鞏子坤 張希 張丹 邵漢民

【摘? ?要】結(jié)合實(shí)踐探索了基于演繹推理的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)學(xué)習(xí)路徑，即通過(guò)概念、等式的基本性質(zhì)推演分?jǐn)?shù)除法的算理。學(xué)習(xí)路徑由以下四個(gè)任務(wù)構(gòu)成：[45]÷2→[45]÷3→[45]÷c→[ab]÷c。通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生能更好地掌握分?jǐn)?shù)除法算理，該路徑具有可行性。據(jù)此提出以下建議：（1）教材編寫可以參考該路徑。（2）教學(xué)時(shí)，要凸顯演繹推理的必要性與一般性，解決“為何要演繹推理”的問(wèn)題;理清每一推理步驟的邏輯關(guān)系，解決“如何演繹推理”的問(wèn)題;注重培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力與符號(hào)意識(shí)。

【關(guān)鍵詞】演繹推理;分?jǐn)?shù)除以整數(shù);算理;學(xué)習(xí)路徑

一、引言

分?jǐn)?shù)除法是學(xué)生學(xué)習(xí)、教師教學(xué)的一大難點(diǎn)。研究表明，大部分學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)除法的算法掌握得很好[1]，卻不明白分?jǐn)?shù)除法為什么要“顛倒相乘”，即對(duì)算理的理解較為欠缺[2]。為此，很多學(xué)者展開了分?jǐn)?shù)除法算理教學(xué)的研究。Li Chen[3]認(rèn)為可以類比整數(shù)除法學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法算理，并借助直觀表征（方格圖、線段圖等）進(jìn)行說(shuō)理。但類比推理存在一定的局限性，且直觀表征存在必然缺陷?？梢?jiàn)，分?jǐn)?shù)除法算理教學(xué)的困難亟待解決。

邏輯推理一般分為演繹推理和合情推理。史寧中教授認(rèn)為數(shù)學(xué)發(fā)展主要依賴的就是邏輯推理，正是有了邏輯推理，才形成了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，邏輯推理應(yīng)當(dāng)貫穿數(shù)學(xué)教育的全過(guò)程[4]。然而，小學(xué)數(shù)學(xué)教材存在“偏重合情推理、淡化演繹推理”的現(xiàn)象，這雖然符合兒童認(rèn)識(shí)世界的基本規(guī)律，但不利于全面培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。因此，探索如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透演繹推理具有一定的理論價(jià)值，也是改善小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，提升學(xué)生核心素養(yǎng)的必然趨勢(shì)。史寧中教授認(rèn)為所有的除法與乘法都是貫通的，提出了基于演繹推理的分?jǐn)?shù)除法算理[5]，為本研究提供了依據(jù)。

學(xué)習(xí)路徑是學(xué)生對(duì)核心概念的理解由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由低級(jí)到高級(jí)的思維過(guò)程的描述，不僅能促進(jìn)學(xué)生思維水平的提升，還可以為教材修訂、教學(xué)設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)[6][7]。本研究以學(xué)習(xí)路徑為工具，旨在探索一條有利于學(xué)生理解的基于演繹推理的分?jǐn)?shù)除法學(xué)習(xí)路徑。分?jǐn)?shù)除法可分為“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”和“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”，本文主要研究“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”。

具體而言，探查以下問(wèn)題：（1）基于演繹推理的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)學(xué)習(xí)路徑是什么？（2）基于演繹推理的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)學(xué)習(xí)路徑可行嗎？

二、研究設(shè)計(jì)

（一）研究對(duì)象

本研究選取杭州市XH小學(xué)六年級(jí)甲、乙班作為實(shí)驗(yàn)班，按照本研究所設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑教學(xué);選取同一學(xué)校平行班丙、丁班作為對(duì)照班，按照教材中的分?jǐn)?shù)除法學(xué)習(xí)路徑教學(xué)。

（二）研究步驟

整個(gè)研究主要包括“預(yù)備課、初構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑A1、優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑A2”等基本步驟（如圖1）。

（三）理論支撐

1.基于演繹推理的分?jǐn)?shù)除法算理

以[15÷2]為例，將商設(shè)為“？”，得到[15÷2=]？;根據(jù)“除法是乘法的逆運(yùn)算”，得到？×2[=15];根據(jù)“等式的基本性質(zhì)”，等號(hào)兩邊同乘[12]，得到？[×2×12=15×12];根據(jù)“乘法結(jié)合律”并化簡(jiǎn)，得到？[=15×12];根據(jù)“等式的傳遞性”，得到[15÷2=15×12]。

這就是基于演繹推理，將分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法。雖然學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)演繹推理所需的知識(shí)，但他們掌握得還不夠扎實(shí)。為此，教師先在實(shí)驗(yàn)班上預(yù)備課，復(fù)習(xí)必要的前提知識(shí)。

2.表征方式

表征方式，是指通過(guò)某種類型的表達(dá)方式來(lái)說(shuō)明算理。在分?jǐn)?shù)除法教學(xué)中，有以下表征方式（如表1[8]）：

（四）問(wèn)卷及數(shù)據(jù)處理

實(shí)驗(yàn)班后測(cè)例題如下：

先計(jì)算[45÷6=]，再用推一推的方法來(lái)說(shuō)明你的計(jì)算結(jié)果是合理的。

對(duì)照班后測(cè)例題如下：

把一張紙的[45]平均分成6份，每份是這張紙的幾分之幾？用畫圖、文字解釋等方法來(lái)說(shuō)明你的計(jì)算結(jié)果是合理的。

測(cè)試后對(duì)問(wèn)卷進(jìn)行賦分，計(jì)算正確得1分，說(shuō)理正確得3分，滿分4分。

三、研究結(jié)果與分析

（一）預(yù)備課和前測(cè)

在甲、乙班教學(xué)預(yù)備課，教學(xué)后對(duì)學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，這也是整個(gè)實(shí)驗(yàn)的前測(cè)。發(fā)現(xiàn)兩班總得分率（92.22%和91.35%）較高，說(shuō)明大部分學(xué)生已掌握這些知識(shí)。對(duì)平均得分進(jìn)行獨(dú)立樣本[t]檢驗(yàn)，結(jié)果顯示，甲、乙班得分（[t]=1.859，[P]=0.069）不存在顯著性差異，這能有效減小后續(xù)研究的誤差。綜上，基于演繹推理的分?jǐn)?shù)除法教學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛟诩住⒁野嚅_展。

（二）分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的學(xué)習(xí)路徑：初構(gòu)

1.路徑呈現(xiàn)

初構(gòu)的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的學(xué)習(xí)路徑如圖2所示。

任務(wù)一借助直觀表征“畫一畫”，用被除數(shù)的分子除以除數(shù)即可解決。

任務(wù)二中被除數(shù)的分子不能被除數(shù)除盡，此時(shí)可以借助直觀表征進(jìn)行求解。與此同時(shí)，教師引入形式表征“推一推”，即演繹推理來(lái)解釋算理。

任務(wù)三符號(hào)化。當(dāng)出現(xiàn)字母[c]時(shí)，直觀表征失去優(yōu)勢(shì)，從而凸顯形式表征的優(yōu)越性。教師詢問(wèn)學(xué)生：[c]可以代表哪些數(shù)？任務(wù)三可以得到什么結(jié)論？在此過(guò)程中，學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)到字母符號(hào)具有一般性，并得到一個(gè)普適性運(yùn)算規(guī)律——[45]除以一個(gè)數(shù)等于乘上它的倒數(shù)。

2.教學(xué)效果與存在的問(wèn)題

對(duì)學(xué)生的后測(cè)錯(cuò)誤情況進(jìn)行訪談，部分訪談實(shí)錄如下（T是訪談人員，S是學(xué)生）：

T：為什么[45÷6]等于[45×16]呢？

S：因?yàn)槌砸粋€(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

T：但是這題就是讓我們解釋為什么除以一個(gè)數(shù)就是乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)呀。

（學(xué)生不大明白了）

通過(guò)對(duì)話可以看出，該學(xué)生將演繹推理的因果關(guān)系倒置，把“除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”當(dāng)成一個(gè)已知的結(jié)論，全然不知我們“推”的就是這個(gè)結(jié)論。出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象，一是因?yàn)槠綍r(shí)沒(méi)有接觸、經(jīng)歷過(guò)演繹推理的過(guò)程，二是因?yàn)閷W(xué)習(xí)路徑的設(shè)計(jì)存在問(wèn)題，未順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知順序，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)“為何演繹推理”“如何演繹推理”一知半解。

因此，初構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑A1存在以下問(wèn)題：

（1）任務(wù)二（[45÷3]）未凸顯演繹推理的必要性。學(xué)生易接受直觀表征，不明白為何要演繹推理。

（2）演繹推理步驟間的聯(lián)系性不緊密。教學(xué)中只解釋步驟，卻缺乏對(duì)這些步驟的歸納與總結(jié)。這導(dǎo)致學(xué)生不理解為什么要遵循這樣的步驟，即不明白為什么要先設(shè)未知數(shù)，再化除為乘，繼而利用等式的基本性質(zhì)化簡(jiǎn)。

3.改進(jìn)建議

（1）完善任務(wù)，凸顯為何要演繹推理。

其一：任務(wù)一和任務(wù)二只呈現(xiàn)直觀表征，任務(wù)三引入形式表征。

任務(wù)一和任務(wù)二通過(guò)畫圖說(shuō)明算理;而任務(wù)三包含字母[c]，無(wú)法畫圖，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，此時(shí)再引出“推一推”，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到演繹推理的必要性。

其二：增加任務(wù)四[ba÷c]，促使任務(wù)完全符號(hào)化。

由于[a]、[b]、[c]是任意的自然數(shù)（[a≠0， c≠0]），[ba÷c]就能代表全體的“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”。當(dāng)推理出[ba÷c=ba×1c]時(shí)，便能得到分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的普適性運(yùn)算規(guī)律，由此凸顯形式表征的一般性，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。

（2）總結(jié)推理步驟，凸顯怎樣演繹推理。

增加鞏固環(huán)節(jié)，將推理過(guò)程的步驟分別命名為設(shè)、化、消、傳（如圖3）。

（三）分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的學(xué)習(xí)路徑：優(yōu)化

1.路徑呈現(xiàn)

優(yōu)化后的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的學(xué)習(xí)路徑如圖4所示。

本節(jié)課的目標(biāo)是感悟演繹推理的必要性與一般性，解決“為何要演繹推理”的問(wèn)題;充分經(jīng)歷演繹推理的過(guò)程，解決“如何演繹推理”的問(wèn)題。優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑A2通過(guò)四個(gè)任務(wù)達(dá)成本節(jié)課的目標(biāo)（如圖4）。下文將借助部分教學(xué)片段，說(shuō)明如何落實(shí)以上目標(biāo)，其中T是授課教師，S是學(xué)生。

（1）為何要演繹推理？

T：即使無(wú)法計(jì)算任務(wù)三，也能通過(guò)前面的“例子”（如圖5）類比得到“猜想”——乘以除數(shù)的倒數(shù)。這個(gè)猜想是否正確？靠不斷地舉例來(lái)說(shuō)理可行嗎？

S：不行，需要驗(yàn)證。

T：可是，這個(gè)式子中含有字母[c]，無(wú)法畫圖了，如何驗(yàn)證？怎么能更一般地解釋顛倒相乘？今天老師教大家一個(gè)新方法——“推一推”。

教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比得到“猜想”，這是合情推理。但如何證實(shí)含有字母[c]的“猜想”，學(xué)生還難以用現(xiàn)有的知識(shí)解決。因此，教師順理成章地引入演繹推理，讓學(xué)生感悟演繹推理的必要性。此外，從帶有字母的算式入手，有利于學(xué)生感悟演繹推理的一般性。

（2）如何演繹推理？

T：不知道算式的商是多少，可以先將其設(shè)為“？”，即[45÷c=？]，這一步稱為“設(shè)”。此外，雖然我們不會(huì)計(jì)算分?jǐn)?shù)除法，但是我們會(huì)計(jì)算分?jǐn)?shù)乘法，那能否將除法化為乘法呢？

S：商乘以除數(shù)等于被除數(shù)。

T：根據(jù)“除法是乘法的逆運(yùn)算”，得到？ × c=[45]，這一步稱為“化”?，F(xiàn)在，我們想知道“？”到底是多少？但是，等式的左邊還有一個(gè)c，如何將等式左邊的c消掉呢？

S：可以用解方程的方法化簡(jiǎn)，在等式兩邊同時(shí)乘上[1c]。

T：沒(méi)錯(cuò)，根據(jù)“等式的基本性質(zhì)”，得到？×c[×1c=45×1c]。再根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法約分化簡(jiǎn)，得到？×[c×1c=45×1c]，即？[=45×1c]。這一步稱為“消”。

T：觀察上述結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)什么？

S：因?yàn)閇45÷c=？]，[？=45×1c]，所以[45÷c=45×1c]（如圖6）。

T：非常好，這一步稱為“傳”。這也就證明了“[45]除以一個(gè)整數(shù)等于乘上它的倒數(shù)”。

該環(huán)節(jié)旨在讓學(xué)生感悟、理解演繹推理的依據(jù)與方法。為達(dá)成目標(biāo)，教師通過(guò)對(duì)演繹推理過(guò)程的歸納與總結(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷演繹推理的過(guò)程，深刻理解“設(shè)、化、消、傳”的含義。

2.教學(xué)效果

對(duì)甲、乙班學(xué)生的后測(cè)平均分進(jìn)行獨(dú)立樣本[t]檢驗(yàn)，結(jié)果顯示，甲、乙班的得分（[t]=2.196，[P]<0.05）存在顯著性差異，說(shuō)明優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑A2產(chǎn)生了效果。

（四）學(xué)習(xí)路徑的整體效果

1.實(shí)驗(yàn)班、對(duì)照班后測(cè)數(shù)據(jù)分析

對(duì)“實(shí)驗(yàn)班”“對(duì)照班”學(xué)生的后測(cè)平均分進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，結(jié)果顯示，對(duì)照班、實(shí)驗(yàn)班的得分（t=2.734，P<0.05）存在顯著性差異。綜上所述，本研究設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑與教材中的學(xué)習(xí)路徑相比，更有利于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理。

2.延遲后測(cè)數(shù)據(jù)分析

延遲后測(cè)可以評(píng)估學(xué)習(xí)者初學(xué)某一內(nèi)容，在一段時(shí)間后的學(xué)習(xí)效果。研究團(tuán)隊(duì)在授課結(jié)束的兩周后，對(duì)兩個(gè)實(shí)驗(yàn)班進(jìn)行延遲后測(cè)。結(jié)果顯示，相比即時(shí)后測(cè)，甲班的延遲后測(cè)得分率降低了17.92%，乙班降低了1.76%，這說(shuō)明乙班的教學(xué)效果更具有持久性。

乙班的后測(cè)得分率均在80%及以上，說(shuō)明班級(jí)中大部分學(xué)生能理解、運(yùn)用“推一推”，這樣的結(jié)果是值得肯定的。因?yàn)檠堇[推理中蘊(yùn)含的邏輯、思路是小學(xué)生沒(méi)有系統(tǒng)訓(xùn)練過(guò)的，首次嘗試就獲得良好的數(shù)據(jù)支持，說(shuō)明了演繹推理運(yùn)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的可行性。

四、結(jié)論與建議

（一）結(jié)論

基于研究，得出以下結(jié)論：

（1）在分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的學(xué)習(xí)路徑中，要以直觀表征引入，逐漸以形式表征為主，即“直觀表征敲門，形式表征唱戲”。

（2）研究數(shù)據(jù)表明，本研究設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑具有可行性。與教材中的學(xué)習(xí)路徑相比，本研究設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑更有利于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理。

（二）建議

教材可以參考我們得到的優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑A2：以演繹推理為抓手，推演分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理，從“算法的數(shù)學(xué)”上升到“思辨的數(shù)學(xué)”;注重直觀表征與形式表征并行。

教學(xué)時(shí)，教師要遵循學(xué)生的認(rèn)知順序，凸顯演繹推理的必要性與一般性，解決“為何要演繹推理”的問(wèn)題;厘清每一推理步驟的邏輯關(guān)系，解決“如何演繹推理”的問(wèn)題;處理好從直觀表征到形式表征的過(guò)渡，培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理意識(shí)與符號(hào)意識(shí)。

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