王瓊 李葉龍 黃賢靜 張貴元

摘要：RC電路響應(yīng)分析涉及高等數(shù)學(xué)中的微分方程，教材中關(guān)于二者的銜接部分較為簡(jiǎn)要，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)會(huì)存在一定困難。為此，本文首先采用具體事例的形式，對(duì)一階線性微分方程的求解過程及求解邏輯進(jìn)行了推導(dǎo)與總結(jié)，之后直接利用齊次方程及一階線性微分方程的通解形式直接推導(dǎo)出RC電路響應(yīng)方程，在內(nèi)容及邏輯上實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與電路分析的統(tǒng)一。

關(guān)鍵詞：電工學(xué);RC電路;微分方程

中圖分類號(hào)：G424? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2022）21-0115-03

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電路暫態(tài)分析是本科課程《電工學(xué)》中的重要內(nèi)容，因其涉及高等數(shù)學(xué)中微分方程內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求較高。實(shí)際教材及輔助資料中對(duì)此部分內(nèi)容所涉及的數(shù)學(xué)原理的推導(dǎo)通常較為簡(jiǎn)要（默認(rèn)在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中已經(jīng)掌握）[1-3]，而高等數(shù)學(xué)中關(guān)于微分方程部分則是從純數(shù)學(xué)角度進(jìn)行推導(dǎo)，缺乏其在電路暫態(tài)分析應(yīng)用方面的專門講解[4-5]，從而導(dǎo)致部分學(xué)生在學(xué)習(xí)電路暫態(tài)分析這部分內(nèi)容時(shí)缺乏對(duì)其數(shù)學(xué)原理的深入理解，學(xué)習(xí)中僅靠硬記最終的電路響應(yīng)方程而解決問題，進(jìn)而給后續(xù)的深入學(xué)習(xí)帶來(lái)困難?；诖?，本文以電路暫態(tài)分析中RC電路響應(yīng)為例，將一階線性微分方程部分內(nèi)容的求解過程及求解邏輯與電路的暫態(tài)分析進(jìn)行統(tǒng)一推導(dǎo)與闡述。以期初學(xué)者通過對(duì)本文的閱讀能快速掌握運(yùn)用一階線性微分方程解決電路暫態(tài)分析問題。

1 一階線性微分方程的求解邏輯

在高等數(shù)學(xué)中，微分方程部分的學(xué)習(xí)順序?yàn)槲⒎址匠痰幕靖拍睢⒖煞蛛x變量微分方程、齊次方程、一階線性微分方程、高階線性微分方程、歐拉方程等[4]。因電路的暫態(tài)分析僅涉及一階線性微分方程。為此本文僅對(duì)一階線性微分方程的求解邏輯進(jìn)行推導(dǎo)與闡述。

1.1可分離變量微分方程

為方便初學(xué)者理解，文中不同類型方程的求解均以較為簡(jiǎn)單的具體方程實(shí)例為例進(jìn)行求解。在高等數(shù)學(xué)中微分方程的求解是從可分離變量微分方程開始的，其一般形式可表示為式（1）的形式。

[P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

以具體事例（2）為例，進(jìn)行可分離變量微分方程的求解過程。

[dydx=2xy]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

所謂分離變量就是將含相同變量的項(xiàng)移至方程的一端。對(duì)式（2）進(jìn)行移項(xiàng)，得出式（3）;對(duì)式（3）兩端積分得出式（4）;對(duì)式（4）進(jìn)行求解，得出式（5）、（6），因 [±eC1] 仍是任意常數(shù)，把它記作常數(shù)C，便得出方程（2）的通解式（7），此即為可分離變量微分方程的求解過程。其求解過程可總結(jié)為三個(gè)步驟：分離、積分、運(yùn)算求解。

[1ydy=2xdx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

[1ydy=2xdx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

[lny=x2+C1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

[y=±ex2+C1=±eC1ex2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（6）

[y=Cex2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）

1.2齊次方程

如果一階微分方程 [dydx=f（x，y）]中函數(shù) f（x，y）可寫成 [yx]的函數(shù)，即[f（x，y）=?（yx）]，則稱這個(gè)方程為齊次方程，齊次方程的一般式亦可表示為式（8）的形式[4]。

[dydx+P（X）y=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

以具體事例（9）為例，進(jìn)行其求解過程。將式（9）進(jìn)行移項(xiàng)等變換，得出式（10）。由前述定義可知該式為齊次方程。

[y2+x2dydx=xydydx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

[dydx=y2xy-x2=（yx）2yx-1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

令式（10）中的 [yx=u]，則y=ux，對(duì)其求導(dǎo)后推出 [dydx=u+xdudx]，將其代入式（10）得出式（11），對(duì)式（11）移項(xiàng)得出式（12），式（12）符合可分離變量微分方程的形式，對(duì)其進(jìn)行變量分離，得出式（13）。應(yīng)用解可分離變量的方法對(duì)式（13）進(jìn)行積分求解，求得齊次方程式（9）的通解為式（14）：

[u+xdudx=u2u-1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（11）

[xdudx=uu-1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（12）

[（1-1u）du=dxx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （13）

[lny=yx+C]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （14）

由上述齊次方程事例的求解過程可見，齊微分方程需要通過變量代換化為可分離變量微分方程進(jìn)行求解。

1.3一階非齊次線性微分方程

當(dāng)方程滿足式（15）的形式時(shí)，即未知函數(shù) y及其導(dǎo)數(shù)是一次的方程，叫作一階非齊次線性微分方程。當(dāng)[Q（X）≡0]時(shí)，其變換為齊次線性方程，是對(duì)應(yīng)于非齊次線性方程（15）的齊次線性方程，如式（16）所示，并且由其形式特點(diǎn)可知該式是可分離的。為此，可分離變換為式（17），對(duì)其兩端進(jìn)行積分得出式（18），此即為對(duì)應(yīng)一階線性微分方程（15）的齊次方程（16）的通解。

[dydx+P（x）y=Q（x）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （15）

[dydx+P（x）y=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （16）

[dyy=-P（x）dx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（17）

[y=Ce-P（x）dx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（18）

接下來(lái)，采用常數(shù)變易法[4]求非齊次線性方程（15）的通解。具體方法是把式（18）中的 C 換成 x 的未知函數(shù)u（x） ，即變作式（19），將式（19）對(duì)x求導(dǎo)，得出式（20）：

[y=ue-P（x）dx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （19）

[dydx=u'e-P（x）dx-uP（x）e-P（x）dx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （20）

將式（19）、（20）代入式（15），得出式（21），進(jìn)一步化簡(jiǎn)得出式（22）：

[u'e-P（x）dx-uP（x）e-P（x）dx+P（x）ue-P（x）dx=Q（x）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （21）

[u'=Q（x）eP（x）dx]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（22）

將式（22）兩端積分，得式（23）：

[u=Q（x）eP（x）dxdx+C]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（23）

把式（23）代入式（19）得出式（24），式（24）即為一階線性微分方程（15）的通解。

[y=Ce-P（x）dx+e-P（x）dxQ（x）eP（x）dx]? ? ? ? （24）

由式（24）可見，一階非齊次線性方程的通解等于：其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個(gè)特解之和。

由上述三種類型方程的求解過程可知，可分離變量的微分方程的求解是基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上方可對(duì)齊次方程進(jìn)行求解。而求解一階非齊次線性微分方程的方法是首先求解該方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，然后利用常數(shù)變易法求出一階非齊次線性微分方程的通解，其求解邏輯如圖1所示。理解一階非齊次線性微分方程通解的求解過程，記住其通解形式（24）是深入學(xué)習(xí)電路暫態(tài)分析的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

2 RC電路響應(yīng)

2.1電工基礎(chǔ)

2.1.1元件特征

電阻、電感、電容是常用的電子元件，圖2為由其構(gòu)成的單一參數(shù)電路。在電阻電路中電壓與電流間關(guān)系滿足式（25），而電感與電容是儲(chǔ)能元件，在由其構(gòu)成的電路發(fā)生通斷瞬間能量不能發(fā)生躍變。

電感元件表現(xiàn)為電流不能躍變。如圖2（b）所示，當(dāng)線圈通過電流i時(shí)，將產(chǎn)生磁通Φ，電感元件的參數(shù)-電感L=NΦ/i，N為線圈匝數(shù)，當(dāng)電感元件中電流（或磁通）發(fā)生變化時(shí)，則在其中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)eL，具體表示為電流對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)與電感的乘積，如式（26）所示。

電容元件表現(xiàn)為電壓不能躍變。如圖2（c）所示，衡量電容容量的直接參數(shù)是其所含電荷[量]q，電容元件關(guān)鍵參數(shù)-電容C=q/u，當(dāng)電容元件上電荷[量]q或電壓u發(fā)生變化時(shí)，則在電路中引起電流i，電流具體表示為電壓對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)與電容的乘積，如式（27）所示。

[uR=Ri]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （25）

[eL=-Ndφdt=-Ldidt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （26）

[i=dqdt=Cdudt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （27）

由式（25）～（27）可知，在電阻元件電路中，一旦接通或斷開電源時(shí)，電路立即處于穩(wěn)定狀態(tài)（簡(jiǎn)稱“穩(wěn)態(tài)”）。而當(dāng)電路中含有電感或電容元件時(shí)，則不然。例如RC串聯(lián)電路與直流電源接通后，電容被充電，其上電壓是逐漸增長(zhǎng)到穩(wěn)定狀態(tài)，電路中有充電電流（電容放電）時(shí)，其上電壓是逐漸衰減到零的，這種電路中電流（電壓）增長(zhǎng)或衰減需經(jīng)歷一個(gè)短暫的過程，這個(gè)過程稱為暫態(tài)過程（簡(jiǎn)稱“暫態(tài)”），即在含電感或電容的電路中接通或斷開電源時(shí)，電路需要經(jīng)歷一個(gè)暫態(tài)過程后才會(huì)再次處于穩(wěn)定狀態(tài)。電路的暫態(tài)過程可能產(chǎn)生過電壓或過電流進(jìn)而對(duì)電路造成危害，亦可利用其改善波形或產(chǎn)生特定波形，為此需掌握其規(guī)律進(jìn)而規(guī)避危害或利用特性實(shí)現(xiàn)某些特定目的。

2.1.2換路定則

由于電源的接通、斷開、短路、電壓改變或參數(shù)改變等所導(dǎo)致的電路改變稱為換路[1]。由前述分析可知，對(duì)于電容元件換路瞬間電壓不能躍變，設(shè)換路前瞬間電壓為uC（0-），換路后瞬間電壓為uC（0+），因換路瞬間不能發(fā)生躍變，為此二者相等，如式（28）所示;對(duì)于電感元件換路瞬間電流不能躍變，設(shè)換路前瞬間電壓為iL（0-），換路后瞬間電壓為iL（0+），因換路瞬間不能發(fā)生躍變，為此二者相等，如式（29）所示。從t=0-到t=0+瞬間，電容元件中的電壓和電感元件中的電流不能躍變，這稱為換路定則。

[uC（0-）=uC（0+）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（28）

[iL（0-）=iL（0+）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （29）

2.2.RC電路響應(yīng)

2.2.1RC零狀態(tài)響應(yīng)

如圖3所示，當(dāng)RC電路換路前電容元件未儲(chǔ)有能量，uc（0-）=0時(shí)，由電源激勵(lì)所產(chǎn)生的電路的響應(yīng)，稱為RC零狀態(tài)響應(yīng)。分析 RC 電路的零狀態(tài)響應(yīng)，實(shí)際上就是分析它的充電過程。在t=0時(shí)將開關(guān)S合到位置 1 上，即電路與一恒定電壓為U的電壓源接通，對(duì)電容元件開始充電，電容上電壓為 uc。

根據(jù)基爾霍夫電壓定律，列出 t ≥ 0 時(shí)（換路后）滿足電路方程式（30），將電流ic（式（27））代入式（30）得式（31），此即為該電路方程的具體表達(dá)式。將式（31）與式（15）進(jìn)行對(duì)比可知，該式方程滿足一階非齊次線性微分方程的形式，將其變換為一階非齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)式（32）。

[U=Ri+uc]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（30）

[U=RCducdt+uc]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（31）

[ducdt+1RCuc=URC]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （32）

對(duì)比式（32）與式（15）可見，式中[URC]相當(dāng)于式（15）中的Q（x），[1RC]相當(dāng)于式（15）中的于P（x），為此，將二者代入一階非齊次線性方程式（15）的通解式（24），得出式（33），此即為式（32）的通解。

[uc=C1e-1RCdt+e-1RCdtURCe1RCdt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（33）

對(duì)式（33）等號(hào)右端兩項(xiàng)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，首先處理第一項(xiàng)，如式（34）所示。

[C1e-1RCdt=C1e-（1RCt+C2）=C1e-C2e-1RCt=C3e-1RCt]? （34）

對(duì)第二項(xiàng)進(jìn)行處理，如式（35）所示。因?yàn)閇e1RCdt=RCe1RCdt]，將其帶入式（35）得式（36）。

[e-1RCdtURCe1RCdt=e-1RCdtURCe1RCt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（35）

[e-1RCdtURCe1RCt=e-1RCdtURCRCe1RCdt=U]? ? ? ? ?（36）

將式（34）、（36）帶入式（33）即可得出uc 的最終表達(dá)式（37） 。

[uc=U+C3e-1RCt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（37）

帶入初始條件，換路前電容元件未儲(chǔ)有能量，uc（0-）=0 ，依據(jù)換路定則推出uc（0+）=0。將uc（0+）=0代入式（37）得式（38），由此可得出C3= -U，將其代入式（37）進(jìn)而得出RC電路零狀態(tài)響應(yīng)方程式（39）。式中1/RC稱為RC電路的時(shí)間常數(shù)，可見電容的充電時(shí)間（暫態(tài)持續(xù)時(shí)間）與R和C相關(guān)，通過改變二者的值可改變暫態(tài)的持續(xù)時(shí)間。

[0=U+C3e-1RCt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （38）

[uc=U-Ue-1RCt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （39）

2.2.2 RC零輸入響應(yīng)

RC電路的零輸入，是指無(wú)電源激勵(lì)，輸入信號(hào)為零時(shí)，由電容元件的初始狀態(tài)u（0+） 所產(chǎn)生的電路響應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)。分析 RC電路的零輸入響應(yīng)，實(shí)際上就是分析它的放電過程。

如圖3所示，當(dāng)電容充電到uc=U0時(shí)，將開關(guān)S從位置1合到位置2使電容脫離電源，輸入為零。根據(jù)基爾霍夫電壓定律，列出 t ≥ 0 時(shí)滿足電路方程式（40），將ic帶入得式（41），此即為 RC 電路的零輸入響應(yīng)方程，該方程滿足式（16）的形式，故為齊微分方程，由該型齊次微分方程通解的一般形式（18），得出式（41）的通解式（42）。

[Ri+uc=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（40）

[RCducdt+uc=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（41）

[uc=C1e-tRC]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（42）

代入初始條件u（0+）=uc（0-）=U0 ，進(jìn)而得出C1=U0，由此得出RC零輸入響應(yīng)方程式（43）。由此可見，電容的放電過程亦與R和C相關(guān)，通過改變二者的值可改變電容放電時(shí)間。

[uc=U0e-tτ=U0e-1RC]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （43）

2.2.3 RC 電路的全響應(yīng)

RC電路的全響應(yīng)，是指電源激勵(lì)和電容元件的初始狀態(tài) uc（0+） 均不為零時(shí)電路的響應(yīng)，也就是零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)兩者的疊加。

在圖3的電路中，當(dāng)uc（0-）=U0時(shí)，將開關(guān)S合到位置1上（電源激勵(lì)電壓為U），在 t ≥0 時(shí)為電容的充電過程，故其電路方程與式（30）相同，與零輸入響應(yīng)的區(qū)別在于電容兩端的初始電壓不為0，而為U0，進(jìn)而uc 的最終表達(dá)式亦為式（37）。將初始條件uc（0+） =uc（0-）==U0代入式（37），得出式（45）。進(jìn)而求出C3，將所求C3帶回式（45）求出RC電路的全響應(yīng)方程式（47）。顯然，該式右邊第一項(xiàng)是零輸入響應(yīng)（放電）;第二項(xiàng)為零狀態(tài)響應(yīng)（充電），這是疊加定理在暫態(tài)分析中的體現(xiàn)。進(jìn)一步將式（47）進(jìn)行整理得出式（48），由式（48）可見，全響應(yīng)等于穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量。

[U0=U+C3e-1RCt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（45）

[C3=U0-U]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（46）

[uc=U0e-1RC+U（1-e-tRC）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（47）

[uc=U+（U0-U）e-1RCt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （48）

3小結(jié)

一階線性微分方程是學(xué)習(xí)電路暫態(tài)分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，本文從可分離變量的微分方程入手通過具體事例詳細(xì)推導(dǎo)了可分離變量微分方程、齊次微分方程及一階非齊次線性微分方程的求解過程及求解邏輯。利用一階非齊次線性微分方程通解的標(biāo)準(zhǔn)式、齊次方程通解的標(biāo)準(zhǔn)式推導(dǎo)了RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)方程、零輸入響應(yīng)方程及RC電路全響應(yīng)方程。全面直觀地展現(xiàn)了RC電路響應(yīng)方程的數(shù)學(xué)原理。該推導(dǎo)過程同樣也可應(yīng)用于RL電路的暫態(tài)過程分析。

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【通聯(lián)編輯：唐一東】