周萍

【摘 要】小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)之一，在于如何有效地幫助學(xué)生完成一個(gè)“數(shù)學(xué)化”的抽象過(guò)程。本文結(jié)合實(shí)例，提出“變式優(yōu)化、題組對(duì)比、多元應(yīng)用、理論建構(gòu)”四種課堂實(shí)踐策略。這四種策略是逐層推進(jìn)、循序漸進(jìn)的。教師通過(guò)運(yùn)用這些策略，讓學(xué)生思維中初步構(gòu)建起來(lái)的“模型”得到確立與優(yōu)化，從而讓學(xué)生在主動(dòng)建構(gòu)中形成模型意識(shí)，建立模型思維。

【關(guān)鍵詞】變式優(yōu)化 題組對(duì)比 多元應(yīng)用 理論建構(gòu) 數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模其實(shí)是建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題這一過(guò)程的簡(jiǎn)稱。目前，學(xué)術(shù)界對(duì)數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model）還沒(méi)有一個(gè)較為統(tǒng)一的定義。張奠宙認(rèn)為，廣義地講，數(shù)學(xué)中各種基本概念和基本算法，都可以叫作數(shù)學(xué)模型。加減乘除都有各自的現(xiàn)實(shí)原型，它們都是以各自相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型作為背景抽象出來(lái)的。按照比較狹義的解釋，只有那些反映特定問(wèn)題或特定的具體事物系統(tǒng)和數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)的才叫作數(shù)學(xué)模型[1]。我們認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更多地屬于廣義層面的理解。如一年級(jí)學(xué)生認(rèn)識(shí)的自然數(shù)“1”是“1個(gè)人”“1件物品”等抽象的結(jié)果，這里的“1”就是反映這些事物共性的一個(gè)數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)建模的過(guò)程是一個(gè)實(shí)踐活動(dòng)的過(guò)程（建模），也是一個(gè)不斷優(yōu)化、深化的心理過(guò)程（優(yōu)模）。數(shù)學(xué)模型的建立不是最終目的，而讓學(xué)生對(duì)模型不斷完善與優(yōu)化，促進(jìn)對(duì)模型的認(rèn)識(shí)與深化，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，形成初步的建模思想，才是數(shù)學(xué)建模的目標(biāo)所在。小學(xué)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，在教學(xué)實(shí)踐中，教師可以采用如下策略。

一、運(yùn)用變式優(yōu)化策略，讓“模型”更完善

變式教學(xué)是在教學(xué)中使學(xué)生確切掌握概念的重要方式之一，即在教學(xué)中用不同的直觀材料或事例說(shuō)明事物的本質(zhì)屬性，或變換同類事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)特征。目的在于讓學(xué)生了解哪些是事物的本質(zhì)特征，哪些是事物的非本質(zhì)特征，從而對(duì)一事物形成科學(xué)概念[2]。數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)需要學(xué)生有足夠強(qiáng)的創(chuàng)造性思維，能將抽象的問(wèn)題去除非本質(zhì)的特征，建構(gòu)出最基本的數(shù)學(xué)模型。而變式教學(xué)能讓學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看出本質(zhì)，使建構(gòu)出的數(shù)學(xué)模型更完善。

蘇教版數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)“六、表內(nèi)乘法和表內(nèi)除法（二）”，在教學(xué)完練習(xí)十一的第7題，學(xué)生們建構(gòu)了本節(jié)課的數(shù)學(xué)模型之后，教師設(shè)計(jì)了如下環(huán)節(jié)。

師：今天，我們認(rèn)識(shí)了3個(gè)新朋友，并知道了它們之間的關(guān)系，下面我們就用這樣的數(shù)量關(guān)系式來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題。

（板書(shū)數(shù)量關(guān)系式：總數(shù)÷每份的個(gè)數(shù)=份數(shù);

總數(shù)÷份數(shù)=每份的個(gè)數(shù)）

（出示題目：參加跳遠(yuǎn)比賽，二年級(jí)一班有17人，二班有15人。每8人一組，可以分成幾組？）

（學(xué)生嘗試獨(dú)立完成，教師巡視并對(duì)有困難的學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)，指名匯報(bào)）

生：17+15=32（人），32÷8=4（組）。

師：對(duì)比一下，這一題和之前解決的問(wèn)題有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生：相同點(diǎn)是我們都依據(jù)“總數(shù)÷每份的個(gè)數(shù)=

份數(shù)”來(lái)解決;不同點(diǎn)是條件中只告訴我們每份的個(gè)數(shù)是8，卻沒(méi)有直接告訴我們總數(shù)，所以要先用17+15=32（人）算出總數(shù)，然后再依據(jù)“總數(shù)÷每份的個(gè)數(shù)=份數(shù)”算出可以分成4組。

師：說(shuō)得真好！掌聲送給他。

師：在解決問(wèn)題時(shí)，我們要學(xué)會(huì)根據(jù)問(wèn)題尋找適合的數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系去找一找哪些條件是已知的，哪些是未知的，未知的條件又可以通過(guò)哪些已知條件得到。

在解決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)中，我們通常采取的變式訓(xùn)練為擴(kuò)縮性變式，即把一個(gè)只需一步或兩步計(jì)算的實(shí)際問(wèn)題改變成需要兩步或三步計(jì)算才能解決的實(shí)際問(wèn)題，抑或反之。在上一環(huán)節(jié)中，學(xué)生已經(jīng)清晰建構(gòu)了與本題相關(guān)的數(shù)學(xué)模型：總數(shù)÷每份的個(gè)數(shù)=份數(shù)，并能運(yùn)用模型直接解決實(shí)際問(wèn)題。此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)使數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜地發(fā)生了變化，在運(yùn)用模型解決問(wèn)題時(shí)，原模型中的總數(shù)并沒(méi)有直接給出，需要用加法模型求出總數(shù)，然后再運(yùn)用剛剛建構(gòu)的模型解決問(wèn)題。通過(guò)這樣一步計(jì)算到兩步計(jì)算的變式訓(xùn)練，學(xué)生對(duì)模型的理解不再是狹隘的，并且問(wèn)題解決的方向是明確的，即：總數(shù)÷每份的個(gè)數(shù)=份數(shù)。變式優(yōu)化擴(kuò)展了學(xué)生的思維，進(jìn)一步完善了初建的數(shù)學(xué)模型。從問(wèn)題出發(fā)確定數(shù)量關(guān)系（數(shù)學(xué)模型），再依據(jù)數(shù)量關(guān)系（數(shù)學(xué)模型）尋找條件，并能感悟到未知的條件可以通過(guò)已知的條件得到。這樣的變式優(yōu)化能讓學(xué)生感受到問(wèn)題發(fā)展和變化的本質(zhì)，有利于學(xué)生完善數(shù)學(xué)模型。

二、運(yùn)用題組對(duì)比策略，讓“模型”更清晰

題組教學(xué)就是將不同的但有內(nèi)在聯(lián)系的問(wèn)題組合在一起，以溝通相關(guān)知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力。題組教學(xué)可以為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)理解數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)。正如布魯納所說(shuō)，獲得的知識(shí)，如果沒(méi)有完滿的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)系起來(lái)，那是一種多半會(huì)被遺忘的知識(shí)[3]。因此，教師在組織教學(xué)時(shí)，需要精心設(shè)計(jì)相似的題組，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得某種具有“模型”意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并使這種“模型”更加清晰。

蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“六、百分?jǐn)?shù)”中，在教學(xué)完例題10和練一練第1題后，筆者設(shè)計(jì)了如下題組對(duì)比練習(xí)。

1.馬山糧庫(kù)要往外地調(diào)運(yùn)一批糧食，已經(jīng)運(yùn)走了60%，還剩48噸。這批糧食一共有多少噸？

2.西林小學(xué)六年級(jí)有男生94人，女生人數(shù)占全年級(jí)總?cè)藬?shù)的53%，六年級(jí)一共有多少人？

1.解：設(shè)這批糧食一共有x噸。

x – 60%x=48

40%x=48

x=120

答：這批糧食一共有120噸。

2.解：設(shè)六年級(jí)一共有x人。

x – 53%x=94

47%x=94

x=200

答：六年級(jí)一共有200人。

師：觀察這兩道題，有什么不同和相同之處？

生：不同之處是它們的問(wèn)題情境不一樣;相同之處是這兩道題都是單位“1”的量未知，已知部分量占總量的百分之幾和另一部分量，求總量，我們解決問(wèn)題時(shí)方法是一樣的。

師：說(shuō)得真好！你們又是如何解決這類實(shí)際問(wèn)題的呢？

生：設(shè)單位“1”的量為x，依據(jù)“總量–一部分量=另一部分量”這一數(shù)量關(guān)系列方程解決。

教師通過(guò)例題10和練一練第1題的對(duì)比，讓學(xué)生總結(jié)出解決這類題的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生進(jìn)一步感知解決這類問(wèn)題是有一個(gè)“模型”的，即：先理解題意，找出題中的數(shù)量關(guān)系，當(dāng)單位“1”未知時(shí)，設(shè)單位“1”的量為x，然后列方程解答。此環(huán)節(jié)從求“這批糧食一共有多少噸”到求“六年級(jí)一共有多少人”，這個(gè)相似題組的設(shè)計(jì)只是換了問(wèn)題的“外殼”，雖然問(wèn)題的情境在變化，但問(wèn)題的本質(zhì)—數(shù)量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系是不變的。教師追問(wèn)：“觀察這兩道題，有什么不同和相同之處？”“你們又是如何解決這類實(shí)際問(wèn)題的呢？”讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)比、聯(lián)系、分析、總結(jié)，對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)進(jìn)行類推與抽象。學(xué)生在對(duì)比、總結(jié)的過(guò)程中認(rèn)識(shí)到這兩道題都是：（1）單位“1”的量未知;（2）已知部分量占總量的百分之幾和另一部分量，求總量。逐漸形成在解決這類問(wèn)題時(shí)設(shè)單位“1”的量為x，依據(jù)“總量–一部分量=另一部分量”這一數(shù)量關(guān)系列方程的解題策略，使得剛建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型更加清晰。

三、運(yùn)用多元應(yīng)用策略，讓“模型”更穩(wěn)固

在人們的潛意識(shí)中，“模型”與“模具”是相對(duì)應(yīng)的，有一成不變的含義，這與創(chuàng)新思維的培養(yǎng)是相違背的。鑒于此，我們進(jìn)行“數(shù)學(xué)建?！苯虒W(xué)時(shí)，要杜絕將學(xué)生引入“固封”“窄化”的境地?！皵?shù)學(xué)建?！苯虒W(xué)應(yīng)緊緊抓住基本“模型”這條思維主線，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律和生活實(shí)際，創(chuàng)造性地整合、充實(shí)和完善學(xué)習(xí)內(nèi)容，不拘泥于教材，充分挖掘教學(xué)資源，有效選擇不同情境的練習(xí)內(nèi)容，將“模型”向更深、更寬處拓展。從多元應(yīng)用的層面讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)“模型”的內(nèi)涵，提高學(xué)生對(duì)“模型”的價(jià)值認(rèn)同，在多元應(yīng)用中不斷鞏固初建的數(shù)學(xué)模型，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想的形成。

如蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)“五、解決問(wèn)題的策略”，在學(xué)生自主完成練一練第2題并全班交流后，教師設(shè)計(jì)了如下環(huán)節(jié)。

師：剛才我們總結(jié)了一些列表整理?xiàng)l件的方法。列表整理時(shí)，要一一對(duì)應(yīng)，除了看清條件，還要看清問(wèn)題。可以從問(wèn)題出發(fā)選擇相關(guān)的條件整理到表格中，也可以從條件出發(fā)將所有的條件都整理出來(lái)。接下來(lái)我們一起挑戰(zhàn)這道題。

（出示題目：有3種小游船，分別限乘3人、4人、6人。我們班級(jí)如果全部租用4人船，恰好要12條;如果全部租用6人船，要多少條？根據(jù)問(wèn)題，選擇信息整理并解答）

（學(xué)生嘗試自主整理并解答，教師巡視并對(duì)有困難的學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)）

師：我們一起來(lái)看一看他是如何整理的。

一生上臺(tái)展示并說(shuō)出自己的想法：題目中告訴我們?nèi)绻孔庥?人船，要12條，所以在列表時(shí)我將這兩個(gè)條件整理出來(lái)。問(wèn)題是如果全部租用6人船，要多少條？所以我將每船人數(shù)6人和需要幾條船也整理在表格中（見(jiàn)表1）。

生：前面的題目只是列表整理出了條件，這一題在整理的時(shí)候是根據(jù)問(wèn)題選擇性地整理出了有用的條件，而且還將問(wèn)題整理在了表格中。

師：看來(lái)我們?cè)诹斜碚頃r(shí)除了要看清問(wèn)題和條件，將條件整理在表格中之外，還要根據(jù)題意去想一想除了條件還有哪些有用的內(nèi)容需要整理在表格中，要學(xué)會(huì)根據(jù)題意選擇性地進(jìn)行整理。

在學(xué)生經(jīng)歷了列表整理出題目中的所有條件、選擇性地列表整理有用的條件解決實(shí)際問(wèn)題之后，教師讓學(xué)生再次嘗試獨(dú)立列表整理去解決實(shí)際問(wèn)題。學(xué)生在嘗試的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)剛才的模型不僅能整理?xiàng)l件，還能結(jié)合題目將問(wèn)題也整理在表格之中。教師通過(guò)一句追問(wèn)“同樣是列表整理，這道題和之前有何不同”，讓學(xué)生小組交流，并進(jìn)行全班交流。在交流中，所有學(xué)生都聚焦此題和前面列表整理的不同之處，即在整理時(shí)根據(jù)問(wèn)題選擇性地整理出了有用的條件，還將問(wèn)題整理在了表格中。此處的應(yīng)用完全是從上一環(huán)節(jié)的模型之中提升而來(lái)，即從只整理?xiàng)l件走向了選擇性地整理?xiàng)l件和問(wèn)題，在這樣的多元應(yīng)用之中學(xué)生形成的數(shù)學(xué)模型才更穩(wěn)固。教師穩(wěn)固“模型”時(shí)要注意，多元應(yīng)用的內(nèi)容一定要對(duì)“模型”具有優(yōu)化與豐盈的作用，不能為了穩(wěn)固而穩(wěn)固，那樣反而會(huì)有畫(huà)蛇添足之嫌。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，多元應(yīng)用的機(jī)會(huì)并不是無(wú)處不在、無(wú)時(shí)不有的，只有在需要鏈接拓展的環(huán)節(jié)展開(kāi)多元應(yīng)用，才能產(chǎn)生事半功倍的效果。

四、持續(xù)理論建構(gòu)策略，讓“模型”更深刻

思維定式，也被稱為“慣性思維”，是一種特殊形式的活動(dòng)心理準(zhǔn)備或活動(dòng)傾向，是由以前的活動(dòng)造成的。在不變的環(huán)境條件下，該準(zhǔn)備能使人們運(yùn)用所掌握的方法快速解決問(wèn)題;當(dāng)情況發(fā)生變化時(shí)，就會(huì)妨礙人們采用新的方法。在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)時(shí)，最怕學(xué)生受到思維定式的消極影響。消極的思維定式會(huì)束縛學(xué)生創(chuàng)造性思維的形成。因此，在數(shù)學(xué)建模優(yōu)化的過(guò)程中，要持續(xù)進(jìn)行理論建構(gòu)。在教學(xué)中教師要善于打破學(xué)生初步建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，從“破”中“立”，讓初建的數(shù)學(xué)模型以不變應(yīng)萬(wàn)變，使數(shù)學(xué)模型在學(xué)生的理解與應(yīng)用中變得更為深刻。

如蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“五、分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算”例題2，學(xué)生初步建構(gòu)了本節(jié)課的數(shù)學(xué)模型之后，教師設(shè)計(jì)了如下環(huán)節(jié)。

師：回憶以前學(xué)過(guò)的分?jǐn)?shù)乘法實(shí)際問(wèn)題，今天學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)乘法實(shí)際問(wèn)題跟以前有什么不同和相同之處？

生：不同之處是以前學(xué)習(xí)的是一步計(jì)算的分?jǐn)?shù)乘法實(shí)際問(wèn)題，今天學(xué)習(xí)的是兩步計(jì)算的分?jǐn)?shù)乘法實(shí)際問(wèn)題;相同之處是我們發(fā)現(xiàn)在解決這類問(wèn)題時(shí)都要用到“單位‘1’的量×分?jǐn)?shù)=對(duì)應(yīng)數(shù)量”這個(gè)數(shù)量關(guān)系。

師：接下來(lái)，同學(xué)們能不能獨(dú)立解決一些實(shí)際問(wèn)題？

（出示題目：紅光印刷廠兩天用紙噸，其中噸是第一天用的，第二天用了多少噸）

（學(xué)生獨(dú)立解答;教師巡視尋找錯(cuò)誤資源，指名匯報(bào)）

生1：–×=（噸）。

師：和他一樣的請(qǐng)舉手。

（生2小聲嘀咕：他們不對(duì)）

師：你來(lái)說(shuō)說(shuō)你是怎么想的。

生2：這里的是具體的數(shù)量，應(yīng)該直接列式

–=（噸）。用總量減去第一天用去的等于第二天用去的。

師：如何修改題目就可以列式–×=

（噸）？

生：改為“紅光印刷廠兩天用紙噸，其中是第一天用的，第二天用了多少噸”。

由于受年齡、能力等方面的影響，學(xué)生分?jǐn)?shù)意義模型（可以表示量，也可以表示率）的建構(gòu)其實(shí)并不牢固，而這樣的不牢固直接影響此次模型的構(gòu)建。為此，教師在對(duì)比教材中例題2和練一練第3題，讓學(xué)生初步建構(gòu)了本節(jié)課的數(shù)學(xué)模型“單位‘1’的量×分?jǐn)?shù)=對(duì)應(yīng)數(shù)量”之后，從學(xué)生的錯(cuò)誤資源出發(fā)，設(shè)計(jì)了上述優(yōu)化練習(xí)，讓學(xué)生深刻地體會(huì)到此題的模型和原來(lái)所建構(gòu)的模型的本質(zhì)區(qū)別，明確解決這類問(wèn)題應(yīng)該用減法模型，即“總量–一部分量=另一部分量”。再通過(guò)“改一改”這一持續(xù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，使得原來(lái)的數(shù)學(xué)模型在學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)中更加明晰、穩(wěn)固、定型。這樣的持續(xù)理論建構(gòu)，從學(xué)生的模型薄弱處入手，打破了以往數(shù)學(xué)模型的消極影響，突破學(xué)生先前活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的不足，在持續(xù)的理論建構(gòu)中讓數(shù)學(xué)模型更為深刻。

模型優(yōu)化的過(guò)程，其實(shí)也是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)理解再優(yōu)化的過(guò)程。優(yōu)化時(shí)，教師從不同的事物出發(fā)，通過(guò)變式優(yōu)化策略加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的感性認(rèn)識(shí)，促進(jìn)模型的進(jìn)一步完善;通過(guò)題組對(duì)比策略，在對(duì)比分析中幫助學(xué)生進(jìn)一步清晰模型;在多元化的問(wèn)題情境中，運(yùn)用模型解決問(wèn)題，從而深化對(duì)模型的理解，進(jìn)一步穩(wěn)固模型;在持續(xù)的理論建構(gòu)中，打破影響模型建立的消極思維定式，讓模型更深刻，從而幫助學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)建模的思維習(xí)慣。這四種優(yōu)化策略依據(jù)不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容，教師可單個(gè)使用，也可組合使用，從而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)模型優(yōu)化、對(duì)數(shù)學(xué)理解優(yōu)化的目標(biāo)。數(shù)學(xué)教育，從“關(guān)于數(shù)的科學(xué)”“關(guān)于數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”一直到今天的“關(guān)于模式的科學(xué)”，經(jīng)歷著不斷的發(fā)展與創(chuàng)新。今天的小學(xué)數(shù)學(xué)順應(yīng)發(fā)展的需要，開(kāi)啟數(shù)學(xué)建模的探索之旅，還有很多需要教師再研究、再探索的空間。

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本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“差異教學(xué)理念下小學(xué)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的教學(xué)研究”（課題編號(hào)：C-c/2016/02/92）的階段性研究成果之一。

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬邗江實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

責(zé)任編輯：趙繼瑩