耿夢喬，姜 旋，樓晨煊，龐清宇，白在橋，王愛記

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

同步是指多個動力學(xué)個體行為上的一致性，在自然界處處可見. 350多年前，惠更斯對于鐘擺同步現(xiàn)象的探索，揭開了人們對同步現(xiàn)象研究的序幕[1]. 在物理領(lǐng)域，利用非線性電路的混沌同步來實(shí)現(xiàn)信號的加密；在生物領(lǐng)域，通過研究同步雌雄異熟來研究克隆植物的進(jìn)化意義[2]；在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，可以通過研究腦電圖額-枕同步放電現(xiàn)象來研究癲癇問題[3]. 同步現(xiàn)象對于現(xiàn)實(shí)世界復(fù)雜系統(tǒng)集體行為的研究提供了新的范式，能幫助我們進(jìn)一步理解復(fù)雜系統(tǒng)的功能是如何實(shí)現(xiàn)的，并根據(jù)同步原理設(shè)計具有新功能的系統(tǒng)；同時，同步現(xiàn)象有時也會造成不利影響，對同步的研究也可以規(guī)避這部分風(fēng)險.

張弛振蕩實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)裝置是由RC充電電路[4]和氣體放電管組成的非線性電路，可以實(shí)現(xiàn)氣體放電管的張弛振蕩. 以此為基礎(chǔ)，用光敏電阻[5]代替原電路中的定值電阻，利用氣體放電管的輝光放電特性與光敏電阻遇光電阻變小的特性，可以使得多個張弛振蕩電路之間發(fā)生相互耦合，各電路的周期受到調(diào)制，在一定條件下可以實(shí)現(xiàn)周期同步[6].

本文首先在實(shí)驗(yàn)上觀察到了上述同步現(xiàn)象，之后利用Mathematica軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，對放電管同步的成因進(jìn)行分析，并探究實(shí)驗(yàn)中影響氣體放電管達(dá)成同步的條件.

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 張弛振蕩

氣體放電管(簡稱為“放電管”)內(nèi)含有惰性氣體，可通過電極施加直流電壓. 當(dāng)放電管兩端電壓小于氣體的擊穿電壓Uj時，里面的惰性氣體不會被擊穿，可以認(rèn)為此時是斷路；當(dāng)放電管兩端電壓大于Uj時，氣體發(fā)生輝光放電，此時放電管處于導(dǎo)通狀態(tài). 考慮在電源電動勢為ε的RC充電電路中，電容兩端的電壓會逐漸升高，因此將放電管與RC充電電路的電容并聯(lián)，如圖1所示.

圖1 張弛振蕩電路圖

當(dāng)電容兩端電壓超過Uj時，放電管發(fā)生輝光放電，使電容放電；當(dāng)放電管兩端電壓下降至穩(wěn)定電壓Ud后，放電管停止輝光放電. 輝光放電的持續(xù)時間t0通常很小可以認(rèn)為是瞬間完成. 圖1中的R0只影響放電管的放電速度，即影響放電時間t0，起到保護(hù)電阻的作用. 之后電容繼續(xù)充電，

使得電壓再次達(dá)到Uj，由此循環(huán)往復(fù)，形成張弛振蕩現(xiàn)象.

放電管相鄰2次輝光放電的時間間隔(簡稱為“振蕩周期”)為

(1)

其中，R為電路中定值電阻的阻值，C為電容器的電容.

同時，可以定義周期差(表示2個放電管在獨(dú)立運(yùn)行時振蕩周期之差的絕對值)

ΔT=|T1-T2|,

(2)

該周期差概念可以推廣到多個電路.

1.2 放電管同步

放電管同步(簡稱為“同步”)是指2個或多個放電管在相互耦合之后振蕩周期達(dá)到一致的現(xiàn)象. 本實(shí)驗(yàn)的目的是要通過設(shè)計新的張弛振蕩電路，讓周期差不為0的2個乃至多個放電管達(dá)到同步.

根據(jù)式(1)可知，放電管的振蕩周期與電路中的電阻正相關(guān). 如果電路中的電阻變化，那么放電管的振蕩周期就會隨之變化. 基于此思路，結(jié)合放電管的輝光放電特性，將定值電阻換成光敏電阻，形成新的張弛振蕩電路.

設(shè)計2個張弛振蕩電路——分別記為電路1和電路2. 將放電管1與光敏電阻R2置于暗室，放電管2與光敏電阻R1置于另一個暗室，且這2個暗室互不影響，如圖2所示. 當(dāng)放電管1發(fā)生輝光放電時，影響光敏電阻R2的阻值，進(jìn)而影響放電管2的振蕩周期. 同理，放電管2輝光放電也會影響放電管1的振蕩周期. 經(jīng)過2個電路之間的相互耦合，最終會使得2個放電管的振蕩周期達(dá)到一致，即同步.

圖2 2個耦合的張弛振蕩電路的電路圖

為了探究放電管同步的條件，需要解電路的微分方程. 假設(shè)當(dāng)光敏電阻受到放電管影響時電阻瞬間下降到rmin. 顯然，光敏電阻的阻值r=r(t)和放電管兩端的電壓u=u(t)均為分段函數(shù). 根據(jù)該非線性電路的特點(diǎn)，可得到：

(3)

其中，R為電路中固定電阻的阻值，r為光敏電阻的阻值.

根據(jù)電路的性質(zhì)可知，當(dāng)u=Uj時，放電管發(fā)生輝光放電，之后u降到Ud，Uj和Ud是u(t)這一分段函數(shù)每一段端點(diǎn)的取值，該過程也會影響到另一個電路中光敏電阻阻值的變化. 因此，根據(jù)式(3)求解出u(t)的圖像可以判斷2個放電管是否達(dá)到同步，進(jìn)而分析得到影響同步的因素.

2 實(shí)驗(yàn)及數(shù)值模擬結(jié)果

2.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

式(3)中r只依賴于光敏電阻自身的性質(zhì). 取2個電路中的光敏電阻，測量這2個光敏電阻受到放電管輝光放電影響之后的伏安特性曲線，采集數(shù)據(jù)之后進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合.

利用示波器，可得到光敏電阻經(jīng)過短暫光脈沖后，在電路中的分壓隨時間變化的曲線. 由于光敏電阻載流子的湮滅往往成指數(shù)變化,且實(shí)際情況中無法做到完全黑暗，因此光敏電阻存在最大暗電阻阻值，記為rmax. 基于此，給出經(jīng)驗(yàn)公式

(4)

其中τ是光敏電阻的時間常量,Ti(i=0,1,2,…；T0=0)為光敏電阻受到光脈沖的時刻. 利用式(4)對所得數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖3所示.

圖3 擬合曲線與數(shù)據(jù)點(diǎn)對比圖

為證實(shí)放電管的同步是否能實(shí)現(xiàn)，按照圖2搭建實(shí)驗(yàn)電路，所用的電動勢是最高300 V的可調(diào)電動勢，電容均為1 μF，電阻均為10 MΩ. 為了使得2電路放電管周期可調(diào)，在2電路中串聯(lián)電阻箱. 同時，2個電路均使用示波器測量定值電阻與光敏電阻串聯(lián)之后的兩端電壓.

實(shí)驗(yàn)中，單獨(dú)接通電路1，發(fā)現(xiàn)其周期為4.493 s. 之后通過調(diào)節(jié)電動勢和電阻箱阻值來改變電路2的周期，最終發(fā)現(xiàn)當(dāng)電路2周期為3.727 s時，2個電路達(dá)到同步(如圖4所示)，同步周期為1.719 s. 在微調(diào)電路2的電阻箱后發(fā)現(xiàn)，雖然電路2的周期會微小改變，但1和2兩電路在相互作用后仍能達(dá)到同步. 這說明，2個電路之間存在相互作用，且這種相互作用使得2個電路由原來的周期不一致達(dá)到同步，即在實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證了放電管的同步現(xiàn)象.

2.2 模擬結(jié)果

下面分析兩電路耦合的系統(tǒng)，用下標(biāo)k來代指電路1或2. 根據(jù)上文，電路k中的rk(t)和uk(t)滿足式(3).

當(dāng)電路k中的放電管在Tk，i+1時刻輝光放電后，該電路放電管兩端的電壓會從擊穿電壓Uk，j突變到穩(wěn)定電壓Uk,d，如圖5中的標(biāo)注所示，表達(dá)式為

(5)

同時，電路k′的光敏電阻阻值會受影響，滿足式(4).

整理式(3)～(5)，得到如下方程組

(6)

其中k=1,2;k′=1,2;k≠k′. 式中的字母所代表的物理量和前文所述一致，僅用下標(biāo)區(qū)別2個電路. 根據(jù)式(6),利用Mathematica軟件畫出u(t)的函數(shù)曲線，如圖5所示.

圖5 未同步時兩電路中電容兩端電壓隨時間的變化

由于實(shí)際實(shí)驗(yàn)過程中，示波器測量的是兩電路中定值電阻與光敏電阻兩端的電壓而非放電管兩端的電壓，二者曲線應(yīng)關(guān)于u=0.5ε對稱. 對比圖4和圖5可以看出，模擬曲線和實(shí)際曲線符合對稱關(guān)系，說明模擬是合理的.

2.3 探究同步的影響因素

計算出u(t)的函數(shù)曲線之后，調(diào)節(jié)ε,R,C,Uj和Ud等參量，重復(fù)2.2，觀察兩電路振蕩周期的相圖，以此判斷兩電路是否同步.

由于在實(shí)際情況中，放電管的放電時間t0取值在50 ms左右，相比較振蕩周期可忽略不計，所以在最開始的程序中忽略了這段時間，結(jié)果發(fā)現(xiàn)只有周期差為0的2個電路才能實(shí)現(xiàn)同步，且沒有發(fā)現(xiàn)耦合過程，這顯然與實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符. 導(dǎo)致該結(jié)果的原因正是忽略了t0. 雖然t0相比振蕩周期來說可以忽略，但光敏電阻的阻值變化不能被忽略，尤其是在電阻開始恢復(fù)的初期.

對圖4中放電的過程進(jìn)行分析，如圖6所示. 綠線表示電路1的定值電阻與光敏電阻兩端電壓，黃線表示電路2的定值電阻與光敏電阻兩端電壓. 電路1的放電管在①處開始輝光放電，在②處結(jié)束；電路2的放電管在③處開始輝光放電，在④處結(jié)束. 從圖4可以看出放電管輝光放電的時間與其振蕩周期相比可以忽略，近似為1條豎直線. 但對于光敏電阻來說，這段時間不能被忽略.

圖6 放電管輝光放電的瞬間

圖7 電路1光敏電阻在輝光放電時間內(nèi)的變化示意圖

基于此，在原來程序的基礎(chǔ)上增加條件：即當(dāng)電路k(k=1，2)的放電管在t=Tk，i時放電，那電路k的光敏電阻阻值將從rk(Tk，i)突變?yōu)閞k(Tk，i+t0)，這樣既考慮到了放電管輝光放電的時間對光敏電阻阻值的影響，又在波形圖上忽略了這段時間對振蕩周期的影響.

在經(jīng)過上述調(diào)整后，在程序上實(shí)現(xiàn)了周期差不為0的2個放電管的同步,如圖8所示，說明t0是影響放電管能否同步的因素之一.

圖8 改進(jìn)程序后兩電路的T-n曲線

圖8中的n表示第n次輝光放電. 根據(jù)圖8可以看出在前60次輝光放電的過程中存在相互調(diào)節(jié)的耦合過程，在60次之后兩放電管達(dá)到同步. 顯然，對于同個t0,2個放電管的周期差越小，越容易達(dá)到同步. 如果兩放電管的周期差過大，就無法達(dá)到同步，如圖9所示.

圖9 周期差過大的兩放電管未同步

考慮到光敏電阻τ越小，在t0的時間內(nèi)阻值恢復(fù)得越快，因此τ也是影響放電管是否能同步的影響因素之一. 在圖9所示的電路中調(diào)節(jié)τ，2個電路依舊可以同步，這就證明了這一猜想，其結(jié)果如圖10所示.

圖10 調(diào)整τ后兩放電管同步

同樣，對于相同τ, 如果2個放電管的周期差過大，就無法達(dá)到同步. 因此，對于相同的t0和τ，存在極限周期差ΔT<ΔTmax,當(dāng)兩放電管的周期差小于ΔTmax時，兩放電管可以達(dá)到同步，反之則不能達(dá)到同步. 因此，ΔTmax是決定2個放電管能否同步的決定性因素，而t0和τ正是通過影響ΔTmax來決定兩放電管是否能達(dá)到同步.

根據(jù)進(jìn)一步的模擬結(jié)果可以得出，ΔTmax與t0成正相關(guān)，但與τ的關(guān)系比較復(fù)雜，具體關(guān)系如圖11所示.

(a)

現(xiàn)定性地解釋上述結(jié)果：

1)保持τ不變，ΔTmax與t0成正相關(guān)，隨著t0的增大，t0對ΔTmax的影響減小.

2)保持t0不變，τ較小時，ΔTmax與τ成正相關(guān)；τ較大時，ΔTmax與τ成負(fù)相關(guān)

2.4 多電路模擬

現(xiàn)在將上述電路推廣到3個電路，分別記為電路1,2和3. 現(xiàn)在令電路1的放電管影響電路2和3的光敏電阻，電路2的放電管影響電路1和電路3的光敏電阻，電路3的放電管影響電路1和電路2的光敏電阻. 經(jīng)過模擬發(fā)現(xiàn)，在適宜的周期差下這3個放電管也能達(dá)到同步. 如圖12所示，在30次輝光放電后，3個放電管達(dá)到同步.

圖12 3個電路的放電管同步

理論上，該模型可以推廣到n個電路，即第i個電路的放電管可以影響其他所有電路的光敏電阻，那么只要這n個放電管的周期差不太大，最終都會達(dá)到同步.

3 總結(jié)與展望

首先通過實(shí)驗(yàn)測量及數(shù)據(jù)擬合，驗(yàn)證了光敏電阻在受到光脈沖后，其阻值變化滿足式(3). 在編寫模擬程序時利用此結(jié)論得到了與實(shí)際相近的波形結(jié)果. 其次，探究了影響2張弛振蕩電路能否同步的因素，并指出決定2個放電管是否能達(dá)到同步的3個因素：a.2個電路獨(dú)立運(yùn)行時的周期差ΔT;b.放電管輝光放電的持續(xù)時間t0;c.光敏電阻的時間常量τ.保持t0與τ不變時，需滿足ΔT<ΔTmax，兩電路方可同步. 經(jīng)數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，ΔTmax=ΔTmax(t0,τ)，且ΔTmax與t0正相關(guān)，與τ先是正相關(guān)之后是負(fù)相關(guān)關(guān)系，并對該現(xiàn)象進(jìn)行了定性分析. 最后將該實(shí)驗(yàn)的模擬推廣到多個電路，發(fā)現(xiàn)在多個電路中放電管的同步依舊可以實(shí)現(xiàn).