程希文

【摘? ?要】幾何直觀可以將復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，它在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要的作用。在“數(shù)與運算”“數(shù)量關(guān)系”教學(xué)中，教師應(yīng)借助幾何直觀來幫助學(xué)生認識數(shù)概念、理解算理;借助幾何直觀來表征分析數(shù)量關(guān)系和探索解決問題。

【關(guān)鍵詞】幾何直觀;圖形;數(shù)與代數(shù);教學(xué)實踐

數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象了的東西，小學(xué)生的邏輯思維能力相對較弱，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變成簡明、形象，有助于學(xué)生探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀是幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)知識，分析和解決數(shù)學(xué)問題的有效手段。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中提到“幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣”。史寧中教授指出“幾何直觀就是依托、利用圖形進行數(shù)學(xué)的思考和想象。它在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力”[1]。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。

幾何直觀可以使抽象的數(shù)學(xué)直觀化，繁難的數(shù)學(xué)問題簡潔化，有助于探索解決問題的思路和預(yù)測結(jié)果。因此，如何在“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)中適切地滲透幾何直觀，讓學(xué)生建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，利用圖表分析實際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路，這是一線教師應(yīng)該深入思考的問題。筆者在“數(shù)與運算”“數(shù)量關(guān)系”教學(xué)中，借助幾何直觀，將相對抽象的思考對象“圖形化”進行了嘗試與實踐。

一、在數(shù)的認識中滲透幾何直觀

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)研究表明，兒童獲得一個數(shù)學(xué)概念的過程是從動作表征過渡到圖像表征，最后到符號表征。然而，抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論總能找到相對直觀的表征與解釋。

（一）在認識自然數(shù)和分數(shù)時滲透幾何直觀

學(xué)生對直尺非常熟悉，在北師大版教材一年級上冊“20以內(nèi)數(shù)的認識”教學(xué)中，教師可以將直尺“抽象”為“數(shù)尺”來幫助學(xué)生理解自然數(shù)的大小與順序（如圖1）。

在“數(shù)尺”上，抽象的“數(shù)”有順序、有方向、有規(guī)律地排列，直觀、形象地表示出來。學(xué)生在讀數(shù)過程中發(fā)現(xiàn)：從左往右讀時，數(shù)尺上的數(shù)由小到大;從右往左讀時，數(shù)尺上的數(shù)由大到小;相鄰的兩數(shù)都相差1;在數(shù)尺上0是最小的數(shù);離“0”越近的數(shù)越小，離“0”越遠的數(shù)越大;最大的一位數(shù)是9，最小的兩位數(shù)是10;等等。直觀形象的“數(shù)尺”，不僅有助于幫助學(xué)生理解數(shù)的順序、大小和數(shù)列的基本規(guī)律，也有助于學(xué)生體悟到數(shù)與“位置”的一一對應(yīng)關(guān)系。

在分數(shù)的教學(xué)中，教師可以通過在同一條“數(shù)線”上呈現(xiàn)不同類型的分數(shù)來幫助學(xué)生直觀理解等值的概念，同時還發(fā)現(xiàn)“數(shù)線”上的這些分數(shù)都比0大，比1?。ㄈ鐖D2）。

（二）在認識小數(shù)和負數(shù)時滲透幾何直觀

認識“小數(shù)”時，教師可以通過數(shù)軸、百格圖等直觀模型幫助學(xué)生加深對小數(shù)意義的理解。在練習(xí)環(huán)節(jié)，可以設(shè)計以下活動：1.用小數(shù)、分數(shù)分別表示百格圖中涂色部分和空白部分的大?。ㄈ鐖D3）;2.用小數(shù)或分數(shù)表示數(shù)軸上的指定位置（如圖4）;3.在圖中用陰影部分表示出小數(shù) （如圖5）。通過數(shù)形結(jié)合的方法，可以有效地幫助學(xué)生理解、明晰抽象的數(shù)學(xué)概念，讓深度學(xué)習(xí)自然發(fā)生。

在學(xué)習(xí)“負數(shù)”時，可以通過“數(shù)軸”來促進學(xué)生對負數(shù)意義的深度理解。教師在黑板上先呈現(xiàn)數(shù)軸（如圖6），然后引導(dǎo)學(xué)生：“如果笑笑家的位置用刻度‘0來表示，笑笑從家向東走90米到達書店，可表示為+90米;那么笑笑從家向西走90米到達超市，可以表示為多少米，你能在圖上用一個點表示出超市所在的位置嗎？”

學(xué)生能很快回答出笑笑從家向西走90米可以表示為-90米，但對于在圖上用一個點來表示超市所在的位置時出現(xiàn)了不同的意見，有的學(xué)生認為這個點的位置只要是在“0”的左邊就行，有的認為不可以隨意找一個點來表示超市的位置。最后，大家通過討論達成共識：在圖上，從刻度+90到0的距離與從刻度-90到0的距離應(yīng)該完全相等。這樣，通過幾何直觀實現(xiàn)了學(xué)生對負數(shù)本質(zhì)的理解：負數(shù)與對應(yīng)的自然數(shù)在數(shù)量上相等，但表示的意義相反。

二、在數(shù)的運算中滲透幾何直觀

朱莉婭·安吉萊瑞認為，在使用符號計算的過程中，教師要鼓勵學(xué)生使用盡可能多的解釋，并且把不同表征形式聯(lián)系起來。如果意識不到這一點，計算規(guī)則就會限制學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解[2]。毋庸置疑，幾何直觀在運算教學(xué)中發(fā)揮著不可替代的作用。

（一）在整數(shù)四則運算中滲透幾何直觀

在北師大版教材一年級下冊教學(xué)“兩位數(shù)加兩位數(shù)的進位加法”時，運用直觀模型操作的方法就可以很好地幫助學(xué)生實現(xiàn)對“從個位算起”這一運算的程序的深度理解。如在計算“37+24”時，教師先讓學(xué)生操作小棒并清楚地描述計算的過程，學(xué)生通常會有兩種不同的方式，一種是先加十位再加個位，另一種是先加個位再加十位（如圖7）。

接著讓學(xué)生把自己的操作過程記錄下來，就得到了相應(yīng)的豎式（如圖8）。學(xué)生在操作、交流和記錄的過程中體悟到：計算“37+24”時，可以先加十位也可以先加個位，而先加個位的優(yōu)勢就是比先加十位在書寫時更簡潔，不需要多次調(diào)整。這樣，整個學(xué)習(xí)進程遵循了從直觀到抽象的原則。

通過研讀北師大版教材可以發(fā)現(xiàn)，直觀模型——“點子圖”始終貫穿表內(nèi)乘除法、一位數(shù)乘（除）兩位數(shù)以及兩位數(shù)乘兩位數(shù)等計算教學(xué)內(nèi)容當(dāng)中。所以，教學(xué)中教師要充分利用“點子圖”的操作性、直觀性特點，幫助學(xué)生理解算理，掌握算法（如圖9）。

（二）在分數(shù)四則運算中滲透幾何直觀

學(xué)生學(xué)習(xí)分數(shù)計算比整數(shù)計算會困難很多，原因是分數(shù)的意義較難理解，而且分數(shù)四則運算的算理復(fù)雜，不容易解釋，特別是 “分數(shù)乘法”和“分數(shù)除法”的學(xué)習(xí)。運用幾何直觀的方式展現(xiàn)探索過程，解釋算理就顯得尤為重要。如計算[34]×[23]時，可以鼓勵學(xué)生用畫圖的方式表征計算過程（如圖10）。在直觀理解算理的基礎(chǔ)上，教師再引導(dǎo)學(xué)生通過比較算式和結(jié)果數(shù)值的關(guān)系歸納出算法：兩個分數(shù)相乘，只要分子乘分子，分母乘分母就可以了;能約分的可以先約分。

分數(shù)除法對小學(xué)生來說則是更為抽象。教學(xué)中，如果僅僅讓學(xué)生記住“顛倒相乘”的算法顯然是不夠的，而要借助直觀圖形的表征幫助學(xué)生對分數(shù)除法算理的理解。如計算[47]÷2時，既可以通過包含除的方式理解算理（[47]÷2=[4÷27]=[27]）（如圖11），也可以通過均分的方式理解算理（[47]÷2=[414]=[27]）（如圖12）。計算2÷[23]時，也同樣可以讓學(xué)生在直觀中實現(xiàn)算理的深刻理解（2÷[23]=[63]÷[23]=3）（如圖13）。在借助直觀圖形理解算理的基礎(chǔ)上，教師再鼓勵學(xué)生對計算方法進行大膽猜想，并順勢引導(dǎo)學(xué)生驗證猜想的合理性進而轉(zhuǎn)向符號操作，發(fā)展學(xué)生的推理能力。

三、在解決問題中滲透幾何直觀

畫圖是解決問題的重要方法之一，運用畫圖法能使抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得簡單明了，將抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化。所以，教師要重視學(xué)生畫圖技能的培養(yǎng)，讓學(xué)生掌握一些必要的圖形工具，如線段圖、方格圖以及常見的幾何圖形等。解決問題時，教師要鼓勵學(xué)生盡量通過畫圖的方法幫助自己理解題意、分析數(shù)量關(guān)系、明確解題思路。

比如，線段圖就可以使抽象的數(shù)量關(guān)系變得形象化和直觀化。在解決下面這樣的稍復(fù)雜百分數(shù)問題時，線段圖在厘清數(shù)量關(guān)系方面的作用是顯而易見的。

2000年笑笑家食品支出總額占家庭總支出的55%，其他支出總額占家庭總支出的45%，食品支出比其他支出多620元。笑笑家的家庭總支出是多少元？

由于題目中的數(shù)據(jù)較多，而“食品支出總額”“其他支出總額”以及“家庭總支出”都是未知數(shù)，學(xué)生不容易找到解題思路。這時，借助線段圖不僅可以很好地幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，還能夠進一步明確和拓展解題思路（如圖14）。

畫出線段圖后，教師要引導(dǎo)學(xué)生借助圖形多角度審視問題，厘清各數(shù)量之間的關(guān)系。如總支出×55%=食品支出，總支出×45%=其他支出，食品支出+其他支出=總支出，食品支出-其他支出=總支出的10%，總支出×10%=620元。學(xué)生既可以列方程解答，即設(shè)總支出為x元，列出方程：55%x-45%x=620;也可以用算術(shù)方法列式：620÷（55%-45%）=6200（元）。

同樣，在解決下面這樣的問題時，“畫圖”也可以發(fā)揮重要的作用。

將一個邊長為20厘米的正方形紙，剪成4個完全一樣的小正方形紙片，每個小正方形的周長是多少？

計算每個小正方形的周長時，不少學(xué)生這樣列式：20×4÷4=20（厘米）。出錯的原因是他們想當(dāng)然地用大正方形周長平均分成4份來求小正方形的周長。學(xué)生借助幾何直觀，通過畫圖就可以變“看不見”為“看得見”，直觀地看出4個小正方形的周長與大正方形周長的關(guān)系（如圖15），正確的列式為：20÷2×4=40（厘米）。

利用圖形描述和分析問題，這里的問題不僅包括幾何以外的問題，也包括幾何問題本身，如利用圖形的運動去認識和理解幾何圖形也是幾何直觀[3]。正因為幾何直觀滲透在數(shù)學(xué)的各個方面，教師在教學(xué)中就要善于挖掘和捕捉幾何直觀的資源，恰當(dāng)?shù)剡\用幾何直觀來解釋和說明數(shù)學(xué)的內(nèi)在道理，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深度理解。當(dāng)然，學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)并不是一蹴而就的，它需要教師在各種教學(xué)細節(jié)中有意地滲透，在日常課堂教學(xué)中堅持不懈、一以貫之地培養(yǎng)。

參考文獻：

[1]史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]安吉萊瑞.如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感[M].徐文彬，譯.北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.

[3]王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2014.

（浙江省麗水市遂昌育才小學(xué)? ?323300）