摘? 要：數(shù)學(xué)教學(xué)要給學(xué)生留足思考的時(shí)間，讓他們深度參與、探究、交流與表達(dá)，并創(chuàng)設(shè)開(kāi)放性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主和自由的思考. 通過(guò)設(shè)置項(xiàng)目化作業(yè)，拓展學(xué)生思考的空間，將學(xué)生思維的訓(xùn)練引向縱深，真正實(shí)現(xiàn)深度思考，提升學(xué)生的思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；深度思考；思考時(shí)間；開(kāi)放性問(wèn)題；項(xiàng)目化作業(yè)

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí)，不斷經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類(lèi)比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等過(guò)程. 這些過(guò)程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學(xué)生對(duì)客觀事物中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行思考和判斷. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界. 對(duì)學(xué)生思維的訓(xùn)練就蘊(yùn)含在思考的過(guò)程中. 只有深度思考，才能真正提升學(xué)生的思維品質(zhì). 沒(méi)有思維訓(xùn)練的教學(xué)一定是淺表性、形式化、灌輸式的教學(xué)，沒(méi)有深度思考的學(xué)習(xí)并不是真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

一、充足的時(shí)間：促進(jìn)學(xué)生深度思考的保障

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，深度思考有利于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)和核心素養(yǎng)的提升，是高效優(yōu)質(zhì)課堂的保障.深度思考需要時(shí)間. 然而，一些教師為了趕超教學(xué)進(jìn)度一講到底，導(dǎo)致留給學(xué)生自主思考的時(shí)間少之又少.“教師樂(lè)于講，學(xué)生疲于聽(tīng)”的現(xiàn)象比較常見(jiàn). 在這種教學(xué)模式下，學(xué)生獲取知識(shí)依賴(lài)于告知式的靜態(tài)文本輸送和淺層模仿的機(jī)械操作，學(xué)生的思維只能浮于表層. 只有在時(shí)間充裕的情況下，學(xué)生的思考才能深入，思維才能被激活，才能對(duì)問(wèn)題有深刻的分析，才能真正實(shí)現(xiàn)深度思考.

案例1：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式.

問(wèn)題1：如何從定義出發(fā)求點(diǎn)[Px0，y0]到直線(xiàn)l：Ax + By + C = 0的距離？

給學(xué)生一些時(shí)間計(jì)算，然后提出問(wèn)題：在運(yùn)算過(guò)程中，你遇到了什么困難？

在推導(dǎo)公式時(shí)，無(wú)論是求垂足[Qx1，y1]的坐標(biāo)，還是用兩點(diǎn)間的距離公式求線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度，都對(duì)學(xué)生的運(yùn)算提出了考驗(yàn)，在后面的解析幾何的學(xué)習(xí)中學(xué)生還會(huì)遇到類(lèi)似問(wèn)題. 此時(shí)留足時(shí)間讓學(xué)生經(jīng)歷思維困境，突破思維障礙，可為解析幾何的學(xué)習(xí)中運(yùn)算的優(yōu)化提供心理基礎(chǔ).

問(wèn)題2：能否從運(yùn)算策略上進(jìn)行優(yōu)化？

給學(xué)生留足自主探究的時(shí)間，在學(xué)生有了自己的探究方案和運(yùn)算過(guò)程后，當(dāng)堂展現(xiàn)幾名學(xué)生的探究結(jié)果，讓學(xué)生說(shuō)自己的思考方法（學(xué)生想到了運(yùn)用三角函數(shù)、等面積轉(zhuǎn)化和三角形相似等策略將線(xiàn)段PQ長(zhǎng)度的計(jì)算轉(zhuǎn)化為易求的水平或垂直距離）. 在這個(gè)過(guò)程中，留給學(xué)生充足的思考時(shí)間，讓學(xué)生深度參與探究過(guò)程，充分暴露思維過(guò)程，提煉、總結(jié)并優(yōu)化其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.

問(wèn)題3：之前的運(yùn)算方案聚焦在如何求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，能否繞過(guò)求交點(diǎn)坐標(biāo)，直接從運(yùn)算目標(biāo)x1 - x0和y1 - y0入手尋找突破口？

教師引導(dǎo)學(xué)生在思考時(shí)關(guān)注求解目標(biāo)PQ =[x1-x02+y1-y02]中的x1 - x0和y1 - y0這兩個(gè)整體，留出時(shí)間讓學(xué)生思考“點(diǎn)到直線(xiàn)的距離”中隱含著“垂直”和“點(diǎn)在直線(xiàn)上”這兩個(gè)信息.

提示語(yǔ)：如何表示垂直？如何運(yùn)用點(diǎn)Q在直線(xiàn)l上？怎么樣才能得到x1 - x0和y1 - y0這兩個(gè)整體？

在教師的提示和引導(dǎo)下，學(xué)生思考片刻，得到[Bx1-x0-Ay1-y0=0，Ax1-x0+By1-y0=-Ax0+By0+C，] 然后將兩式平方相加，得[A2+B2x-x02+y-y02=C+Ax0+By02].化簡(jiǎn)，得[x1-x02+y1-y02=Ax0+By0+CA2+B2].

“將時(shí)間還給學(xué)生”不應(yīng)該只是一句口號(hào). 在課堂教學(xué)中，教師不要長(zhǎng)篇大論地講授，而要多引導(dǎo)學(xué)生自主思考，提供給學(xué)生充足的時(shí)間對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入研究. 思維的深刻性往往孕育在深度思考中，教師要讓學(xué)生有時(shí)間暴露他們的思維過(guò)程，并交流與表達(dá)他們的思考成果. 有了自己的思考與理解，學(xué)生的思維才能走向縱深；有了深度思考，才能形成高階思維，進(jìn)而發(fā)生深度學(xué)習(xí).

二、開(kāi)放性問(wèn)題：提供學(xué)生深度思考的平臺(tái)

數(shù)學(xué)思維能力是在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法分析與解決問(wèn)題的過(guò)程中形成的. 教學(xué)中，教師應(yīng)該基于學(xué)生現(xiàn)有的思維水平，轉(zhuǎn)化學(xué)生潛在的思維水平，促使學(xué)生形成新的思維最近發(fā)展區(qū). 如此循環(huán)，不斷轉(zhuǎn)化，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維不斷發(fā)展. 為了讓不同思維水平的學(xué)生都能在自己的思維發(fā)展區(qū)進(jìn)行思考，設(shè)計(jì)合適的問(wèn)題情境非常重要. 合適的問(wèn)題情境應(yīng)該具有開(kāi)放性和發(fā)散性，而發(fā)散思維正是在解決開(kāi)放性問(wèn)題的過(guò)程中形成的. 這是因?yàn)閷W(xué)生在對(duì)給出的材料和信息進(jìn)行表征時(shí)，會(huì)在思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)選擇不同的角度、方式和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行思考，這樣更容易引發(fā)深度思考.

案例2：橢圓內(nèi)接三角形面積探究課.

已知△PMN是橢圓[x22+y2=1]的內(nèi)接三角形，滿(mǎn)足 __________（試添加一個(gè)條件），探求△PMN面積的最值或取值范圍.

課堂上，學(xué)生在自己思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)提出了一系列問(wèn)題，按照三角形三個(gè)頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)整理如下.

一動(dòng)兩定：直線(xiàn)MN的方程為y = 2x，點(diǎn)P為任意一點(diǎn)；點(diǎn)M，N分別為橢圓的上頂點(diǎn)和左頂點(diǎn)，點(diǎn)P為任意一點(diǎn).

兩動(dòng)一定：點(diǎn)P為橢圓上頂點(diǎn)，PM⊥PN；點(diǎn)P為橢圓的右頂點(diǎn)，且直線(xiàn)PM，PN的斜率之積為[-12].

三個(gè)動(dòng)點(diǎn)：直線(xiàn)MN平行于長(zhǎng)軸，點(diǎn)P為任意一點(diǎn)；點(diǎn)M，N關(guān)于橢圓中心對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P為任意一點(diǎn)；直線(xiàn)PM，PN分別過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2；過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)PM，PN使它們分別經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)F1和橢圓中心O……

學(xué)生對(duì)自己提出的問(wèn)題進(jìn)行自主思考，形成解決問(wèn)題的策略與方法.

例如，對(duì)“直線(xiàn)MN的方程為y = 2x，點(diǎn)P為任意一點(diǎn)”的思考.

生1的思考，如圖1所示.

生2的思考，如圖2所示.

生1是直接表征三角形的高，而生2則有了“動(dòng)中求靜”的思考. 兩種思維方式下，運(yùn)算煩瑣程度將產(chǎn)生差別.

再如，對(duì)“點(diǎn)P為橢圓上的頂點(diǎn)，PM⊥PN”的思考.

生3的思考，如圖3所示.

生4的思考，如圖4所示.

生3屬于單向直譯的思維方式，導(dǎo)致運(yùn)算對(duì)象較多，而生4也有了“動(dòng)中求靜”的思想，在表示三角形面積時(shí)輕松很多.

在這節(jié)課中，教師創(chuàng)設(shè)開(kāi)放性問(wèn)題，學(xué)生隨堂添加條件，并對(duì)自己提出的問(wèn)題進(jìn)行分析和運(yùn)算. 不同思維水平的學(xué)生對(duì)同一問(wèn)題的表現(xiàn)呈現(xiàn)出不同的思維特征，這取決于學(xué)生的知識(shí)水平、認(rèn)知結(jié)構(gòu)和表征經(jīng)驗(yàn). 當(dāng)然，學(xué)生課堂上提出的問(wèn)題，有的可以及時(shí)解決，有的由于難度較大、開(kāi)放性較強(qiáng)而沒(méi)有得到解決. 教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生將思維的觸角延伸到課后，將思考進(jìn)行到底.???????

教師創(chuàng)設(shè)開(kāi)放性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在其思維的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行思考，將他們引向不同的思維方向. 當(dāng)學(xué)生有了自己的思維成果，并能與他人的思維成果進(jìn)行交流與碰撞時(shí)，會(huì)自發(fā)地進(jìn)行思維的矯正與融合. 這樣的過(guò)程促進(jìn)了學(xué)生思維的進(jìn)階，提升了他們的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

三、項(xiàng)目化作業(yè)：拓展學(xué)生深度思考的場(chǎng)域

項(xiàng)目化作業(yè)是以學(xué)生為本開(kāi)展的學(xué)習(xí)活動(dòng). 學(xué)生在教師的組織和引導(dǎo)下收集信息、獲取知識(shí)、探討方案，以此解決具有現(xiàn)實(shí)意義的問(wèn)題. 這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程由個(gè)體互動(dòng)所形成的意義鏈和關(guān)系鏈構(gòu)成，推動(dòng)著學(xué)生之間富有內(nèi)涵的相互學(xué)習(xí). 學(xué)生以小組為單位進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，在解決具體問(wèn)題中習(xí)得知識(shí)、鞏固技能、促進(jìn)理解. 這樣的學(xué)習(xí)能增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

案例3：測(cè)量熟悉建筑物的高度.

指導(dǎo)學(xué)生按下列環(huán)節(jié)進(jìn)行項(xiàng)目化學(xué)習(xí)：（1）成立項(xiàng)目小組，確定工作目標(biāo)，準(zhǔn)備測(cè)量工具；（2）小組成員查詢(xún)資料，進(jìn)行討論交流，尋求科學(xué)有效的測(cè)量方法，設(shè)計(jì)測(cè)量方案；（3）分工合作，明確責(zé)任，如測(cè)量并記錄數(shù)據(jù)、計(jì)算求解、撰寫(xiě)報(bào)告的分工等；（4）撰寫(xiě)報(bào)告，討論交流，展示成果.

可以看到學(xué)生在該項(xiàng)目化學(xué)習(xí)中有很多創(chuàng)新的思考.

例如，在測(cè)量工具的設(shè)計(jì)上，有學(xué)生設(shè)計(jì)“瓶筷器”（由一個(gè)盛有水的礦泉水瓶和一根筷子組成）. 其中，礦泉水瓶起水平尺的作用，筷子起鉛垂線(xiàn)的作用. 這就是創(chuàng)新思考的體現(xiàn).

又如，在測(cè)量方案上，一開(kāi)始的測(cè)量方案是：生1讓眼睛與“瓶筷器”位于同一水平線(xiàn)上，生2幫助觀察水瓶中的液面是否與瓶底平行以確定整個(gè)裝置是否處于水平狀態(tài)，生3測(cè)量眼睛到裝置末端的距離，記錄數(shù)據(jù). 再讓生1向前走2米（用卷尺測(cè)量），再次進(jìn)行上述操作. 學(xué)生畫(huà)出示意圖，如圖5所示.

數(shù)據(jù)計(jì)算與分析：設(shè)第二次測(cè)量地至樓底部距離為x米，樓的高度為h米. 由測(cè)量數(shù)據(jù)，得[0.3060.306+2+0.285+x=]

[0.2850.285+x=0.23h-1.65]，解得[x≈31，h≈26.65.] 而實(shí)際數(shù)據(jù)是每層樓高度2.9 × 6 + 車(chē)庫(kù)高度2.47 + 頂部裝飾物高度0.8 ≈ 20.67.

對(duì)比數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)上述方案產(chǎn)生的誤差較大，經(jīng)過(guò)思考調(diào)整為新方案：如圖6，生1蹲在地上，生2站在生1前方并將一支長(zhǎng)棒豎立在地面上，調(diào)整棒的高度直至生1眼中棒的手握處（視為點(diǎn)M）與樓頂（視為點(diǎn)N）重合，生3測(cè)量生1眼睛到地面的距離、生1和生2間的距離及棒的手握處距離地面的高度. 再測(cè)量生2與樓之間的距離（通過(guò)兩者之間磚頭的塊數(shù)和每塊磚的長(zhǎng)度來(lái)估算）. 設(shè)樓總高度為h米，[1.855-0.782.13=h-0.782.13+37，] 解得[h≈20.53]，此時(shí)與實(shí)際數(shù)據(jù)較接近.（樓頂裝飾包含于樓高內(nèi).）

學(xué)生反思研究方案：第一次測(cè)量時(shí)，由于裝置簡(jiǎn)陋及場(chǎng)地地面不平，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果誤差較大；第二次測(cè)量誤差較?。ㄔ?.1 ～ 0.2米內(nèi)），但測(cè)量者到樓底的距離的測(cè)量操作性不強(qiáng)，若所測(cè)物與測(cè)量者之間有障礙物（如河流等）則難以完成. 對(duì)此，可以通過(guò)改進(jìn)裝置減小測(cè)量誤差與不便，如圖7和圖8所示，這是學(xué)生創(chuàng)造性的表現(xiàn).

使用圖7時(shí)，使裝置水平后，將木條A對(duì)準(zhǔn)測(cè)量點(diǎn)，鉛垂自然下垂，讀取刻度為x. 由cosθ=x/L算出仰角θ；然后，將裝置朝測(cè)量點(diǎn)方向移動(dòng). 重復(fù)上述操作，得到仰角θ，進(jìn)而求得測(cè)量點(diǎn)的高度. 對(duì)于圖8，通過(guò)調(diào)節(jié)支架高度使水平儀處于水平位置，從而解決地面不平的問(wèn)題；移動(dòng)圓環(huán)代替“瓶筷器”可以固定觀測(cè)點(diǎn)（眼睛）；只讓圓環(huán)在水平儀上移動(dòng)可以減小測(cè)量中視線(xiàn)頻繁移動(dòng)產(chǎn)生的誤差.

不難看出，在這樣的項(xiàng)目化學(xué)習(xí)中，學(xué)生既有團(tuán)隊(duì)合作和交流，也有面對(duì)困難時(shí)對(duì)測(cè)量方案的調(diào)整與反思，還有對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)誤差的理性分析，更有對(duì)測(cè)量工具的改進(jìn)與創(chuàng)新. 整個(gè)過(guò)程融入了學(xué)生的動(dòng)手操作、分工協(xié)作、分析數(shù)據(jù)、設(shè)計(jì)裝置等活動(dòng)，學(xué)生不僅需要調(diào)取所學(xué)知識(shí)與方法進(jìn)行思考，還需要根據(jù)實(shí)際情況和數(shù)據(jù)進(jìn)行反思. 在這一系列活動(dòng)中，學(xué)生的思維得到了訓(xùn)練.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，只有做到時(shí)間上有保障、方式上有創(chuàng)新、空間上有突破，學(xué)生才能夠進(jìn)行深度思考. 這樣的思維訓(xùn)練才是有效的，才能真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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收稿日期：2022-09-11

基金項(xiàng)目：江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題——深度學(xué)習(xí)視域下高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐研究（C-c/2020/02/50）.

作者簡(jiǎn)介：丁益民（1981— ），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教材教法研究.