滕支香

摘 要】小學(xué)數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)是一個(gè)復(fù)雜的過程，它是學(xué)生在主動(dòng)探索的學(xué)習(xí)過程中理解和掌握的。本文結(jié)合蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”一課，在探索中理解概念、在解題中掌握方法、在應(yīng)用中拓展認(rèn)識(shí)三個(gè)方面闡述了如何在概念教學(xué)中讓學(xué)生經(jīng)歷多樣活動(dòng)，在充分親歷的過程中逐步建立并抽象出概念的本質(zhì)，幫助學(xué)生深入理解概念，以便更好地掌握數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 經(jīng)歷過程 概念理解

教學(xué)片段一：在探索中理解概念

師：你們猜測(cè)可以鋪滿邊長(zhǎng)幾分米的正方形？（如圖1）

生1：我猜測(cè)可以鋪滿邊長(zhǎng)6分米的正方形，因?yàn)?是3的倍數(shù)，而8不是3的倍數(shù)。

生2：我也猜測(cè)可以鋪滿邊長(zhǎng)6分米的正方形，但我們不僅要看正方形邊長(zhǎng)是不是瓷磚長(zhǎng)的倍數(shù)，還要看它是不是瓷磚寬的倍數(shù)。這跟我們前面研究公因數(shù)時(shí)用正方形鋪長(zhǎng)方形一樣，既要沿著水平方向鋪，還要沿著豎直方向鋪。

師：你說得非常好！那就請(qǐng)大家用研究公因數(shù)和最大公因數(shù)的經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)方法去完成驗(yàn)證和思考吧！先獨(dú)立完成，再與小組里的同學(xué)交流。

（學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視，幫助學(xué)困生并提供指導(dǎo)。等絕大多數(shù)學(xué)生完成后，再按順序組織展示與交流）

生1：我是用畫一畫的方法驗(yàn)證的：我發(fā)現(xiàn)和我猜想的一樣，能鋪滿邊長(zhǎng)6分米的正方形，但不能鋪滿邊長(zhǎng)8分米的正方形。（如圖2）

生2：我是用算一算的方法驗(yàn)證的：6除以3和2都沒有余數(shù)，所以可以正好鋪滿。而邊長(zhǎng)8分米的，8除以2能除盡，但8除以3除不盡，所以不能正好鋪滿邊長(zhǎng)8分米的正方形?？磥泶_實(shí)長(zhǎng)和寬都要考慮。（如圖2）

師：這是他們的意見，其他同學(xué)呢？在這個(gè)過程中，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：能正好鋪滿邊長(zhǎng)6分米的正方形。因?yàn)?既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)。

生2：不能鋪滿8分米的正方形。因?yàn)?只是2的倍數(shù)，而不是3的倍數(shù)。

師：用這張紙還能正好鋪滿邊長(zhǎng)是多少分米的正方形？

生1：還能鋪滿邊長(zhǎng)是12分米、18分米的正方形。

生2：還能鋪滿邊長(zhǎng)是24分米的正方形。

師：這樣的正方形說得完嗎？

生：說不完，只要正方形的邊長(zhǎng)既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)就可以。

師：是的，這里的6、12、18、24……既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，它們都是2和3的公倍數(shù)。（板書：2和3的公倍數(shù)：6，12，18，24……）

師：知道2和3的最小公倍數(shù)是多少嗎？

生（齊答）：6。

師：我們可以用中括號(hào)表示最小公倍數(shù)，2和3的最小公倍數(shù)是6，可以表示為[2，3]=6。兩個(gè)數(shù)有最大公倍數(shù)嗎？為什么？

生：沒有，因?yàn)槿魏螖?shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)自然也是無限的，所以兩個(gè)數(shù)沒有最大公倍數(shù)。

師：10是2和3的公倍數(shù)嗎？為什么？

生：不是，因?yàn)?0只是2的倍數(shù)，而不是3的倍數(shù)。

師（小結(jié)）：看來公倍數(shù)，就是兩個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)。（板書：公有的）其中最小的就是最小公倍數(shù)，沒有最大的，所以寫公倍數(shù)時(shí)需要用省略號(hào)表示。那如何找兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)呢？

【教學(xué)思考】創(chuàng)設(shè)情境后，教師先引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系已有經(jīng)驗(yàn)，做出猜測(cè)，再在“學(xué)習(xí)單”的引領(lǐng)下，自主用畫一畫、算一算的方法進(jìn)行驗(yàn)證，并進(jìn)一步思考與交流其中隱含的規(guī)律，從而自主完成公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的概念和意義的建構(gòu)。這樣遷移的目的是引導(dǎo)學(xué)生自覺實(shí)現(xiàn)由探究找公因數(shù)和最大公因數(shù)的方法向探究找公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的方法的遷移，積累實(shí)踐和思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力。事實(shí)也證明，這樣的活動(dòng)設(shè)計(jì)更契合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，能很好地激發(fā)他們參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的積極性和主動(dòng)性，使他們真正做到全身心投入，卓有成效地展開操作、思考與表達(dá)，在正確理解概念的同時(shí)，獲得思維品質(zhì)的提升。總之，本環(huán)節(jié)由操作中產(chǎn)生的問題經(jīng)由數(shù)學(xué)角度的分析，提煉出“公倍數(shù)”這一概念，讓學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)實(shí)實(shí)在在的數(shù)學(xué)化的過程。這一過程不僅讓學(xué)生知道了一個(gè)新的概念，還讓他們體會(huì)了如何用數(shù)學(xué)的眼光來觀察、分析生活現(xiàn)象，從而獲得了寶貴的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

教學(xué)片段二：在解題中掌握方法

（生在學(xué)習(xí)單上完成圖3題目）

（師巡視后挑選三種不同的方法讓學(xué)生上臺(tái)展示）

生1：分別列舉出6和9的倍數(shù)，然后圈出6和9的公倍數(shù)。

生2：先列舉出6的倍數(shù)，再從6的倍數(shù)中圈出9的倍數(shù)，這樣的數(shù)就是6和9的公倍數(shù)。

生3：先列舉出9的倍數(shù)，再從9的倍數(shù)中圈出6的倍數(shù)，這樣的數(shù)就是6和9的公倍數(shù)。

師：我們來對(duì)比這三種方法有沒有共同之處？比較一下，你更喜歡哪種方法？并說說你的理由。

生：方法2和方法3都只寫了一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，這樣既簡(jiǎn)單又節(jié)省時(shí)間。

師：大家同意嗎？那我們來場(chǎng)比賽吧：小組PK找2和7的公倍數(shù)。時(shí)間30秒，一、二組用方法2，三、四組用方法3，準(zhǔn)備好了嗎？開始。

師：停！哎，怎么三、四組速度快呢？（展示兩種方法）

（生1未完成作業(yè)）

生2：7的倍數(shù)有7、14、21、28、35、42、49……

師（將兩份作業(yè)進(jìn)行對(duì)比）：為什么快？

生：我們看7的倍數(shù)里，每?jī)蓚€(gè)里面就有一個(gè)2的倍數(shù)，而2的倍數(shù)中，要隔好幾個(gè)才有7的倍數(shù)，所以三、四組快。

師：那我們要想既快又準(zhǔn)地找出兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，你覺得要注意什么呢？

生：我覺得可以先寫出大數(shù)的倍數(shù)，再從里面圈出它們的公倍數(shù)，這樣既快又準(zhǔn)。

師：這種方法就叫“大數(shù)翻倍法”。（板書）

師：我們已經(jīng)找到三組數(shù)的公倍數(shù)，觀察一下，每組數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)有什么關(guān)系？

生：我發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)都是最小倍數(shù)的1倍、2倍、3倍……（師在黑板上畫）

師：那么找兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的關(guān)鍵是什么？（最小公倍數(shù)）

師：我們?cè)趯W(xué)習(xí)最大公因數(shù)時(shí)，認(rèn)識(shí)了韋恩圖（集合圖），同樣的，6和9的倍數(shù)也可以用韋恩圖來表示，大家嘗試填在學(xué)習(xí)單上，并說說你的理由。

師（強(qiáng)調(diào)）：中間重疊的是什么？

生：公倍數(shù)。

師：找兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)時(shí)，要注意什么？

生：兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)和倍數(shù)一樣都是無限的，最后都不要忘了省略號(hào)。

【教學(xué)思考】本環(huán)節(jié)繼續(xù)探究找兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的方法，開展了四個(gè)層次的交流活動(dòng)。①方法的多樣性。學(xué)生基于已有的經(jīng)驗(yàn)，在解決問題時(shí)自然聯(lián)想到找兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)的方法，這既有利于他們實(shí)現(xiàn)方法的遷移，又能深刻感受到一一列舉策略的作用和價(jià)值。②方法的異中求同。通過比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)無論用哪種方法，都是在兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)中找到它們的公倍數(shù)。特別是用集合圖表示兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的方法，不但可以幫助學(xué)生厘清概念的內(nèi)涵和外延，還可以讓他們深刻感受幾何直觀的意義與價(jià)值。③方法的求同存異。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們既要尊重學(xué)生的獨(dú)特思維，又要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)方法的多樣化。但是關(guān)注方法的多樣化并不意味著不需要方法的優(yōu)化。在學(xué)生呈現(xiàn)出三種方法后，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生將這三種方法進(jìn)行對(duì)比辨析，既要找出這些方法的共性，同時(shí)還要挖掘每種方法的獨(dú)特性。在上面的教學(xué)片段中，為了讓學(xué)生感悟“大數(shù)翻倍法”的優(yōu)越性，引導(dǎo)學(xué)生親歷“求同存異”的過程，不斷優(yōu)化方法，完善學(xué)生認(rèn)知。學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)“求同”：都是采用“先列舉，再圈找”的策略。再引導(dǎo)學(xué)生“求異”：“盡管思路相同，但方法還是會(huì)有差異的，對(duì)比一下，你喜歡哪種方法呢？”在對(duì)比中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了方法2和方法3較簡(jiǎn)單，但是學(xué)生對(duì)方法2和方法3之間的區(qū)別無法理解，筆者沒有生硬地把自己的認(rèn)知強(qiáng)加給學(xué)生，而是適時(shí)巧妙地創(chuàng)設(shè)了問題情境：“既然大家都認(rèn)為方法2和方法3比方法1簡(jiǎn)單，那來場(chǎng)比賽吧：小組PK找2和7的公倍數(shù)，時(shí)間30秒，一、二組用方法2，三、四組用方法3?！痹谶@么短的時(shí)間內(nèi)，筆者預(yù)設(shè)到先寫2的倍數(shù)的學(xué)生可能來不及完成任務(wù)，課堂上也確實(shí)如此。此時(shí)學(xué)生明顯感受到：“7的倍數(shù)里每?jī)蓚€(gè)里面就有一個(gè)2的倍數(shù)，而在2的倍數(shù)中，要隔好幾個(gè)才能找到7的倍數(shù)?！边@個(gè)過程自然而然地引出了“大數(shù)翻倍法”，實(shí)現(xiàn)了方法最優(yōu)化。所以說，教師在教學(xué)時(shí)，要立足于方法的“多樣化”，引導(dǎo)學(xué)生解釋方法的“合理化”，最終探尋方法的“最優(yōu)化”。這樣不僅有助于學(xué)生真正地理解找兩個(gè)數(shù)公倍數(shù)的方法，還能在這個(gè)過程中提升學(xué)習(xí)的品質(zhì)和能力。④提煉歸納特征。對(duì)找公倍數(shù)的討論，幫助了學(xué)生理解兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)有無數(shù)個(gè)的特點(diǎn)，加強(qiáng)了無限思想對(duì)學(xué)生的滲透?？傊?，本環(huán)節(jié)借助學(xué)習(xí)最大公因數(shù)時(shí)所積累的經(jīng)驗(yàn)，放手讓學(xué)生自主探究?jī)蓚€(gè)數(shù)的公倍數(shù)的求法，既是對(duì)公倍數(shù)概念的認(rèn)識(shí)繼續(xù)深化的過程，也有利于他們切實(shí)掌握求兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的基本方法。

教學(xué)片段三：在應(yīng)用中拓展認(rèn)識(shí)

【教學(xué)思考】課堂練習(xí)在目前“雙減”政策的背景下要以課程、學(xué)生和學(xué)習(xí)的視角，對(duì)作業(yè)的設(shè)計(jì)重新系統(tǒng)地梳理與反思。減少作業(yè)時(shí)間，不只是“量”上做簡(jiǎn)單的“減法”，更重要的是應(yīng)該在“質(zhì)”上求“變化”。教師設(shè)計(jì)作業(yè)要擺脫機(jī)械、枯燥、煩瑣、無價(jià)值的練習(xí)，讓作業(yè)“色香味”俱全，點(diǎn)燃學(xué)生的興趣，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力。因此，在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，筆者從生活情境和游戲兩個(gè)方面入手，進(jìn)行拓展練習(xí)和靈活運(yùn)用，既摒棄了傳統(tǒng)練習(xí)的枯燥無味，又讓學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，于玩中學(xué)、于學(xué)中玩。在游戲練習(xí)結(jié)束后，筆者引導(dǎo)學(xué)生能主動(dòng)在此過程中發(fā)現(xiàn)一些有趣的規(guī)律或性質(zhì)，既能加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，又能激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，從而積累豐富而廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，真可謂一舉多得。在當(dāng)前“雙減”政策的背景下，作業(yè)設(shè)計(jì)要進(jìn)行三個(gè)追問：學(xué)生為什么要做作業(yè)？什么樣的作業(yè)對(duì)學(xué)生最有效？作業(yè)設(shè)計(jì)得好不好誰說了算？作業(yè)是整個(gè)課程鏈上的一環(huán)，是課程學(xué)習(xí)的一部分，任何與學(xué)習(xí)目標(biāo)相關(guān)性弱或不相關(guān)的作業(yè)，都應(yīng)從作業(yè)單中刪除。所以當(dāng)下，無論是課堂作業(yè)還是課后作業(yè)都需要精心地設(shè)計(jì)與實(shí)施。作業(yè)設(shè)計(jì)和作業(yè)實(shí)施的質(zhì)量，應(yīng)該成為教師專業(yè)發(fā)展水平的重要標(biāo)志之一。

綜上所述，數(shù)學(xué)概念不僅是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基礎(chǔ)，還是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要組成部分。因此，概念教學(xué)是一個(gè)復(fù)雜的過程，要淡化對(duì)概念字面上的死記硬背，把握概念的核心，讓學(xué)生在主動(dòng)探索的學(xué)習(xí)過程中去理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。教師要遵循學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，充分利用學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生自主探索的興趣，讓學(xué)生在想象、比較、分析、歸納等活動(dòng)中充分經(jīng)歷概念的形成過程，凸顯概念的特征。這樣，學(xué)生在直觀感知的過程中就會(huì)逐步建立并抽象出概念的本質(zhì)，進(jìn)而更好地掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)與內(nèi)涵。