王倩

【摘 ?要】本文研究“概念圖”在初中數(shù)學解題教學中的運用。分析“概念圖”的內(nèi)涵及特點;從借助“概念圖”培養(yǎng)學生的解題習慣、借助“概念圖”擴寬學生的解題思路、借助“概念圖”逐步感悟數(shù)學思想三角度出發(fā)進行論述，列舉教學策略。期望本文能夠為廣大數(shù)學教學工作者帶來一定的參考作用。

【關鍵詞】概念圖;初中數(shù)學;解題;教學

所謂“概念圖”，指的就是一種能夠展示知識點與知識點之間結構關系的圖形，是思維可視化的表征。一幅概念圖通常應包含如下三要素：節(jié)點、連接、文字標注。在初中數(shù)學教學中，概念圖既可被教師視作教學策略來使用，又可被學生視作學習策略、解題策略來使用。

數(shù)學題是學生學習、應用數(shù)學知識的最為重要的載體，它至少包含如下兩個最基本的要素：條件（已知條件、前提條件等）、結論（未知結論、求解結論、求證結論、求作結論等）。在解題中，題目給出的條件是學生構建解題思維的起點，結論則是問題解決的目標，為了達到這一目標，學生必須調(diào)動腦海中學過的數(shù)學知識、數(shù)學技能，突破題目設置的障礙，這需要學生正確分析題目給出的已知條件，找到未知條件，使用運算、推理等方式，求出題目所求結論。學生可使用概念圖輔助這一解題過程，使其得以高效完成。

一、“概念圖”特點

概念圖（Concept map）的理論基礎是Ausubel的學習理論，此種理論認為，學習者構建知識的過程，就是借助腦海中的已有概念，對事物展開進一步的觀察及認識的過程。在學習過程中，學習者可通過構建概念網(wǎng)絡，并不斷向這一網(wǎng)絡中添加新的內(nèi)容，高效理解、記憶新的知識體系。概念圖與初中數(shù)學課堂教學有著極佳的契合性，它至少具有如下幾方面的特征：

（一）層級結構特征

所謂層級結構特征，主要指的是概念圖能夠以分層形式，清晰、明了地展示各知識點之間的層級關系。一般來講，在整個概念圖中，含義最為廣泛也最具概括性的概念，位于圖案的上方，更多細化的概念、概括性不強的概念，依次排列于圖案的下方，學習者可較為直觀地理清各概念之間的邏輯關系。

（二）交叉連接特征

所謂交叉連接特征，主要指的是在概念圖中，各概念之間的聯(lián)系具有一定的交叉性，某些領域知識是相互連接在一起的。創(chuàng)建新概念圖時，這種交叉連接也表明了知識概念之間的跳躍性。

（三）理性與情感交融特征

數(shù)學解題課堂中，教師會使用概念圖表達數(shù)學概念、題目條件以及相應的命題，這具有突出的理性色彩，但概念圖同時也是對師生情感狀態(tài)的直觀展示，映射了概念圖創(chuàng)建者、學習者的情感品質(zhì)。

二、“概念圖”在初中數(shù)學解題教學中的運用

（一）借助“概念圖”，擴寬學生解題思路

初中生的抽象思維發(fā)展得尚不夠健全，在學習、生活中，更習慣以形象思維認識事物、學習知識，很多學生甚至是在步入初一后，才開始慢慢地接觸邏輯推理，此種情況下，借助“概念圖”，幫助其實現(xiàn)解題思維可視化是很有必要的。在上文所述的“思路探求”環(huán)節(jié)中，針對同一道題，學生的腦海中往往會出現(xiàn)多種不同的解題思路，此時教師可借助概念圖，輔助學生進行推理。

一般來講，針對一道數(shù)學題，學生可從三個角度出發(fā)進行推理：首先，由題目給出的已知條件，逐步推理，獲得結論;其次，由結論入手，層層向前，追溯至題目所給的條件，之后推出要使得結論成立，已知或題目中的隱含條件必須成立;最后，由已知與結論兩條線出發(fā)，同時進行推理，推出中間共同條件成立。

【案例1】圖1所示AB線段中，C為中點，D在線段BC上，AD=6，BD=4，求線段CD的長度。

如下出示針對此題的概念圖：

解題中，教師可引導學生結合“三種推理思路”進行具體分析。第一種，由已知到未知進行推理，也就是所謂的綜合法，可先借助線段AD、DB的長，求出AB的長，再結合中點條件，求出AC的長，最后借助AD的長，求出CD的長;第二種，由結論（問題）追溯已知條件，也就是所謂的分析法，結合題目條件不難看出，欲求CD，需求AD-AC或CB-DB，要求AC與BC，需要求出AB，而AB又等于AD+DB，為已知條件;第三種，由已知條件、結論同時出發(fā)進行分析，依據(jù)線段AD、DB的長，可求出AB的長，結合中點條件，可求出AC、BC的長，欲求線段CD的長，需求AD-AC或BC-DB，而這些條件均已求出，可見三種思路均可順利解答此題。

學生在解答此題時，熟悉如何用三種不同的思路，推出題目所求條件后，教師可給予學生變式題，進一步培養(yǎng)學生用“概念圖”分析問題、解答問題的習慣。

變式1：圖1所示AB線段中，C為中點，D在線段BC上，AD=6，CD=1，求線段BD的長度。

變式2：圖1所示AB線段中，C為中點，D在線段BC上，BD=4，CD=1，求線段AD的長度。

在解答變式題的過程中，學生會對“互逆命題”這一數(shù)學知識產(chǎn)生更為深刻的認識，這有助于進一步增強學生的解題能力，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的生成 發(fā)展。

（二）借助“概念圖”，逐步感悟數(shù)學思想

《義務教育數(shù)學課程標準》課程總目標指出：在義務教育階段的數(shù)學學習中，學生會形成適應社會生活及進一步發(fā)展所必須的數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗?？梢?，數(shù)學思想教育，是初中數(shù)學教育的重要組成部分，而解題教學，無疑是向?qū)W生滲透數(shù)學思想的好時機。教師可在解題環(huán)節(jié)中，引導學生運用“概念圖”分析問題，學習、體會、應用數(shù)學思想，規(guī)范書寫表達過程，達到更高的學習境界。

【案例2】點A、B、C、D在數(shù)軸上位置如圖3所示，AB=3，BC=2，CD=4，求：

（1）若點C為原點，求點A表示的數(shù)。

（2）若點A、B、C、D分別表示有理數(shù)a、b、c、d，求 a-c+d-b-a-d=？

（3）如圖3，點P、Q分別從A、D兩點同時出發(fā)，點P沿著線段AB，以每秒1單位長度的速度向右移動，到達B點后立刻折返，速度與之前一致;點Q沿線段DC以每秒2單位長度的速度向左運動，到達C點后立刻折返，P、Q中有一點回到出發(fā)點，兩點同時停止運動。求①停止運動時兩點之間距離;②設運動時間為t（單位：秒），則t為何值時，PQ=5？

題目中，（3）問有著較高的難度，因此本文進行重點論述，設計如下概念圖，以供參考：

解題思路如下：

①由題目所給條件不難得出點P從出發(fā)到回到點A需要花費6秒，點Q從出發(fā)到回到點D需要花費4秒，兩點停止運動時，Q與D重合，點P會運動到點B左邊一個單位長度的位置，如圖5，由BP+CB+CD可得答案為7。

②如圖6，P、Q相向而行，0≤t≤2時，AP=t，AB=3，BP=3-t;DQ=2t，CD=4，可得CQ=4-2t。因此PQ=BP+BC+CQ=3-t+2+4-2t=9-3t。由PQ=5，可知9-3t=5，可得t=4/3。

點P、Q同向而行時，有圖7：

由AP=t，AB=3，可得BP=3-t。由CD=4，CD+CQ=2t，可得CQ=2t-4。因此PQ=BP+BC+CQ=3-t+2+2t-4=t+1。

由于PQ=5，因此t+1=5，可解得t=4，不符合題目所給條件，因此可排除。

點P、Q反向而行時，3

AB+BP=t，AB=3，可得BP=t-3;DC+CQ=2t，DC=4，可得CQ=2t-4。

因此可列式PQ=BP+BC+CQ=t-3+2+2t-4=3t-5。

PQ=5，帶入可解得t=10/3。

綜上，t為4/3或10/3時，PQ=5。

三、結束語

結合如上教學案例，不難看出，在初中數(shù)學教學中，教師可借助概念圖，對各種數(shù)學概念實施加工、概括，以形象化的方式反映各知識點之間的邏輯關系與組織結構，引導學生更好地在腦海中構建起數(shù)學知識體系，對各類數(shù)學知識點產(chǎn)生更為深刻的記憶。相較于傳統(tǒng)教學方式，概念圖教學方式最大的特點是可應用可視化手段，將各種知識“節(jié)點”聯(lián)系在一起，構成脈絡體系，幫助學生實現(xiàn)高效學習，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的穩(wěn)步發(fā)展。

實踐表明，“概念圖”與初中數(shù)學解題教學有著較好的適配性，可被師生視作一種卓有成效的解題策略來使用。在解題教學中，教師可利用概念圖，引導學生開展有意義的、創(chuàng)造性的學習，利用概念圖實現(xiàn)靈活解題，以概念“節(jié)點”為載體，構建平臺，切實提升學生的解題能力，將學生的學與教師的教結合在一起，整體提升課堂教學的效率與質(zhì)量，促進學生的進一步發(fā)展。

【參考文獻】

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