鮑善軍 朱曙光

“一題一課”研究

所謂“一題一課”，就是教師通過聚焦一個(gè)主題或一組習(xí)題，科學(xué)、合理、有序地組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生對知識之間的關(guān)聯(lián)性理解，實(shí)現(xiàn)“學(xué)一題、透一點(diǎn)、通一類”的教學(xué)目標(biāo)。近幾年來，杭州市錢塘區(qū)鮑善軍老師領(lǐng)銜團(tuán)隊(duì)在經(jīng)歷區(qū)域調(diào)研、實(shí)踐探索后，由點(diǎn)及面，深度挖掘教材價(jià)值意義，深度推進(jìn)“一題一課”教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解走向深刻，助推學(xué)生的思維水平走向高階。本期特刊發(fā)他們的階段性研究成果，供廣大教師借鑒參考。

【摘? ?要】“一題一課”教學(xué)，深度挖掘“一題”價(jià)值意義，聚焦“求聯(lián)、求變、求用”三個(gè)維度，實(shí)施橫向關(guān)聯(lián)、縱向延伸，變換題型、開放設(shè)計(jì)，延長過程、感悟思想等策略。如此，由淺入深，推進(jìn)思維深度;由聚到散，拓寬思維廣度;由此及彼，提升思維靈活度。從“一題”推進(jìn)“一類”，讓課堂教學(xué)走向簡約，讓數(shù)學(xué)理解走向深刻，讓認(rèn)知水平走向高階。

【關(guān)鍵詞】一題一課;思維;求聯(lián);求變;求用

近年來，受“教育功利化傾向”裹挾，部分教師過度夸大“題海戰(zhàn)術(shù)”，要求學(xué)生大量訓(xùn)練各種不同題型，從而實(shí)現(xiàn)“熟能生巧”。他們采用“短”“平”“快”的方式展開教學(xué)。這樣既增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，又降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)。在此背景下，我們團(tuán)隊(duì)聚焦“一題”，深度挖掘其價(jià)值意義，積極探索“一題一課”教學(xué)，以期提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和核心素養(yǎng)。

所謂“一題一課”，是指通過對一個(gè)主題或一組習(xí)題的深入研究，科學(xué)、合理、有序地組織學(xué)生展開相關(guān)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，在“一課”中完成“一題”。借此“一題”，促進(jìn)學(xué)生對知識之間的關(guān)聯(lián)性理解，實(shí)現(xiàn)“學(xué)一題、透一點(diǎn)、通一類”的教學(xué)目標(biāo)。

一、“一題一課”的教學(xué)價(jià)值

（一）由淺入深，以“一題一課”推進(jìn)思維深度

學(xué)生的學(xué)習(xí)是不斷自我建構(gòu)、自我完善的層進(jìn)式過程。教學(xué)中，以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)，用足一個(gè)核心素材，充分挖掘其背后的價(jià)值和思想，通過由淺入深的“一題一課”學(xué)習(xí)活動(dòng)，將學(xué)生的思維逐步推向縱深，幫助學(xué)生養(yǎng)成重證據(jù)、有條理的思維品質(zhì)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考和解決現(xiàn)實(shí)世界的問題。

（二）由聚到散，以“一題一課”拓寬思維廣度

思維的條理性源于知識的結(jié)構(gòu)化。學(xué)生通過對核心知識的提煉，對內(nèi)容序列的梳理，明晰相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系和區(qū)別，并借助歸納、類比、遷移、關(guān)聯(lián)等思維方式，由聚到散，整體建構(gòu)知識體系。這樣的過程促進(jìn)學(xué)生對同一類主題學(xué)習(xí)內(nèi)容的融通，拓寬思維的廣度，將彼此割裂的內(nèi)容融進(jìn)縱橫交錯(cuò)、脈絡(luò)分明的思維結(jié)構(gòu)中。

（三）由此及彼，以“一題一課”提升思維靈活度

新知的學(xué)習(xí)常源于對舊知的正向遷移。對于一個(gè)全新問題的教學(xué)，教師往往會(huì)從學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)引入，激活其原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生通過同化或順應(yīng)兩種基本形式，在不斷地?cái)U(kuò)充、改造、調(diào)整中溝通新舊知識的聯(lián)系，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)生在一次次比較、類比、歸納、遷移等思維過程中，能自如地從一種心理運(yùn)算轉(zhuǎn)換到另一種性質(zhì)不同的心理運(yùn)算，由此及彼地?cái)U(kuò)大知識的外延，突破原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

二、“一題一課”的設(shè)計(jì)框架

實(shí)踐表明，基礎(chǔ)知識不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián);基本技能不應(yīng)求會(huì)，而應(yīng)求變;基本思想不應(yīng)求多，而應(yīng)求用?！耙活}一課”系統(tǒng)性地利用六個(gè)方面的策略、推動(dòng)三個(gè)認(rèn)知過程維度發(fā)展學(xué)生的高階思維（如圖1）。

通過橫向關(guān)聯(lián)、縱向延伸，促使學(xué)生的認(rèn)知水平從“未知混沌”走向“識記理解”;通過變換題型、開放設(shè)計(jì)，促使學(xué)生的認(rèn)知水平從“識記理解”邁入“應(yīng)用分析”;通過延長過程、體悟思想，促使學(xué)生的認(rèn)知水平從“應(yīng)用分析”躍至“評價(jià)創(chuàng)造”。教學(xué)引發(fā)學(xué)生一次次再認(rèn)識、再建構(gòu)，生成更多新問題、新發(fā)現(xiàn)、新結(jié)論，助推思維的進(jìn)階和發(fā)展。

三、“一題一課”的教學(xué)策略

“一題一課”教學(xué)聚焦“一題”，延伸“一課”，充分挖掘主題背后的價(jià)值，從“求聯(lián)、求變、求用”三個(gè)維度，實(shí)施橫向關(guān)聯(lián)、縱向延伸，變換題型、開放設(shè)計(jì)，延長過程、感悟思想等策略，讓學(xué)生的思維不斷向著高階攀升。

（一）求聯(lián)：整體建構(gòu)，認(rèn)知水平從“未知混沌”走向“識記理解”

教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)進(jìn)行分析思考，找到知識的序列和學(xué)習(xí)路徑，通過橫向關(guān)聯(lián)和縱向延伸，形成對知識的結(jié)構(gòu)性認(rèn)知，能促使學(xué)生的認(rèn)知水平從“未知混沌”走向“識記理解”。

1.橫向關(guān)聯(lián)，以點(diǎn)帶面

橫向關(guān)聯(lián)就是將與核心主題相關(guān)的知識，通過轉(zhuǎn)化、聯(lián)想、遷移等形式進(jìn)行關(guān)聯(lián)，將其本質(zhì)屬性嫁接到其他相同或相近主題的知識內(nèi)容上，實(shí)現(xiàn)“學(xué)一題，透一點(diǎn)，通一類”的教學(xué)目標(biāo)。

【案例1】“等積變形”

圖2中哪幾對三角形的面積相等？（兩條虛線互相平行）你還能畫出和三角形ABC面積相等的三角形嗎？（人教版教材五年級上冊第94頁第8題）

核心主題相關(guān)的知識是等積變形。教學(xué)中，要滲透轉(zhuǎn)化思想，引領(lǐng)學(xué)生通過等積變形解決面積問題，同時(shí)幫助學(xué)生建立幾何圖形的整體結(jié)構(gòu)意識，發(fā)展空間觀念。三角形等積變形與平行四邊形、梯形和立體圖形的等積變形有延續(xù)性關(guān)聯(lián)。因此，“等積變形”不應(yīng)局限于三角形，還應(yīng)拓展到其他幾何圖形甚至是代數(shù)領(lǐng)域（如圖3）。

在理解三角形等積變形的內(nèi)涵和變式訓(xùn)練之后，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思考：“哪里還有‘等積變形呢？”學(xué)生以點(diǎn)帶面展開聯(lián)想：等底等高的平行四邊形和梯形等積變形、平面圖形的割補(bǔ)轉(zhuǎn)化，以及代數(shù)運(yùn)算定律、立體圖形的變換等，本質(zhì)上都涉及等積變形。教師總結(jié)：“等積變形包括等面積變形、等體積變形和等乘積變形（如圖4）。前二者是形，后者是數(shù)，數(shù)與形可以互相驗(yàn)證，互相解析?！?/p>

在學(xué)習(xí)三角形的等積變形基礎(chǔ)上，教師幫助學(xué)生將思維延伸到其他幾何圖形中，發(fā)現(xiàn)幾何圖形之間的聯(lián)系，豐富等積變形的表象，拓寬學(xué)生思維的廣度。

2.縱向延伸，連點(diǎn)成鏈

縱向深入就是將問題中涉及的知識點(diǎn)，利用情境背后的線索，通過相應(yīng)的探究活動(dòng)，進(jìn)行串聯(lián)，目的是對同一主題（或同一類問題）進(jìn)行深入挖掘，將這一類問題研究通透。

【案例2】“周長與面積”

用28米長的柵欄，圍一個(gè)長方形的雞圈，怎么圍可使雞圈的面積最大？

當(dāng)長方形的周長確定時(shí)，長、寬越接近，其面積越大。核心主題的相關(guān)知識是“正多邊形周長與面積的關(guān)系”，意在滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，讓學(xué)生借助幾何直觀提升空間觀念，促使學(xué)生將面積與周長的知識融匯貫通。由此，將問題進(jìn)一步拓展到五邊形、六邊形……甚至是圓的“周長與面積的關(guān)系”（如圖5）。

整個(gè)學(xué)習(xí)過程，教師以原題為基點(diǎn)，首先讓學(xué)生進(jìn)行長方形面積和周長的復(fù)習(xí)。學(xué)生經(jīng)歷猜想、計(jì)算、觀察、探索等過程，發(fā)現(xiàn)并理解周長相等的情況下，長方形的長和寬越接近，面積越大。然后教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考：“周長一定時(shí)，還有圍成面積更大的圖形嗎？”學(xué)生意識到可以圍成正五邊形、正六邊形、圓等。學(xué)生再一次經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證、探索的過程，發(fā)現(xiàn)并理解周長相等情況下，圍成的正多邊形邊數(shù)越多，面積越大。教師滲透極限思想，學(xué)生得出圓的面積最大。

通過多邊形周長和面積的關(guān)系探尋與驗(yàn)證，學(xué)生的認(rèn)知從特殊走向一般，知識結(jié)構(gòu)從零散走向整體，問題理解從散點(diǎn)走向通透，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更具深刻性。

（二）求變：適度開放，認(rèn)知水平從“識記理解”邁入“應(yīng)用分析”

凸顯“變”，就是以一個(gè)核心問題為基點(diǎn)引入、變式、延伸，讓學(xué)生通過師生互動(dòng)、嘗試、修正，掌握一類問題的解決方法，或者通過對習(xí)題的開放設(shè)計(jì)拓寬學(xué)生的思維空間，讓他們的認(rèn)知水平從“識記理解”邁入“應(yīng)用分析”。

1.變換題型，凸顯本質(zhì)

剖析問題的核心知識與特征后將“一題”進(jìn)行變式與拓展，可以幫助學(xué)生深化知識的理解與方法的應(yīng)用。在“變中有不變”的過程中思維會(huì)變得更靈活，更有助于其掌握知識內(nèi)容的本質(zhì)，提升解決問題的能力。

【案例3】“乘積最大的秘密”

用0、1、2、3、4組成三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式積最大是多少？

核心主題的相關(guān)知識是乘法的意義。學(xué)生在探索并發(fā)現(xiàn)乘積最大的秘密的過程中，可以提升想象和推理能力，加深對乘法意義的理解。這個(gè)過程既是對長方形面積與周長關(guān)系的抽象概括，又是對乘法分配律的提前滲透（如圖6）。

第一個(gè)問題兩位數(shù)乘兩位數(shù)，重點(diǎn)要比較“41×32和42×31”的大小，可用算式拆分——因?yàn)?1×32=41×31+41，42×31=41×31+31，所以41×32>42×31，或利用圖形重疊的方法（如圖7）解決問題。學(xué)生將算式表示與圖形重疊進(jìn)行一一對應(yīng)與關(guān)聯(lián)，可以發(fā)現(xiàn)41和31分別表示多出的兩個(gè)長方形的面積。第二個(gè)問題三位數(shù)乘兩位數(shù)，重點(diǎn)要比較“521×43和52×431”的大小。有了第一個(gè)問題的探索過程，學(xué)生能遷移得到521×43=520×43+43，52×431=52×430+52，前者多了43，后者多了52，大小顯而易見。此時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步解決多位數(shù)乘多位數(shù)的問題。

學(xué)生從兩位數(shù)乘兩位數(shù)開始探究，逐步深入，拓展到多位數(shù)乘多位數(shù)，探究了乘積最大的秘密。整個(gè)探究過程，學(xué)生提升了思維的廣闊性、深刻性、靈活性。

2.開放設(shè)計(jì)，發(fā)散創(chuàng)新

將封閉性問題，通過呈現(xiàn)方式的改變、條件和問題之間的變換改編為開放性問題。讓每個(gè)學(xué)生都參與進(jìn)來，不同的學(xué)生會(huì)表現(xiàn)出不同的思維水平，提升了思維的發(fā)散性和創(chuàng)新性。

【案例4】“差等分”

姐弟倆集郵，弟弟有60枚郵票，分給姐姐10枚，他們倆的郵票就一樣多。姐姐原來有多少枚郵票？

此題是《除數(shù)是一位數(shù)的除法》的相關(guān)內(nèi)容，其核心知識是“移多補(bǔ)少”，將差平均分，使兩個(gè)量相等。教師在學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型后，對習(xí)題進(jìn)行了開放設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生通過自主變式，深化數(shù)學(xué)模型;通過自主創(chuàng)編，提高分析問題和解決問題的能力。設(shè)計(jì)后的內(nèi)容既是對除法應(yīng)用的一次拓展，也是對平均數(shù)的提前滲透（如圖8）。

建立數(shù)學(xué)模型“相差數(shù)÷2=移動(dòng)數(shù)”后，教師追問：“你能對原題進(jìn)行變化，使它成為新題目嗎？”大部分學(xué)生把“姐姐的郵票數(shù)量”作為條件，求“弟弟的郵票數(shù)量”，即原題的“問題變條件，條件變問題”。在學(xué)生改編的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生開放探究，提供條件“弟弟分給姐姐10枚郵票”，讓學(xué)生自己再創(chuàng)建一個(gè)條件和問題，重新生成一道新題目并解決（如表1）。

這樣的習(xí)題創(chuàng)編，能幫助學(xué)生在創(chuàng)編過程中掌握差等分問題的原理，靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)模型和方法解決變式問題，提升思維的靈活性、發(fā)散性、創(chuàng)新性。

（三）求用：實(shí)踐體悟，認(rèn)知水平從“應(yīng)用分析”躍至“評價(jià)創(chuàng)造”

實(shí)踐體悟包括延長體驗(yàn)過程和感悟數(shù)學(xué)思想，即設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)中積累經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想方法，認(rèn)知水平從“應(yīng)用分析”躍至“評價(jià)創(chuàng)造”。

【案例5】“點(diǎn)圖中的學(xué)問：正方形數(shù)”

本內(nèi)容聚焦正方形數(shù)，其核心知識是“以數(shù)表形”“以形驗(yàn)數(shù)”。數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀體現(xiàn)。通過本內(nèi)容滲透數(shù)形結(jié)合的思想，有助于學(xué)生拓展思維，提升幾何直觀的意識和能力。作為“數(shù)與形”的提前滲透，本內(nèi)容涉及：什么是正方形數(shù)、正方形數(shù)有什么變化規(guī)律以及正方形數(shù)之間有什么關(guān)系。

任務(wù)一：以數(shù)表形，尋找1～10中的正方形數(shù)，并用乘法算式表示正方形數(shù);任務(wù)二：以形驗(yàn)數(shù)，通過點(diǎn)圖幫助學(xué)生理解正方形數(shù)的變化規(guī)律;任務(wù)三：數(shù)形結(jié)合，猜想至少幾個(gè)相同正方形數(shù)的和是一個(gè)新的正方形數(shù)，探究正方形數(shù)之間的關(guān)系。最后，將學(xué)生的視野拓展到“其他形數(shù)”（如三角形數(shù)），激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究意識。（如圖9）

學(xué)生從“正方形數(shù)”到“其他形數(shù)”的探索過程，不僅是知識理解與應(yīng)用的過程，還是數(shù)形結(jié)合思想方法的感悟過程。從認(rèn)識概念到探索規(guī)律再到關(guān)聯(lián)溝通，他們的思維由淺入深，由聚到散，由此及彼。

“一題一課”教學(xué)通過挖掘主題材料所承載的價(jià)值意義，讓課堂教學(xué)走向簡約，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)理解走向深刻，讓認(rèn)知水平走向高階。實(shí)踐證明，“一題一課”教學(xué)對學(xué)生鏈接經(jīng)驗(yàn)、促進(jìn)思維進(jìn)階、探尋主題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維、思想方法、數(shù)學(xué)精神等具有很好的效果，值得我們持續(xù)探索。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭毓信.數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，2008.

[2]平國強(qiáng).拓展性課程的內(nèi)容價(jià)值取向與教學(xué)策略[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2017（4）.

[3]鮑善軍，朱曙光.基于SOLO分類理論的“一題一課”教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐[J]. 教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2021（11）.

（1.浙江省杭州市錢塘區(qū)教師教育學(xué)院? ?310018

2.浙江省杭州市錢塘區(qū)臨江新城實(shí)驗(yàn)學(xué)校? ?310018）