yǎng)小學生的運算能力是教師的重要教學任務之一。數(shù)學語言轉換能有效幫助學生明晰運算對象、理解運算算理、掌握運算方法、發(fā)展推理能力，促進學生發(fā)展和提升數(shù)學運算能力。

關鍵詞：運算教學；運算能力；數(shù)學語言轉換

在小學數(shù)學教學中，培養(yǎng)學生的運算能力是教師的重要教學任務之一?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出：“運算能力主要是指能夠根據法則和運算律進行正確運算的能力。能夠明晰運算的對象，理解算法與算理之間的關系；能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題；能夠通過運算促進數(shù)學推理能力的發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學態(tài)度?！睌?shù)學教學也就是數(shù)學語言的教學。因此，數(shù)學運算教學離不開數(shù)學語言轉換。在有效的數(shù)學語言轉換中，學生可以明晰運算對象、理解法理關系、選擇運算策略、發(fā)展推理能力、規(guī)范思考品質……教師要引導學生正確、迅速地進行數(shù)學語言轉換，才能有效培養(yǎng)學生的運算能力，提升學生的數(shù)學運算水平。

一、閱讀中轉換，明晰運算對象

閱讀是學生用數(shù)學眼光觀察世界的有效方法之一，也是學生獲取數(shù)學信息的基礎，更是學生形成運算能力的前提。有效的數(shù)學閱讀有助于學生明晰運算對象。教師要引導學生在閱讀中了解運算信息，并在去偽存真、由表及里中準確把握運算對象的本質。有時，學生對運算對象的內涵、名稱等未必熟悉或理解。教師要鼓勵學生積極思考，努力對關鍵信息進行數(shù)學語言轉換，盡量用自己熟悉或容易理解的數(shù)學語言表述運算對象，為正確運算做好充分準備。

比如，蘇教版數(shù)學教材四年級下冊“整數(shù)四則混合運算”例1的情境圖（如圖1）。

學生仔細觀察情境圖，很容易發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學信息：買一副中國象棋要12元，買一副圍棋要15元，買了3副中國象棋和4副圍棋。問題是一共要付多少元。要求購買中國象棋和圍棋兩種棋的總費用，需要先求出買兩種棋各用多少元，再把這兩種數(shù)相加?？梢苑植搅惺?，也可以列綜合算式解決問題。這是在三年級學習兩步運算的基礎上學習的新知識。區(qū)別在于三年級只要先求一種商品的費用，這里要先求兩種商品的費用。

明晰運算對象就是要弄清題意，知道題目想干什么。能否明晰運算對象的本質是學生數(shù)學閱讀水平的重要標志，也是培養(yǎng)學生運算能力的前提條件之一。通過數(shù)學閱讀，學生可以把生活問題數(shù)學化，情境圖可以逐漸抽象為3個12元和4個15元的和是多少。明晰運算對象的過程就是把圖形語言（情境圖）轉換為文字語言的過程。這樣轉換，學生就能整體認識運算對象，弄清題意，把握知識本質。準確進行數(shù)學語言轉換，為學生有效地理解運算對象奠定了基礎。

二、探究中轉換，理解算理與算法關系

引導學生理解算理、掌握算法是培養(yǎng)學生運算能力的關鍵：算法能幫助學生解決“怎樣算”的問題，算理能幫助學生解決“為什么要這樣算”的問題。算理和算法都需要學生在運算教學過程中獨立探究和自主發(fā)現(xiàn)。蘇教版小學數(shù)學教材一般不直接揭示運算方法，而是通過一些提示語，如“在小組里說一說，乘法可以怎樣算？”，引導學生在探索和交流中逐步抽象、概括運算法則。因此，教師要“設計必要的數(shù)學活動，讓學生通過觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等，感悟知識的形成和應用?！苯洑v探究活動過程時，教師要引導學生在數(shù)學語言轉換過程中正確理解算理與算法的關系，幫助學生逐步形成運算技能。

教學蘇教版數(shù)學教材六年級上冊“分數(shù)乘法”時，教師出示例題（如圖2）。

做一朵綢花要用[310]米綢帶。

1.小芳做3朵這樣的綢花，一共用綢帶幾分之幾米？

2.小華做5朵這樣的綢花，一共用綢帶幾分之幾米？

解決問題1時，學生可以列加法算式[310]+[310]+[310]，或乘法算式[310]×3。從圖中學生可以看出3個[310]是[910]米，即[310]×3=[910]米，也可以根據加法算式求出[310]+[310]+[310]=[3+3+310]=[910]米。因此，[310]×3=[310]+[310]+[310]=[3+3+310]=[910]米。

教師追問學生：“[3+3+310]為什么等于[910]？”有的學生認為[310]+[310]+[310]=[3+3+310]=[3×310]=[910]米，有的學生認為[310]×3表示3個[110]×3就是9個[110]，也就是[910]米。學生從中不但能了解分數(shù)乘整數(shù)的算理，而且能初步感知分數(shù)乘整數(shù)的運算方法。

解決問題2時，個別學生列加法算式[310+][310+310+310+310]，多數(shù)學生列乘法算式[310]×5，并根據剛積累的經驗，類比出[310]×5=[3×510]=[1510]=[32]米，知道[310]×5表示3個[110]×5，就是15個[110]，也就是[1510]，即[32]米。學生在獨立思考和小組交流中理解了分數(shù)乘整數(shù)的算理，并歸納出運算法則——分數(shù)和整數(shù)相乘，用分子和整數(shù)相乘的積做分子，分母不變。

分數(shù)乘整數(shù)的算理和算法對學生而言都很抽象。教師要引導學生借助直觀圖理解算理、探究算法。學生把同分母分數(shù)加法的算理和算法順利遷移到分數(shù)乘整數(shù)的運算過程中，知道了[310]×3為什么可以寫成[3×310]。根據題意列式并求出結果的過程是學生把圖文結合的圖形語言（情境圖）轉換為符號語言（算式）的過程，講算理、說算法是把符號語言轉換為自然語言，最終用文字語言概括出運算法則。學生不但需要借助直觀圖經歷探索和感悟過程探究算法，而且需要根據算法進一步理解算理。在有效的數(shù)學語言轉換中，學生能主動、積極地經歷運算法則的形成過程，從而在經歷“分數(shù)乘整數(shù)”知識的“再創(chuàng)造”過程中逐漸理解算理、掌握算法，并溝通兩者之間的關系，在“法”“理”和諧中“知其然且知其所以然”。

三、理解中轉換，選擇運算策略

理解運算問題就是要弄清楚運算教學的目的和問題的本質。正確理解運算問題，學生才能確定合理的運算思路，才能選擇正確、合理、簡潔的運算策略去解決問題。運算策略的選擇決定了學生解決運算問題的過程是否高效快捷，體現(xiàn)了學生自身運算水平。如果選擇的運算策略比較簡潔，學生的運算過程就會比較簡潔，運算速度就會比較快；反之，學生的運算過程就會比較繁雜，就會事倍功半。在理解運算問題的過程中，學生需要不斷進行數(shù)學語言轉換。學生理解運算問題越深刻，數(shù)學語言轉換就越迅速，選擇的運算策略就會越簡潔、越合理。

比如，蘇教版小學數(shù)學教材五年級下冊“解決問題的策略”的例2是求[12]+[14]+[18]+[116]。很多學生會按照從左往右的順序依次通分相加，即[12]+[14]+[18]+[116]=[34]+[18]+[116]=[78]+[116]=[1516]；也有的學生會一次性通分，即[12]+[14]+[18]+[116]=[816]+[416]+[216]+[116]=[1516]。兩種運算方法無疑都是正確的，但比較麻煩，而且反映了學生沒有真正理解運算問題。因為教材的設計是希望學生通過轉化策略迅速、簡潔地解決問題。學生只有能正確理解運算問題，才有可能想到轉化的策略，才能聯(lián)想到“分數(shù)意義”中把一個圓、一個正方形或一個線段看作單位“1”的知識，才會想到用轉化的策略畫圖（如圖3）解決問題，即[12]+[14]+[18]+[116]=1-[116]=[1516]。

無論是整數(shù)、小數(shù)還是分數(shù)四則混合運算教學中，教師只有引導學生正確理解運算思路，并且關注學生的差異化運算思路，才能啟發(fā)誘導學生想到用不同的運算策略去解決相同的運算問題，才能引導學生優(yōu)化運算策略，才能提高學生的運算速度和運算能力。如果學生想不到轉化策略，教師可以引導學生思考例1中的不規(guī)則圖形是怎樣進行比較的，學生就會想到轉化策略，就會聯(lián)想到分數(shù)意義中的單位“1”。學生理解運算問題的過程要把符號語言轉換為文字語言，選擇運算策略的過程要把符號語言轉換為新的符號語言或圖形語言。通過有效轉換，學生才能正確選擇運算策略，才能使解決問題的策略更簡潔、更合理。

四、推理中轉換，形成運算品質

思維品質是學生思維的個性特征，反映了學生個體智力或思維水平的差異，主要包括思維的深刻性、思維的靈活性、思維的獨創(chuàng)性、思維的敏捷性和思維的批判性。運算能力和推理意識是小學生數(shù)學思維的主要表現(xiàn)。運算教學中的推理主要以歸納或演繹的方式存在，具有一定的嚴密性和邏輯性，這種嚴密的邏輯思維就包括分析能力、類比歸納能力、推理論證能力、抽象概括能力等。在運算教學中，教師雖然不要求學生具體說出自己是如何進行推理的，但學生說算理或運算程序的過程包含了數(shù)學推理。當然，學生在推理過程中需要不斷進行數(shù)學語言轉換。教師要恰當引導，促進學生在推理中形成良好的運算品質。

學生探究規(guī)律的過程往往要經歷歸納推理的過程。教學“加法交換律”時，教師先引導學生根據情境圖（如圖4）中的跳繩問題，列式28+17=45或17+28=45，得出28+17=17+28后，再寫出幾個類似的例子，如1+2=2+1，123+321=321+123等，再引導學生在觀察中歸納出算式中蘊含的規(guī)律——兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置和不變，也有的學生用甲數(shù)+乙數(shù)=乙數(shù)+甲數(shù)、○+□=□+○、?+◎=◎+?……表示規(guī)律，最后引導學生抽象概括出用字母表達的加法交換律——a+b=b+a。學生歸納加法交換律的過程中多次進行了數(shù)學語言轉換：分析情境圖，要把圖形語言轉換為符號語言（算式）；把算式中蘊含的規(guī)律用文字語言或符號語言表述出來，要把符號語言轉換為文字語言或新的符號語言；把規(guī)律用a+b=b+a表達，就統(tǒng)一轉換為符號語言了。引導學生迅速歸納概括規(guī)律，能有效培養(yǎng)學生的思維敏捷性；鼓勵學生用不同形式表達規(guī)律，能有效培養(yǎng)學生的思維獨創(chuàng)性……

豎式計算和簡便運算過程中蘊含了演繹推理，也是培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維品質的有效途徑。在簡便運算3.2×1.25時，只要教師能充分提供思考時間和空間，學生會出現(xiàn)很多不同的方法：用乘法分配律包括3.2×1.25=（4－0.8）×1.25=4×1.25－0.8×1.25=5-1=4或3.2×1.25=（3+0.2）×1.25=3×1.25+0.2×1.25=3.75+0.25=4；用乘法交換律和結合律包括3.2×1.25=4×0.8×1.25=（4×1.25）×0.8=5×0.8=4或3.2×1.25=0.4×8×1.25=0.4×（8×1.25）=0.4×10=4等。無論哪種方法的運算過程中都蘊含了演繹推理。用乘法交換律和結合律進行簡便運算的推理過程如下：大前提是乘法交換律和結合律，小前提是3.2=0.4×8或3.2=0.8×4，結論是3.2×1.25=（4×1.25）×0.8=5×0.8或3.2×1.25=0.4×8×1.25=0.4×（8×1.25）=0.4×10。學生在演繹推理中多次進行了數(shù)學語言轉換：遞等式是把符號語言轉換成新的符號語言，交流不同的運算思路或運算方法要把符號語言轉換為文字語言。鼓勵學生用不同方法進行簡便運算，能有效培養(yǎng)學生思維的靈活性、獨創(chuàng)性和深刻性，學生只有對運算律有深刻認識，靈活運用運算律，才能想出不同方法，甚至想到比較獨特的運算方法；鼓勵學生把自己的思路表達出來，能有效促進學生進行嚴密的推理論證，從而促進學生規(guī)范化思考問題，幫助學生養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學態(tài)度。

總之，在數(shù)學運算教學中，教師要引導學生學會“用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”，以便學生在運算中明晰運算對象，理解運算“法”“理”，選擇運算策略，形成思維品質，從而有效培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學運算能力。當然，培養(yǎng)小學生的運算能力不是一蹴而就的事，需要教師在長期的運算教學中持之以恒地進行引導，促進學生逐步養(yǎng)成從數(shù)學角度觀察現(xiàn)實世界的意識與習慣，逐步養(yǎng)成講道理、有條理的思維習慣和理性精神。有效的數(shù)學語言轉換是培養(yǎng)和發(fā)展學生運算能力的有效保障。

（作者單位：江蘇省泰興市南沙小學）

參考文獻

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