鄒佳琦

[摘 要]數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，發(fā)展學(xué)生的高階思維是當(dāng)下數(shù)學(xué)課程的根本目標(biāo)和提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要任務(wù)?，F(xiàn)在的課堂教學(xué)不再是教師的“一言堂”，而是以學(xué)生為主體的課堂教學(xué)，學(xué)生產(chǎn)生的想法是無法預(yù)料的，這些往往具有獨(dú)特的教育價(jià)值，是課堂教學(xué)不可或缺的一部分。對(duì)于這些生成性資源，教師要善于捕捉、充分發(fā)掘、機(jī)智處理，最大化地激活學(xué)生的高階思維，引導(dǎo)學(xué)生基于認(rèn)知起點(diǎn)展開多角度思考，讓學(xué)生的思維逐步走向深入、開闊。

[關(guān)鍵詞]高階思維;學(xué)生生成;數(shù)學(xué)思維

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2022）14-0007-04

一節(jié)數(shù)學(xué)課能留給學(xué)生什么？是碎片化的數(shù)學(xué)知識(shí)，還是知識(shí)背后通透的意義和關(guān)聯(lián)？是淺嘗輒止后的平淡無奇，還是頭腦風(fēng)暴后的意猶未盡？是眼前的“風(fēng)景”，還是希望的“田野”？當(dāng)下，一些教師更多的是關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶、理解、運(yùn)用等低階思維的培養(yǎng)，很少給學(xué)生提供分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造等高階思維的機(jī)會(huì)，因此學(xué)生在日復(fù)一日的機(jī)械化訓(xùn)練中對(duì)數(shù)學(xué)的體驗(yàn)不深入、理解不深刻，逐漸失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力和興趣。

精彩的課堂往往離不開學(xué)生的生成，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維不是靜止的，而是一種動(dòng)態(tài)的“流”，至于流向哪里，取決于教師能否把握學(xué)生思維發(fā)展的走向。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)是要能夠培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。如何實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)，切實(shí)有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？關(guān)鍵在于教師要以高階思維為支撐，通過各種形式將學(xué)生的生成進(jìn)行加工，抓住契機(jī)優(yōu)化學(xué)生的思考模式，引導(dǎo)學(xué)生形成知識(shí)技能和數(shù)學(xué)思想。唯有如此，方能培養(yǎng)學(xué)生的高階思維。

一、拋磚引玉，在質(zhì)疑中探索

學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)時(shí)，可能會(huì)由此及彼地聯(lián)想到相關(guān)的一些問題進(jìn)而產(chǎn)生疑問或者提出不同的見解。此時(shí)，教師應(yīng)該專注傾聽，讓有價(jià)值的質(zhì)疑成為教學(xué)難點(diǎn)的突破口，讓學(xué)生經(jīng)歷主動(dòng)猜想、探究、論證的過程，促使學(xué)生在已有的知識(shí)背景下發(fā)現(xiàn)新問題、學(xué)習(xí)新知識(shí)，對(duì)具體問題做出多角度的聯(lián)想和思考。

例如，教學(xué)“商不變規(guī)律”時(shí)，教師要求學(xué)生自主計(jì)算、對(duì)比，探究得出“被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），商不變”這一規(guī)律。正當(dāng)教師準(zhǔn)備帶領(lǐng)學(xué)生練習(xí)時(shí)，一位學(xué)生提出疑問：

生1：商是不變了，那萬一有余數(shù)怎么辦？余數(shù)是變還是不變呢？

師：這位同學(xué)提了一個(gè)非常有價(jià)值的問題，那接下來請(qǐng)同學(xué)們圍繞這個(gè)問題，先思考，再用喜歡的方法來證明自己的觀點(diǎn)。

生1：我認(rèn)為余數(shù)是要變的。我是用豎式計(jì)算證明的。比如900÷40=22……20和90÷4=22……2，被除數(shù)和除數(shù)都同時(shí)縮小了10倍，余數(shù)也縮小了10倍。

生2：我也認(rèn)為余數(shù)會(huì)變。如果余數(shù)不變的話，反過來驗(yàn)算就不成立。比如900÷40=22……20，被除數(shù)和除數(shù)縮小10倍，假設(shè)余數(shù)不變，就是90÷4=22……20，反過來就是4×22+20=108，不等于90，所以余數(shù)肯定要變。

生3：我們剛學(xué)的是“商不變規(guī)律”，它沒有說余數(shù)不變，商和余數(shù)是兩回事，所以被除數(shù)和除數(shù)擴(kuò)大或縮小時(shí)，余數(shù)也應(yīng)該有相應(yīng)的變化。

……

師：大家說得都很有道理?？磥泶蠹彝ㄟ^思考都找到了答案。沒錯(cuò)，當(dāng)有余數(shù)時(shí)，余數(shù)是要變的，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)（0除外），那余數(shù)也要擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)。

至此，學(xué)生明確了“商不變，余數(shù)要變”的道理。在此過程中，學(xué)生的思維得到解放，他們敢于嘗試、敢于分析，在生生、師生互動(dòng)中深入學(xué)習(xí)與思考。因此，面對(duì)學(xué)生的質(zhì)疑，教師要營造平等輕松的學(xué)習(xí)氛圍，不妨將學(xué)生的質(zhì)疑再次以問題的形式還給學(xué)生，放手讓學(xué)生探索解決問題的辦法。

二、順勢(shì)而為，在問題中思辨

學(xué)生為什么只有一種想法？為什么常常出現(xiàn)思維定式？為什么只會(huì)書本上教的知識(shí)？海闊憑魚躍，天高任鳥飛。在當(dāng)下的信息化社會(huì)，如果教學(xué)還囿于一隅，那么學(xué)生的視野將會(huì)變得狹隘，思維就會(huì)僵化，長此以往，不利于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。唯有讓學(xué)生思維碰撞，迸發(fā)出智慧的火花，才能閃現(xiàn)那極具創(chuàng)造性的靈光。

教學(xué)可圍繞問題來展開。問題主要分為教師的問題和學(xué)生的問題。然而很多時(shí)候，大家似乎更加關(guān)注教師的問題，而忽略了學(xué)生的問題。學(xué)生問題表達(dá)的其實(shí)是內(nèi)心最真實(shí)的困惑，反映了認(rèn)知的起點(diǎn)，即我在哪里，準(zhǔn)備往何處去。面對(duì)學(xué)生的問題，如果只是避重就輕，那課堂并非是在為學(xué)生服務(wù)，而是在解決教師的問題，很容易陷入為活動(dòng)而教和為灌輸而教的兩大誤區(qū)?！秾W(xué)習(xí)的本質(zhì)》一書中指出，只有當(dāng)個(gè)體進(jìn)入了提問步驟，他才會(huì)試圖去理解。基于此，教師首先應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生提出的每一個(gè)問題，保護(hù)學(xué)生的求知欲;其次在面對(duì)學(xué)生提出的形形色色的問題時(shí)，要善于甄別和捕捉，緊扣數(shù)學(xué)本質(zhì)，充分挖掘問題的價(jià)值，實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維“增值”。

例如，教學(xué)“萬以內(nèi)數(shù)的讀和寫”時(shí)，筆者大膽放手，課前讓學(xué)生預(yù)習(xí)后試著提1～2個(gè)自己認(rèn)為最有價(jià)值的問題并寫在學(xué)習(xí)單上。第二天上課時(shí)，讓人感到驚喜的是，筆者想要問的問題，學(xué)生基本上都提出來了，比如萬以內(nèi)的數(shù)怎么讀寫？萬以內(nèi)的數(shù)在讀寫時(shí)要注意什么？為什么0在中間需要讀？等等。當(dāng)然，也出現(xiàn)了筆者沒有預(yù)設(shè)到的問題。

生1：為什么中間連續(xù)有2個(gè)0的四位數(shù)只讀一個(gè)0？

師（起初并沒有多想，只是把它看作一個(gè)規(guī)定，即中間有2個(gè)0時(shí)只讀1個(gè)0）：誰能回答他的問題？

生2（在黑板上寫下100 000 0000 009）：大家看我寫的這個(gè)數(shù)，如果每個(gè)0都要讀出來，豈不是變成了一零零零……九，如果還有更大的數(shù)，中間的0都讀不盡了，太麻煩了。

師：誰知道他的“太麻煩了”是什么意思？

生3：他的意思是中間有很多0的時(shí)候如果全部讀很麻煩。

生4：我覺得中間有很多0的時(shí)候，沒有必要一個(gè)個(gè)都讀出來，只讀一個(gè)就行了，這樣比較簡單。

師：瞧，學(xué)著學(xué)著，我們不僅明白了為什么中間有2個(gè)0時(shí)只讀1個(gè)0，還拓展到了中間有連續(xù)有多個(gè)0的數(shù)的讀法，感受到了數(shù)學(xué)的簡潔性。

學(xué)生的問題不僅有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生探究的積極性，還是對(duì)教師備課的再次補(bǔ)充。同時(shí)，在熱烈的思考中，學(xué)生不僅學(xué)到了本節(jié)課要掌握的知識(shí)，更是感悟到了一種普遍性的規(guī)律。對(duì)學(xué)生而言，高階思維的培養(yǎng)離不開創(chuàng)造，而創(chuàng)造的機(jī)會(huì)往往蘊(yùn)藏在學(xué)生的問題當(dāng)中。教師作為學(xué)習(xí)的啟動(dòng)者，必須善于傾聽學(xué)生的問題，致力于發(fā)掘?qū)W生問題的研究價(jià)值和學(xué)生高階思維的培養(yǎng)，在學(xué)生自我提問和自我釋疑的過程中，把他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟推向一個(gè)新的高潮。

三、多中選優(yōu)，在對(duì)比中優(yōu)化

在開放的教學(xué)環(huán)境下，一個(gè)大問題帶來的往往是以“串聯(lián)”的方式呈現(xiàn)的學(xué)生資源。這樣的學(xué)生資源零散、雜亂而又不具有代表性，不利于學(xué)生辨析和提升思維。對(duì)小學(xué)生而言，分析和比較是一種高階思維方式，沒有分析和比較就沒有鑒別和創(chuàng)新。因此，教師可以從不同的思維層次和視角對(duì)學(xué)生資源進(jìn)行選擇和分類，然后“并聯(lián)”式地呈現(xiàn)給學(xué)生，幫助學(xué)生在對(duì)比優(yōu)化中溝通不同方法之間的區(qū)別和聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的高階思維。

例如，教學(xué)“解決問題的策略——一一列舉”時(shí)，教師對(duì)例題進(jìn)行了創(chuàng)造性改編：王大伯用20根一米長的木條圍一個(gè)面積是20平方米的長方形的羊圈，不能剩余、不許折斷，這樣的方案可行嗎？

學(xué)生獨(dú)立完成以后，教師選擇了有代表性的作品（如圖1），并安排學(xué)生有序地上臺(tái)分享。

生1：面積是20的話，4×5=20，但是周長是18，不符合條件。還有2×10=20，周長是24，所以也不行。我認(rèn)為王大伯的方案不可行，請(qǐng)問大家有補(bǔ)充嗎？

生2：我不同意你的想法，你只是列舉了2種情況，恰好都不符合，萬一要是后面有一種情況符合了怎么辦呢？

師：看來光列舉這幾種還不夠有說服力，要把所有的情況都列舉出來進(jìn)行分析后，才能做出準(zhǔn)確的判斷。

生3：我用的是列表的方法。周長是20米，那么用周長除以2就得到了一條長加一條寬的長度，是10米。從長9米、寬1米開始列舉，發(fā)現(xiàn)后面的面積都不可能是20平方米，所以王大伯的方案不可行。

生4：我也是用了列表的方法。因?yàn)槊娣e是20平方米，所以長和寬分別有3種情況，但是這樣一來，周長都不可能是20米。

師：比較一下生3和生4的方法，有什么異同點(diǎn)？

生5：他們都用到了列表的方法。

生6：他們都是按順序列舉的，并且把所有的情況都列舉出來了。

生7：他們一個(gè)是從周長去列舉的，一個(gè)是從面積去列舉的。

師：是的，他們盡管思路不一樣，但都是按照順序把所有的情況都列舉出來了，做到了不重復(fù)不遺漏，這在數(shù)學(xué)上就叫作一一列舉。這兩種方法都用到了一一列舉，你更喜歡哪一種方法呢？

生8：我更喜歡從面積入手去列舉，因?yàn)槿绻麖闹荛L入手去列舉的話情況比較多，要列舉好久。而從面積入手去列舉，只要列舉三種情況就能判斷了，更簡單些。

在這節(jié)課中，教師將課堂教學(xué)進(jìn)行“重心下移”，設(shè)計(jì)了一個(gè)開放性問題，為每個(gè)學(xué)生都提供了獨(dú)立思考和解決問題的機(jī)會(huì)。于是，在豐富的互動(dòng)中，多樣化的思路應(yīng)運(yùn)而生。面對(duì)學(xué)生的多種答案，教師快速地將其篩選分類，對(duì)有代表性的作品進(jìn)行了“放大”和“細(xì)磨”。當(dāng)學(xué)生介紹完方法后，教師不是一帶而過，而是又拋出問題，引導(dǎo)學(xué)生比較兩種思路的異同點(diǎn)和優(yōu)缺點(diǎn)。在深入的對(duì)比、分析中，學(xué)生的思維拾級(jí)而上，認(rèn)知不斷提高。

正如烏申斯基所說，比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。學(xué)生在比較中不僅體悟到了“不變”，即數(shù)學(xué)的本質(zhì)，還進(jìn)一步感受到了數(shù)學(xué)簡約的特性，以及不同思路下解題方法的優(yōu)劣，從而實(shí)現(xiàn)了由低階思維向高階思維的“躍遷”。

四、變廢為寶，在錯(cuò)誤中明理

錯(cuò)誤在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的價(jià)值非同小可，它的意義在于能夠使學(xué)生從數(shù)學(xué)的本質(zhì)上對(duì)自己的錯(cuò)誤主動(dòng)地進(jìn)行自我評(píng)價(jià)、反思和修正。在課堂中，學(xué)生產(chǎn)生一些認(rèn)知偏差而導(dǎo)致錯(cuò)誤時(shí)，教師要善于捕捉、靈活處理，通過適當(dāng)?shù)膯l(fā)和提問，展現(xiàn)學(xué)生不同的聲音和思考，引導(dǎo)學(xué)生分析和糾錯(cuò)，讓學(xué)生不斷修正、提升學(xué)習(xí)思維和思路，發(fā)展高階思維。

例如，有關(guān)“平均數(shù)”的一道練習(xí)題：下表是某廠一年四個(gè)季度的生產(chǎn)產(chǎn)值，算一算這一年平均每月的產(chǎn)值是多少萬元。

出示學(xué)生的兩種解題方法：（1）（240+280+320+300）÷4=285（萬元）;（2）（240+280+320+300）÷12=95（萬元）。

師：你認(rèn)為哪種方法正確？

生1：我認(rèn)為方法（2）是對(duì)的，題目問的是平均每月的產(chǎn)值，所以應(yīng)除以12個(gè)月。

師：那方法（1）錯(cuò)在哪呢？為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤？

生2：不能除以4，一年又不是只有4個(gè)月。他肯定認(rèn)為有幾個(gè)數(shù)字相加，要求平均數(shù)就除以幾。

師：你說得很有道理，那要使（1）正確，應(yīng)該怎么修改題目？

生3：改成“平均每個(gè)季度的產(chǎn)值是多少萬元”。

師：如果問題不變，順著第一種解法繼續(xù)思考，你能解決問題嗎？

生4：只要再除以3就可以了，因?yàn)橐粋€(gè)季度有3個(gè)月。

學(xué)習(xí)平均數(shù)時(shí)，由于例題和之前做的習(xí)題都是用總數(shù)除以份數(shù)，而份數(shù)就是總數(shù)相加的個(gè)數(shù)，所以學(xué)生就形成了定式思維，產(chǎn)生了錯(cuò)誤。對(duì)此，教師以學(xué)生的錯(cuò)誤為基礎(chǔ)，展開了兩個(gè)追問，引導(dǎo)學(xué)生從正反兩種不同的角度修正錯(cuò)誤。由此，學(xué)生認(rèn)識(shí)到，解決問題不能想當(dāng)然，不能憑著解題習(xí)慣不假思索地予以解答，而應(yīng)從題目本身出發(fā)，謹(jǐn)慎地審題、深入地分析。這種有根有據(jù)的思維方式，正是學(xué)生具有高階思維的表現(xiàn)。

又如，有關(guān)“小數(shù)加減法”的一道練習(xí)題“4.25+3.6”，學(xué)生可能得出7.85和4.61兩種答案，很明顯，錯(cuò)誤的原因在于學(xué)生把整數(shù)加減法中的末尾對(duì)齊與小數(shù)加減法中的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊混淆，認(rèn)為末尾對(duì)齊就是相同數(shù)位對(duì)齊，從而使整數(shù)加減法對(duì)小數(shù)加減法產(chǎn)生負(fù)向遷移。針對(duì)上述錯(cuò)誤，教師可以先通過估算的方法引導(dǎo)學(xué)生辨析計(jì)算結(jié)果，讓學(xué)生明確了整數(shù)中“末尾對(duì)齊”的方法在小數(shù)加減法中并不適用。在此基礎(chǔ)上，教師通過問題“小數(shù)加減法中小數(shù)點(diǎn)為何要對(duì)齊？”引導(dǎo)學(xué)生理解對(duì)齊的目的是讓相同數(shù)位對(duì)齊，如果是末尾對(duì)齊就可能會(huì)造成小數(shù)和整數(shù)相加的錯(cuò)誤算法。最后讓學(xué)生對(duì)比整數(shù)加減法，明白“末尾對(duì)齊”和“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”這兩種方法的本質(zhì)是使得相同數(shù)位對(duì)齊。

負(fù)遷移并不是絕對(duì)的壞事，相反的，它是一種典型的、可利用的錯(cuò)誤資源。教師不妨順勢(shì)而為，把易混淆的知識(shí)和易引起沖突的認(rèn)知重新拋給學(xué)生，讓學(xué)生在質(zhì)疑、對(duì)比、判斷、說理的過程中，建構(gòu)正確的概念或理論。

可見，面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤生成，教師不僅要判斷對(duì)錯(cuò)，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生反思，從而調(diào)整思路，尋找對(duì)策。當(dāng)學(xué)生明確正確解法后，教師可以進(jìn)一步挖掘錯(cuò)誤，提出富有挑戰(zhàn)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生思考分析，進(jìn)行再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，使學(xué)生的高階思維培養(yǎng)落到實(shí)處。合理地利用學(xué)生的錯(cuò)誤，不僅可以幫助學(xué)生突破思維定式，培育學(xué)生敏銳的洞察力，還能拓寬學(xué)生的思維空間，訓(xùn)練學(xué)生思維的批判性和創(chuàng)造性，讓學(xué)生的高階思維水到渠成、自然流淌。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重要的不是獲得知識(shí)，而是發(fā)展思維能力。課堂的生成性資源無處不在，只要教師善于捕捉，并巧妙利用，就能讓學(xué)生的思維從零散走向系統(tǒng)，從淺表走向深入，從狹隘走向開闊，從而實(shí)現(xiàn)思維由“低”向“高”不斷進(jìn)階。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

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[4] 楊春花.在數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)中發(fā)展學(xué)生“高階思維”[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（4）：48-49.

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（責(zé)編 金 鈴）