許洪國(guó)

【摘要】作為數(shù)學(xué)中重要的思想方法，數(shù)形結(jié)合思想推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)程.本文首先概述了現(xiàn)代數(shù)學(xué)視角下的“數(shù)形結(jié)合”，其次概述數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透路徑，最后給出數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)建議及教學(xué)設(shè)計(jì).本文的研究致力于對(duì)初中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問(wèn)題研究，可以幫助初中生更好地理解數(shù)形結(jié)合思想，并能夠靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想;解題思路;滲透路徑

近幾年，中高考中非常重視對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的考查，在考查基礎(chǔ)知識(shí)以及基本技能的基礎(chǔ)上，更加看重培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用與創(chuàng)新能力.本文介紹現(xiàn)代數(shù)學(xué)視角下的數(shù)形結(jié)合思想，在前人研究的基礎(chǔ)上對(duì)初中數(shù)學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決各類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法進(jìn)行研究與歸納總結(jié)，進(jìn)而幫助學(xué)生更好地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

1 現(xiàn)代數(shù)學(xué)視角下的“數(shù)形結(jié)合”

1.1 “數(shù)形結(jié)合”思想概念界定

“數(shù)形結(jié)合”是通過(guò)把數(shù)的抽象性和圖的直觀性結(jié)合起來(lái)的方法，使得復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化的一種思維方式.“數(shù)形結(jié)合”可以分為兩個(gè)方面：“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”.“以形助數(shù)”是指利用幾何直觀尋找解題思路，促進(jìn)代數(shù)得到進(jìn)一步發(fā)展.如借助于數(shù)軸了解絕對(duì)值的意義，探索如何比較有理數(shù).而“以數(shù)解形”是指借助數(shù)的思想實(shí)現(xiàn)圖形的精確表達(dá).如利用點(diǎn)到圓心的距離來(lái)與半徑做比較，判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系.

1.2 新課程標(biāo)準(zhǔn)下的“數(shù)形結(jié)合”

新課程標(biāo)準(zhǔn)下“數(shù)與代數(shù)”中有關(guān)“數(shù)形結(jié)合”的內(nèi)容發(fā)生了很大的改變，主要體現(xiàn)在它更加重視建立學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)換思想，并以此加深學(xué)生對(duì)“數(shù)與代數(shù)”的理解與認(rèn)識(shí).例如，運(yùn)用幾何圖形幫助學(xué)生理解和推導(dǎo)完全平方公式等都可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.挖掘教材和生活中的素材，引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)“形”的外表，探尋形與數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系.例如在筆者教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)“統(tǒng)計(jì)與概率”中的內(nèi)容不易被學(xué)生理解和掌握，結(jié)合新課程標(biāo)準(zhǔn)，運(yùn)用條形統(tǒng)計(jì)圖、折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖等來(lái)統(tǒng)計(jì)和分析數(shù)據(jù)，達(dá)到化難為易的效果，這也為訓(xùn)練數(shù)形結(jié)合思想提供了很好的機(jī)會(huì).

2 數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透路徑

數(shù)學(xué)作為數(shù)理科目學(xué)習(xí)和研究的基礎(chǔ)載體，在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，能夠?qū)⒊橄蟮拇鷶?shù)或者復(fù)雜的幾何事物轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的內(nèi)容，方便學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，可見(jiàn)數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合認(rèn)知的重要途徑.針對(duì)部分學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力弱、部分教師對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法掌握水平不高、教學(xué)缺乏等問(wèn)題，提出以下策略：

2.1 數(shù)形結(jié)合教學(xué)內(nèi)容選擇策略

數(shù)學(xué)教師不應(yīng)只把數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)解題的輔助工具，對(duì)于實(shí)際的數(shù)形結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，和數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)作用，教師應(yīng)具有清晰的認(rèn)識(shí).學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法的學(xué)習(xí)效率的優(yōu)劣，主要看數(shù)學(xué)教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容選擇的恰當(dāng)程度.因此教師需要明確數(shù)形結(jié)合能力培養(yǎng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，并體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)之中;以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力為目標(biāo)設(shè)計(jì)具體的教學(xué)計(jì)劃，促使數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng).

這些年，國(guó)內(nèi)很多初中都致力于對(duì)數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法的推廣，如襄陽(yáng)四中，華師一附中等，對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想方法用于數(shù)學(xué)教學(xué)運(yùn)用廣泛，并且得到了很大的成效，特別是數(shù)學(xué)成績(jī)的提升尤為凸顯.可見(jiàn)，學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)劣和數(shù)學(xué)邏輯的認(rèn)知，離不開(kāi)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng).例如教師在講授函數(shù)問(wèn)題時(shí)，就可以使用圖象解題，利用具體的圖象研究函數(shù)的變化.值得注意的是數(shù)形結(jié)合的教學(xué)應(yīng)該是系統(tǒng)的，循序漸進(jìn)的，根據(jù)學(xué)生對(duì)于數(shù)形結(jié)合能力，適當(dāng)調(diào)整.數(shù)學(xué)教師的數(shù)形結(jié)合的教學(xué)內(nèi)容，也要和學(xué)生所學(xué)密切相關(guān).盡量避免零散使用，導(dǎo)致學(xué)生喪失對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的重視程度.

2.2 學(xué)生學(xué)法教學(xué)、教師教法策略

針對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合運(yùn)用能力較為薄弱的問(wèn)題，需要引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的科學(xué)觀念，注重?cái)?shù)學(xué)思想的探究，提升數(shù)形結(jié)合探究的積極性，找到適合自己的數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)方法，靈活處理較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，使學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，樹(shù)立數(shù)形結(jié)合概念，提高數(shù)形結(jié)合能力.針對(duì)部分教師對(duì)數(shù)形結(jié)合不足的問(wèn)題，學(xué)校應(yīng)該重視對(duì)老師數(shù)形結(jié)合運(yùn)用相關(guān)的培訓(xùn)，師范類(lèi)院校也應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)理念的傳授，重視數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)作用.

現(xiàn)如今，有很多學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)較困難，不愿意進(jìn)行學(xué)習(xí)，因此就需要數(shù)學(xué)教師改變教學(xué)策略，在講課時(shí)要達(dá)到生動(dòng)有趣，建議多運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式解題和進(jìn)行教學(xué).注重?cái)?shù)學(xué)師范生數(shù)學(xué)思想的教學(xué)和在職教師的技能培訓(xùn).各師范類(lèi)院校應(yīng)加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科師范生的數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，讓數(shù)學(xué)師范生在入職前掌握的數(shù)學(xué)思想的掌握足以支撐進(jìn)行初中的數(shù)學(xué)學(xué)科的授課.同時(shí)主張初中時(shí)期強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科老師的數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，使在職教師在教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法更加得心應(yīng)手.

2.3 數(shù)形結(jié)合能力評(píng)價(jià)策略

當(dāng)今教育界對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想方法的理論作用和解題作用都是十分肯定的，但是，大部分教師對(duì)思想的實(shí)際意義認(rèn)知卻是不足的，其根本原因是因?yàn)闆](méi)有完善的具體的數(shù)學(xué)教學(xué)的評(píng)價(jià)機(jī)制.這是由于我國(guó)現(xiàn)存的應(yīng)試教育的現(xiàn)狀導(dǎo)致的，評(píng)價(jià)的重要標(biāo)準(zhǔn)始終是成績(jī)的高低，而新課改是我們不得不去重視，數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，使之更適應(yīng)新課改的要求，更符合學(xué)生的發(fā)展，更滿(mǎn)足社會(huì)的需要.

3 數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)建議及教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1 教學(xué)建議

對(duì)于初中生而言，依靠教材只能形成基本的理解，想要形成對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的深刻認(rèn)識(shí)，教師的作用不可缺少，在教學(xué)工作的各個(gè)基本環(huán)節(jié)都要設(shè)計(jì)滲透方案.例如在初中數(shù)學(xué)教材中的不等式章節(jié)，在許多方面都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，并且在編排上符合初中生的認(rèn)知規(guī)律.

3.1.1 在備課時(shí)融入數(shù)形結(jié)合思想

備課環(huán)節(jié)是教學(xué)工作的初始，是上好一節(jié)課的前提條件.教師在備課時(shí)要仔細(xì)鉆研教材，深刻研究在課程標(biāo)準(zhǔn)、教科書(shū)以及參考資料中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想;要了解學(xué)生的知識(shí)掌握情況，預(yù)設(shè)學(xué)生的不解之處，并針對(duì)這些困難給出相應(yīng)的解決策略;要針對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容合理地設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，同時(shí)要認(rèn)真設(shè)計(jì)數(shù)形結(jié)合思想的有效滲透途徑，使學(xué)生更好地參與到教學(xué)活動(dòng)中.

3.1.2 在課堂教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想

上課環(huán)節(jié)是教學(xué)工作的中心，是上好一節(jié)課的直接體現(xiàn).在上課時(shí)，要制定明確的目標(biāo)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，確保教學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確性，不能出現(xiàn)知識(shí)上的錯(cuò)誤，選取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，將數(shù)形結(jié)合思想融入其中，以取得更好的教學(xué)效果，要確保課堂結(jié)構(gòu)緊湊，注意課程內(nèi)容的詳略得當(dāng)，銜接好課上的各個(gè)環(huán)節(jié)，要深入各個(gè)知識(shí)點(diǎn)背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生體會(huì)到其中數(shù)與形的融合.

此外，在上課時(shí)要體現(xiàn)學(xué)生的主體性，讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究的過(guò)程.例如，在探究不等式的解法中引入函數(shù)圖象時(shí)，可以讓學(xué)生先動(dòng)手畫(huà)圖，觀察圖象的性質(zhì)，得出相應(yīng)的結(jié)論，教師再加以點(diǎn)撥，這樣，學(xué)生就能更好地領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想.

3.1.3 在布置課外作業(yè)時(shí)體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想

課外作業(yè)環(huán)節(jié)是對(duì)課堂的補(bǔ)充.通過(guò)此環(huán)節(jié)，學(xué)生能夠提升技巧，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的意識(shí).因此，把握好布置作業(yè)的環(huán)節(jié)，有助于學(xué)生鞏固課上所接觸的數(shù)形結(jié)合思想.例如，在不等式章節(jié)布置課后作業(yè)時(shí)，可以設(shè)計(jì)題目，讓學(xué)生經(jīng)歷如下過(guò)程：

不等式的提煉? 運(yùn)用圖形解不等式? 用不等式解決生活實(shí)際問(wèn)題

此外，還可以推薦學(xué)生閱讀一些有關(guān)于該思想的書(shū)籍，啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，豐富學(xué)生的課外生活.

3.1.4 在課外輔導(dǎo)環(huán)節(jié)總結(jié)數(shù)形結(jié)合思想

課外輔導(dǎo)是教師在課堂教學(xué)之外對(duì)學(xué)生的指導(dǎo).在此環(huán)節(jié)，要注意因材施教，設(shè)定符合學(xué)生個(gè)性的輔導(dǎo)策略.因此，在此環(huán)節(jié)，教師應(yīng)該以提問(wèn)和啟發(fā)為主，帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)和回顧先前所滲透的數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)于學(xué)生有疑問(wèn)和疏漏的部分針對(duì)性答疑解惑.

3.1.5 在學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)時(shí)內(nèi)化數(shù)形結(jié)合思想

在評(píng)價(jià)學(xué)業(yè)成績(jī)時(shí)，要注意從多維度進(jìn)行評(píng)價(jià)，關(guān)注學(xué)生的創(chuàng)造性思維.在此環(huán)節(jié)，可以以口頭提問(wèn)的方式，考查學(xué)生在不等式章節(jié)中對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的掌握程度.長(zhǎng)此以往，學(xué)生能形成自覺(jué)性，將數(shù)學(xué)思想內(nèi)化于心，并能夠合理運(yùn)用.

3.2 以不等式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)分析

教學(xué)設(shè)計(jì)的高質(zhì)量完成對(duì)于課堂教學(xué)能夠取得好的效果至關(guān)重要，同時(shí)也是在課堂上滲透數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)保障.

筆者以《二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，給出了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行課堂教學(xué)的滲透途徑.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用主要有下述幾類(lèi)：一是“以形助數(shù)”，即利用圖形的直觀性、簡(jiǎn)潔性，闡述數(shù)量間的某種關(guān)系，將數(shù)量轉(zhuǎn)化為圖形來(lái)求解;二是“以數(shù)解形”，即借助數(shù)量的準(zhǔn)確性、抽象性，闡述圖形的某些屬性，將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)量來(lái)解決;三是“形數(shù)互變”，即通過(guò)數(shù)和形相互轉(zhuǎn)化，使繁雜的問(wèn)題簡(jiǎn)易化，抽象的問(wèn)題直觀化，使解題的過(guò)程更加容易實(shí)現(xiàn).由于不等式體現(xiàn)的主要是兩個(gè)量之間的大于小于關(guān)系，即數(shù)量關(guān)系.

授課過(guò)程中，筆者在解不等式時(shí)，采用的是“以形助數(shù)”的方式，將數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圖形問(wèn)題;在用不等式表示幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系時(shí)，采用的是“以數(shù)解形”的方式，抽象出其中的數(shù)量關(guān)系，將圖形中的線(xiàn)段長(zhǎng)度與長(zhǎng)短關(guān)系提煉成為不等式;在解決復(fù)雜的綜合問(wèn)題時(shí)，采用的是 “形數(shù)互變”的方式，從已知的條件和結(jié)論同時(shí)出發(fā)，認(rèn)真分析內(nèi)在的數(shù)形關(guān)系，來(lái)解決復(fù)雜的不等式問(wèn)題.

在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師在授課時(shí)能夠充分與學(xué)生互動(dòng)，課堂提問(wèn)、小組討論等環(huán)節(jié)充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，體現(xiàn)了學(xué)生在課堂中的主體地位.對(duì)于不等式解法的推導(dǎo)過(guò)程，以提問(wèn)的形式，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，自主發(fā)現(xiàn)，并與同學(xué)進(jìn)行討論，共同學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神、合作精神.

課后反思中發(fā)現(xiàn)本節(jié)課的缺點(diǎn)是對(duì)于課上各個(gè)環(huán)節(jié)之間的銜接不夠恰當(dāng)，沒(méi)有做到自然過(guò)渡，對(duì)于例題的講解較少，應(yīng)該多一些對(duì)于解題過(guò)程的示范.在總體上，本節(jié)課給出了數(shù)形結(jié)合思想在不等式教學(xué)中的滲透途徑，并給予學(xué)生此方面的啟示，有效提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

4 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，將數(shù)形結(jié)合思想滲透到初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中可以降低課程的難度，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新思維，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)強(qiáng)大的助力，其教育價(jià)值值得深刻地挖掘.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教材中不等式章節(jié)的每一部分當(dāng)中都有所體現(xiàn)，在解不等式、證明不等式時(shí)，主要體現(xiàn)的是“以形助數(shù)”;在應(yīng)用不等式表示存在于幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系之時(shí)，主要體現(xiàn)的是“以數(shù)解形”;在涉及復(fù)雜的不等式綜合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，主要體現(xiàn)的是“形數(shù)互變”.

當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合思想的滲透過(guò)程是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，需要教師做好備課、上課、課外作業(yè)、課外輔導(dǎo)以及學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)等環(huán)節(jié)的工作，并通過(guò)日積月累的堅(jiān)持，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的能力，只有這樣才能真正地提高學(xué)生的思想境界，對(duì)學(xué)生未來(lái)的發(fā)展產(chǎn)生深刻的影響.

參考文獻(xiàn)：

[1]金國(guó)宏.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透路徑[J].愛(ài)情婚姻家庭：教育科研，2021（8）：1.

[2]秦美玲.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透分析[J].國(guó)際教育論壇，2020，2（5）：140.

[3]張加亮.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透與應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法[J].中國(guó)教育技術(shù)裝備，2011（13）：2.

[4]汪忠琴.從“同課異構(gòu)”課看初中數(shù)學(xué)課堂的有效構(gòu)建——從“命題與證明（第一課時(shí)）”的兩個(gè)案例談起[J].考試周刊，2017（100）：1.

[5]張文珠執(zhí)教，浦?jǐn)⒌略u(píng)析.基于學(xué)生，整合資源，引領(lǐng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)走向有效——從一節(jié)數(shù)學(xué)研討課“菱形”（第一課時(shí)）談起[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育：初中版，2009（12）：13-15.