夏雪梅 劉 瀟

一、 問題的提出

隨著近年來全球范圍內(nèi)素養(yǎng)研究和實踐的深入，項目化學(xué)習(xí)作為培育素養(yǎng)的重要載體之一得到了新的發(fā)展和實踐。[1]中國的項目化學(xué)習(xí)延續(xù)第八次國家課程改革以來關(guān)注探究與生活世界的理念傳統(tǒng)，而又在素養(yǎng)的視角下，產(chǎn)生了不一樣的實踐樣態(tài)。與研究性學(xué)習(xí)作為獨立的國家課程設(shè)置不同，今天的項目化學(xué)習(xí)開始進入到主要的學(xué)科領(lǐng)域，基于課程標準，更加關(guān)注“育人方式”和“教與學(xué)方式”深度變革的意義。自2015年以來，更多的研究者[2][3][4]和地區(qū)[5]開始關(guān)注學(xué)科領(lǐng)域的項目化學(xué)習(xí)，即基于某一個學(xué)科，以項目為載體，聚焦關(guān)鍵的學(xué)科能力和概念，進行學(xué)科與學(xué)科、學(xué)科與生活、學(xué)科與人際的聯(lián)系與拓展。在國際項目化學(xué)習(xí)實踐中，有諸多文獻研究表明，科學(xué)、社會等領(lǐng)域的項目化學(xué)習(xí)探索較多，而母語、數(shù)學(xué)等學(xué)科的項目化學(xué)習(xí)需要進一步強化和拓展。[6][7]但是，近年來，國際項目化學(xué)習(xí)的創(chuàng)新組織和學(xué)校也在母語、數(shù)學(xué)等領(lǐng)域有了更多樣化和更豐富的探索。

在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，項目化學(xué)習(xí)也被看作促進學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，幫助學(xué)生運用數(shù)學(xué)概念進行交流和解決問題的新興學(xué)習(xí)方式之一。[8]國內(nèi)研究者提出，區(qū)別于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂及教學(xué)測評，項目化學(xué)習(xí)是以數(shù)學(xué)的核心概念和原理為中心，綜合編排數(shù)學(xué)知識并與其他學(xué)科相整合，學(xué)生借助多種資源相互合作，通過在一定時間內(nèi)解決一系列相關(guān)問題來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、獲得數(shù)學(xué)技能、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)與綜合能力的新型學(xué)習(xí)方式；[9]能夠充分發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)知識與能力，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗；[10]是一套系統(tǒng)教學(xué)法，是對復(fù)雜、真實問題的探究過程，也是設(shè)計項目任務(wù)、規(guī)劃并實施、精心制作項目成果的過程。[11]

數(shù)學(xué)項目化學(xué)習(xí)的設(shè)計關(guān)鍵在于驅(qū)動性問題。作為一種基于建構(gòu)主義的情境學(xué)習(xí)[12]，驅(qū)動性問題給定了整個項目的問題情境、內(nèi)容領(lǐng)域和解決方向。[13][14][15]驅(qū)動性問題不僅僅是好玩的數(shù)學(xué)活動，或是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識來解決的問題，更重要的是，驅(qū)動性問題筑起了“做數(shù)學(xué)”與“數(shù)學(xué)概念性知識”理解之間的橋梁。

在以往的國際比較研究中，中國數(shù)學(xué)課堂中問題的開放性、真實性呈現(xiàn)出一些不足。比如，數(shù)學(xué)問題與情境是脫離的，關(guān)聯(lián)性不強，情境與真實生活的聯(lián)系不夠緊密，[16]問題偏向于封閉，所涉及的知識也偏向于流程式的、技能運用的知識。英美國家課堂中的數(shù)學(xué)問題，更具有情境性、挑戰(zhàn)性、思想性和多樣性，[17]問題中還會聯(lián)結(jié)眾多的數(shù)學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生進行建構(gòu)性的學(xué)習(xí)。[18]這樣的數(shù)學(xué)問題也會對學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力帶來影響。在針對中美學(xué)生問題解決能力的比較中，中國學(xué)生在解決常規(guī)性問題上的表現(xiàn)優(yōu)于美國學(xué)生，而在解決開放性問題、使用策略的多樣性上的表現(xiàn)弱于美國學(xué)生。[19]

這些比較主要是在數(shù)學(xué)課堂中，往往是以一節(jié)課中的數(shù)學(xué)問題作為分析對象。那么，在以較長時段的問題探索為特征的數(shù)學(xué)項目設(shè)計中，是否仍然具有類似的特征？尤其是在目前素養(yǎng)教育的大環(huán)境下，數(shù)學(xué)項目中什么樣的驅(qū)動性問題才能指向素養(yǎng)？有鑒于此，本研究立足于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的視角，構(gòu)建數(shù)學(xué)項目化學(xué)習(xí)驅(qū)動性問題的分析框架，選取80個中美數(shù)學(xué)項目，系統(tǒng)地考察中美數(shù)學(xué)項目在情境的遠近程度、真實性等問題上的表現(xiàn)，分析和比較異同，達到相互理解和啟示的目的。

二、 數(shù)學(xué)素養(yǎng)視角下的驅(qū)動性問題的分析框架

素養(yǎng)形成于情境并應(yīng)用于情境，[20]是知識、能力、態(tài)度與價值觀的“合金”。數(shù)學(xué)素養(yǎng)也不例外，它具有素養(yǎng)的遷移性、情境性的普遍特征，又具有數(shù)學(xué)獨特的育人價值。

(一) 數(shù)學(xué)素養(yǎng)是什么及如何培育

在眾多對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的闡述中，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵及其培育凸顯出以下幾個核心特征。

1. 數(shù)學(xué)素養(yǎng)是在真實世界的多種問題解決情境中形成的“合金”

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)。[21]數(shù)學(xué)素養(yǎng)既包括數(shù)學(xué)思維方式，也包括數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力；既包括數(shù)學(xué)自信心、嚴謹求實的科學(xué)態(tài)度，也包括責(zé)任擔當、理性精神等在數(shù)學(xué)上的具體體現(xiàn)，諸如具有規(guī)則意識、崇尚平等、崇尚真知等。[22]

數(shù)學(xué)素養(yǎng)這種“合金”是在真實問題的解決中形成和表現(xiàn)的，它表現(xiàn)為個人在生活中要成為一個會思考的人所需要具備的數(shù)學(xué)知識，要用數(shù)學(xué)的思維方式進行思考和表達，同時個人也要理解數(shù)學(xué)在自然、社會生活中的地位和能力，能夠基于此做出數(shù)學(xué)判斷，參與數(shù)學(xué)活動。[23]歐盟于2018年對數(shù)學(xué)素養(yǎng)進行了界定，闡述了數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)素養(yǎng)間密不可分的聯(lián)系： 開發(fā)和應(yīng)用數(shù)學(xué)思維來解決日常生活中的一系列問題的能力，以及在不同程度上涉及使用數(shù)學(xué)思維模式(邏輯和空間思維)和表達(公式、模型、結(jié)構(gòu)、圖形、圖表)的能力和與意愿。[24]

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)必須以問題情境為依托。而且，只讓學(xué)生經(jīng)歷單一的問題情境是不夠的，因為單一情境無法讓學(xué)生建立問題情境、數(shù)學(xué)知識與實踐之間的靈活轉(zhuǎn)化。[25]數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)生經(jīng)歷一系列具有不同主題或需求的現(xiàn)實情境或任務(wù)后，通過不斷綜合相關(guān)的領(lǐng)域知識、方法或觀念形成的可遷移的知識和能力，這是一種心智的靈活性。

2. 數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成依托富有挑戰(zhàn)性的問題情境促進學(xué)生數(shù)學(xué)知識和能力的結(jié)構(gòu)化

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成需要驅(qū)動性問題的情境具有一定的復(fù)雜性和挑戰(zhàn)性，情境中所包含的知識并不是單一、簡單的，而是要提供知識組合、重構(gòu)的機會。在簡單的情境中，學(xué)生可以通過觀察或動手實踐，較容易地解決問題，但是這種簡單的情境難以進行數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育。數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育需要將簡單的問題情境轉(zhuǎn)變?yōu)樾枰\用數(shù)學(xué)眼光分析和界定的復(fù)雜情境，在分析怎樣的投資組合方案能為老人獲得更多的回報、如何通過時間和空間的調(diào)配使出操方案更合理等問題情境中，學(xué)生需要分析這些真實情境中可能涉及哪些數(shù)學(xué)知識，他們無法直接套用現(xiàn)成的公式解決問題，而是需要經(jīng)過搜索、整合與重構(gòu)，用數(shù)學(xué)的眼光去分析問題、理解問題并解決問題。在此過程中，數(shù)學(xué)知識和技能重新按照有意義的方式被建構(gòu)和理解，學(xué)生如果能夠在這樣的具體問題解決中抽象形成這一類問題的最優(yōu)化的解決路徑，就會進一步獲得遷移性的理解。

3. 數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成要經(jīng)歷從問題表征到抽象推理建模的數(shù)學(xué)實踐

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的本質(zhì)是要讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達世界。[26]這就意味著，當面對真實世界中的問題時，學(xué)生不再用日常經(jīng)驗的視角看待問題，而是用以往數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所積累的認識、理解和處理周圍事物時的思考方式與解決問題的策略來研究問題，[27]對這些問題進行數(shù)學(xué)表征、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、建立數(shù)學(xué)模型，這些過程就是數(shù)學(xué)實踐。

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成是一種包含知識、行動和態(tài)度的“學(xué)習(xí)實踐”，學(xué)生通過經(jīng)歷對數(shù)學(xué)問題的完整探究歷程，達到對知識的深度理解。[28]學(xué)生只有經(jīng)歷多種數(shù)學(xué)實踐，才能理解數(shù)學(xué)知識是如何發(fā)展的，掌握調(diào)查、推理、建模的方法，用數(shù)學(xué)知識來解決生活中的實際問題。嵇永寧對美國項目化學(xué)習(xí)的研究也表明，學(xué)生經(jīng)歷復(fù)雜、新奇的問題的學(xué)習(xí)實踐，可以提高學(xué)習(xí)的質(zhì)量，形成高水平的認知發(fā)展。[29](1)判斷學(xué)生經(jīng)歷了怎樣的數(shù)學(xué)實踐，需要考察數(shù)學(xué)項目的具體實施過程，在本文中不納入，將另文闡述。

美國關(guān)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的研究進一步強化了學(xué)生在真實問題解決中的數(shù)學(xué)實踐。美國各州共同核心標準(Common Core State Standards)提出八個“數(shù)學(xué)實踐”： 理解問題及持之以恒解決問題；抽象化和量化地推理；建構(gòu)可行的論證以及評論他人的推論；使用數(shù)學(xué)知識建模；有策略地使用適當?shù)墓ぞ?；注意精確性；尋找和利用結(jié)構(gòu)；通過不斷推理尋找和表達出規(guī)律。數(shù)學(xué)實踐是數(shù)學(xué)素養(yǎng)中不可分割的一部分，共同核心標準中明確表示可以通過這八大數(shù)學(xué)學(xué)實踐來判斷學(xué)生是否熟練掌握了數(shù)學(xué)的專業(yè)知識和技能。也就是說，學(xué)生能夠靈活調(diào)用數(shù)學(xué)知識與技能，即數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育需要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)實踐。[30]

4. 數(shù)學(xué)素養(yǎng)和跨學(xué)科素養(yǎng)間具有相輔相成的關(guān)系

學(xué)科素養(yǎng)和跨學(xué)科素養(yǎng)之間的關(guān)系一直存在爭議，通常有三種不同的觀點： 第一，學(xué)科素養(yǎng)本身就涵蓋了跨學(xué)科素養(yǎng)，不需要專門教授跨學(xué)科素養(yǎng)；第二，學(xué)科素養(yǎng)與跨學(xué)科素養(yǎng)是兩分的，需要專門培養(yǎng)跨學(xué)科素養(yǎng)；第三，學(xué)科素養(yǎng)與跨學(xué)科素養(yǎng)是一種相互交融的關(guān)系，領(lǐng)域活動或任務(wù)在發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的同時，還內(nèi)在承載著多個跨學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。[31][32]本文秉持第三種觀點，為了更清晰地在復(fù)雜、綜合的情境任務(wù)中培育素養(yǎng)，需要明確任務(wù)中的學(xué)科素養(yǎng)目標和跨學(xué)科素養(yǎng)目標到底是哪些。跨學(xué)科素養(yǎng)需要融入學(xué)科培育，而融入并不意味著“消失”，而是意味著在教育目標、教學(xué)設(shè)計、評估中都有意識地對其進行關(guān)注。

這種相輔相成的特征在各國的課程標準、PISA和我國的課程標準中已經(jīng)有所體現(xiàn)。部分國家是在國家的教育目標中說明跨學(xué)科素養(yǎng)(如21世紀技能)，其他更多的國家則是在學(xué)校課程的各個學(xué)科中嵌入21世紀技能，通過綜合性的、項目化的方式予以培育。[33]PISA 2021的數(shù)學(xué)測評框架中首次將“21世紀技能”納入測評，并明確列出八大技能： 批判性思維、創(chuàng)造性、研究與探索、自我引導(dǎo)和發(fā)起與堅持、信息使用、系統(tǒng)思維、交流、反思。[34]我國新課程標準也提出，命題需要注重對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考察，在應(yīng)用問題中需要包括開放性和探究性問題，重點要考察學(xué)生的思維過程、實踐能力和創(chuàng)新意識。

跨學(xué)科素養(yǎng)的表述方法很多，為了更好地進行國際比較，本文在分析時，將21世紀技能、4C、學(xué)習(xí)素養(yǎng)等具有通用性描述的能力都納入到跨學(xué)科素養(yǎng)中。

(二) 數(shù)學(xué)素養(yǎng)視角下的驅(qū)動性問題分析框架

從上述這些闡述中，我們可以看到，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育對驅(qū)動性問題所營造的問題情境有特定的要求，結(jié)合項目化學(xué)習(xí)領(lǐng)域的相關(guān)研究，指向數(shù)學(xué)素養(yǎng)培育的驅(qū)動性問題情境包含如下維度。

第一，驅(qū)動性問題的真實性。問題情境的真實性具有不同的程度。[35]朱(Zhu)和范(Fan)的研究區(qū)分了數(shù)學(xué)教科書中的應(yīng)用型問題和非應(yīng)用型問題，應(yīng)用型問題來源于現(xiàn)實生活情境，非應(yīng)用型問題與現(xiàn)實生活無關(guān)。應(yīng)用型問題可以是虛構(gòu)的或是真實的。[36]格拉辛(Gracin)將情境分為現(xiàn)實(構(gòu)造)情境和真實情境。[37]德巴(Debba)將12年級學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)測試題的情境特征分為五種類型： 無情境、真實情境、凈化式情境、比喻式情境、不自然情境。[38]本研究將驅(qū)動性問題的真實性界定為： 創(chuàng)設(shè)的問題情境需要運用的數(shù)學(xué)方法和思路與現(xiàn)實世界的相似性。基于上述研究觀點，本研究根據(jù)真實性的程度，分出四種從低到高的類型： 虛假真實、凈化真實、模擬真實、現(xiàn)實真實。

第二，驅(qū)動性問題情境的多樣性。數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成不僅是要在情境中，而且是要在多樣的情境中，甚至是要在陌生的、不熟悉的情境中也能靈活調(diào)用知識與心理資源解決問題。在項目化學(xué)習(xí)中，強調(diào)情境與個人的關(guān)聯(lián)，但是也同時強調(diào)聯(lián)系自我與更宏大的時代問題與挑戰(zhàn)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注當下時代所面對的人類共同的挑戰(zhàn)。有鑒于此，驅(qū)動性問題就不能只呈現(xiàn)學(xué)生熟悉的日常生活情境，也要讓學(xué)生接觸真實世界中存在的科學(xué)情境、職業(yè)情境。為此，我們借鑒PISA 2012中的分類方法，將驅(qū)動性問題情境分為四類： 個人情境、職業(yè)情境、社會情境、科學(xué)情境。

第三，驅(qū)動性問題引發(fā)學(xué)生知識綜合或概念化的程度。數(shù)學(xué)素養(yǎng)需要學(xué)生綜合運用多種數(shù)學(xué)知識或讓學(xué)生達到對重要數(shù)學(xué)概念的深入理解。為此，我們將驅(qū)動性問題情境引發(fā)學(xué)生知識綜合或概念化的程度分出了三個類型： 淺層(僅包含1—2個知識點)；中層(包含了3—5個跨越不同知識范疇的知識點)；深層(問題中統(tǒng)整大概念或融合了多領(lǐng)域的知識)。

第四，驅(qū)動性問題的挑戰(zhàn)性。驅(qū)動性問題的挑戰(zhàn)性是指學(xué)生在問題解決過程中需要經(jīng)歷的認知復(fù)雜性。在解決驅(qū)動性問題的過程中，不是讓學(xué)生經(jīng)歷簡單的記誦，而應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷更具挑戰(zhàn)性的分析、評價、創(chuàng)造的認知水平。在認知的維度上，布魯姆(Bloom)的認知教學(xué)目標分類包括知識、領(lǐng)會、運用、分析、綜合和評價六個水平，[39]安德森(Anderson)等基于布魯姆的分類，將認知過程調(diào)整為記憶、理解、應(yīng)用、分析、評價、創(chuàng)造六個水平。[40]本研究將驅(qū)動性問題情境的挑戰(zhàn)性分為三個水平： 記憶為低階水平；理解、應(yīng)用為中階水平；分析、評價、創(chuàng)造為高階水平。

第五，驅(qū)動性問題的設(shè)置需要學(xué)生同時調(diào)用跨學(xué)科素養(yǎng)。為了更好地進行國際比較，本研究在分析跨學(xué)科素養(yǎng)的融入時，采用了寬泛的界定，將學(xué)科素養(yǎng)之外的一般性的能力界定為跨學(xué)科素養(yǎng)，如合作、交流、溝通等。在分析了若干個框架和探索編碼后，界定為四個方面： 合作、交流與溝通、創(chuàng)造性思維、批判性思維。根據(jù)問題解決時所需要的跨學(xué)科素養(yǎng)融入的多少將其分為四個水平： 無跨學(xué)科素養(yǎng)融入；少跨學(xué)科素養(yǎng)融入(僅包含1個跨學(xué)科素養(yǎng))；中跨學(xué)科素養(yǎng)融入(包含2個跨學(xué)科素養(yǎng))；高跨學(xué)科素養(yǎng)融入(包含2個以上的跨學(xué)科素養(yǎng))。

三、 研究設(shè)計

(一) 案例來源與篩選

本研究的案例均為K-12年級中以數(shù)學(xué)為主要學(xué)科的項目案例。中國數(shù)學(xué)項目案例為40個，來自第一、二屆學(xué)習(xí)素養(yǎng)項目化學(xué)習(xí)全國案例征集與評審中的特等獎、一等獎、二等獎案例。美國數(shù)學(xué)項目案例為40個，主要來自PBL Works、High Tech High School、NextLesson等官網(wǎng)。

(二) 形成案例編碼表

根據(jù)上述分析框架，本研究形成如下的案例編碼表，共5個維度，18個指標。整合前述學(xué)者提出的問題情境的框架，同時基于本研究對驅(qū)動性問題的操作性界定，形成以下編碼表(見表1)。

表1 數(shù)學(xué)項目驅(qū)動性問題分析編碼表

(三) 編碼過程

根據(jù)上文的分析編碼框架，本研究對80個案例進行了編碼，編碼的過程如下。首先兩位研究者單獨對中美兩國各10個案例進行編碼，初次編碼時部分編碼的一致性達到了0.8，也有部分編碼的一致性為0.65，主要是關(guān)于真實性中的“現(xiàn)實真實”如何界定存在爭議。一方觀點認為，現(xiàn)實真實必須是完全源于現(xiàn)實世界的問題，而且在問題中也要預(yù)示出將有可能真實解決問題的現(xiàn)實成果。而另一方觀點認為，現(xiàn)實真實的問題是源于現(xiàn)實世界的問題，但因為現(xiàn)實情境中的問題很復(fù)雜，不需要真正做出，問題情境中只要預(yù)示將來有可能解決的模型或模擬現(xiàn)實中可行的方案。在出現(xiàn)類似的爭議時，提交總項目組研討，之后對這一編碼進行更細致的界定。以上述“現(xiàn)實真實”的界定判斷為例，最終將其確定為“可應(yīng)用于現(xiàn)實世界的方案，并受到真實世界受眾或?qū)＜业臋z驗”。達成共識后，調(diào)整編碼，進而對全部的80個案例進行編碼，編碼的一致性達到0.88。

最終，根據(jù)上述的編碼框架與編碼過程，本研究形成中國和美國數(shù)學(xué)項目驅(qū)動性問題的編碼結(jié)論表(見表2)。

表2 中美數(shù)學(xué)項目驅(qū)動性問題編碼結(jié)論表

四、 研究結(jié)果

我們首先對中美兩國的數(shù)學(xué)項目在驅(qū)動性問題情境多樣性、驅(qū)動性問題真實性、驅(qū)動性問題挑戰(zhàn)性、知識綜合或概念化、跨學(xué)科素養(yǎng)上的表現(xiàn)進行非參數(shù)檢驗。結(jié)果顯示，在驅(qū)動性問題情境多樣性、驅(qū)動性問題真實性、知識綜合或概念化、跨學(xué)科素養(yǎng)上，person卡方sig值小于0.05，說明中美在這幾個維度上存在顯著性差異；在驅(qū)動性問題挑戰(zhàn)性上，person卡方sig值為0.14大于0.05，說明中美在這個維度上無顯著性差異。

然后，我們對中美兩國的數(shù)學(xué)項目進行具體的編碼分析，形成如下的研究結(jié)果。

(一) 中美數(shù)學(xué)項目的驅(qū)動性問題都注重真實性，中國數(shù)學(xué)項目更偏向凈化真實，美國數(shù)學(xué)項目更偏向現(xiàn)實真實

兩國被選入的項目中都沒有出現(xiàn)虛假真實的項目，中美優(yōu)秀數(shù)學(xué)項目的驅(qū)動性問題都創(chuàng)設(shè)了真實的情境。

從圖1來看，在美國的40個項目中，有33個項目關(guān)注當下的現(xiàn)實真實，采用真實事件、真實受眾參與到項目中，很少會簡化特定的條件。例如，在“每一次投票都很重要”項目中，需要讓學(xué)生解決真實世界中存在的問題“選舉新政府成員的最公平方法是什么”，在確定了選舉新政府成員的最公平方法后，還需要學(xué)生寫信給真實的聽眾(例如當?shù)卮砘蛎襟w)來主張使用這些方法。有6個項目運用了關(guān)注未來的模擬真實。再如，在“小房子”項目中，學(xué)生需要了解顧客的預(yù)算、需要和個人愛好，結(jié)合所學(xué)測算和幾何學(xué)的數(shù)學(xué)技巧，為顧客設(shè)計未來房子的原型。只有1個項目會簡化特定的條件，是凈化真實的情境。

圖1 中美數(shù)學(xué)項目中驅(qū)動性問題的真實性

在中國的40個項目中，三類問題情境分布比較均衡?，F(xiàn)實真實的項目，如基于學(xué)校圖書館真實問題進行改造等，其數(shù)量比美國要少，為17個。更多的項目偏向于凈化真實或模擬真實，比如簡化特定的條件、突出圓的特征的項目、模擬設(shè)計師的測量項目等。

(二) 中美數(shù)學(xué)項目問題情境都比較多樣，中國項目更偏向個體情境，美國項目更偏向職業(yè)/社會情境

對于情境的四個類型，中美數(shù)學(xué)項目都有涉及，但是美國數(shù)學(xué)項目比較注重社會情境和職業(yè)情境，而中國數(shù)學(xué)項目比較關(guān)注學(xué)生的個體情境。

如圖2，美國的數(shù)學(xué)項目更多關(guān)注的是社會中的重要而復(fù)雜的問題，這類項目有18個，聚焦真實世界中的復(fù)雜工作，給學(xué)生體驗社會責(zé)任感和職業(yè)的專業(yè)性。例如，社區(qū)中的溫飽問題、政策中的投票問題、馬拉松的籌款問題、作為設(shè)計師如何設(shè)計房子、作為企業(yè)家如何實現(xiàn)財富成功、作為市場調(diào)查分析師如何幫助企業(yè)利益最大化等。

圖2 中美數(shù)學(xué)項目中驅(qū)動性問題情境的類型

中國的40個數(shù)學(xué)項目中有一半以上都聚焦于學(xué)生的個體活動。例如，學(xué)生自己一周的心情變化問題、幼兒園滑梯的長度問題、班級的美化問題、學(xué)校圖書館等設(shè)施的改善問題、個體家庭的旅行問題等。40個數(shù)學(xué)項目中只有2個關(guān)注職業(yè)情境。即使有些項目賦予了學(xué)生職業(yè)的角色，但問題設(shè)計卻不需要讓學(xué)生體會到職業(yè)的真實思維。

(三) 中美數(shù)學(xué)項目的驅(qū)動性問題都包含知識的運用，美國數(shù)學(xué)項目更關(guān)注知識的概念化與綜合性，中國數(shù)學(xué)項目更關(guān)注知識點的落實

如圖3，美國的40個數(shù)學(xué)項目有11個項目僅關(guān)注了淺層次的知識概念化和綜合性，有24個項目關(guān)注中層次的知識概念化和綜合性，還有5個項目體現(xiàn)出了大概念，是跨越了多領(lǐng)域的知識的融合。美國數(shù)學(xué)項目中驅(qū)動性問題包含的知識廣度較寬，除了數(shù)學(xué)中的統(tǒng)計與概率、圖形、計算外，還會選擇函數(shù)、建模、編程、概念等知識來設(shè)計數(shù)學(xué)項目。比如在“流行病”項目中，學(xué)生需要調(diào)查不同類型傳染病(如流感、埃博拉、結(jié)核病和艾滋病)的感染率，學(xué)習(xí)和使用指數(shù)函數(shù)來預(yù)測主要人口中心的感染率。

圖3 中美數(shù)學(xué)項目中驅(qū)動性問題包含的知識概念化與綜合性程度

中國的40個數(shù)學(xué)項目有一半以上在項目中僅關(guān)注了淺層次的知識概念化和綜合性，目前還沒有項目涉及大概念的統(tǒng)整。而且，中國數(shù)學(xué)項目選擇知識的廣度也比較有限，40個項目基本只關(guān)注了數(shù)學(xué)中的統(tǒng)計與概率、圖形、計算這些知識點，例如“數(shù)據(jù)分析師”“圖書漂流柜”“我是小小設(shè)計師”等項目都關(guān)注統(tǒng)計與概率；“為什么設(shè)計成圓的”“蜂巢為什么是正六邊形”“如何做邊框”等項目都關(guān)注圖形；“小小數(shù)墻建造師”“小小園藝師”等項目都關(guān)注計算。

(四) 中美數(shù)學(xué)項目驅(qū)動性問題的挑戰(zhàn)性集中在中階水平，但美國數(shù)學(xué)項目高階挑戰(zhàn)的比例高于中國數(shù)學(xué)項目

如圖4，美國的40個數(shù)學(xué)項目只有2個挑戰(zhàn)性較弱，讓學(xué)生經(jīng)歷了記憶和計算的低階認知水平，其他的數(shù)學(xué)項目都更關(guān)注中階及以上的認知水平，具有一定的挑戰(zhàn)性。其中有24個項目關(guān)注學(xué)生的理解和應(yīng)用的認知水平，14個項目提出讓學(xué)生分析、創(chuàng)造等更高階的數(shù)學(xué)認知。例如，在為社區(qū)成員策劃一個大型的“社區(qū)晚餐”的項目中，學(xué)生需要根據(jù)調(diào)查，分析出預(yù)算和估計出席人數(shù)，然后研究食譜和食品價格，并確定配料的數(shù)量和成本，從而為這頓飯制定一個合理的、可操作的計劃。

圖4 中美數(shù)學(xué)項目中驅(qū)動性問題的挑戰(zhàn)性

中國40個數(shù)學(xué)項目中，接近3/4的項目的挑戰(zhàn)性都在中階，也就是更關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)上的理解和應(yīng)用的認知水平。例如讓學(xué)生作為一名數(shù)據(jù)分析師，評估出學(xué)校運動會中最難的運動項目，它對于情境的挑戰(zhàn)性是讓學(xué)生對數(shù)據(jù)分析進行理解與應(yīng)用。此外，中國數(shù)學(xué)項目有7個項目體現(xiàn)出來對更高階認知的關(guān)注，比如分析和創(chuàng)造，還有5個項目僅僅考察學(xué)生的最低階的基礎(chǔ)性知識的記憶和計算。例如在有的項目中，學(xué)生在解決問題的過程中只是對數(shù)射線進行簡單應(yīng)用。

(五) 中美數(shù)學(xué)項目都融入了跨學(xué)科素養(yǎng)且美國項目數(shù)量更多，兩國對批判性思維的關(guān)注都偏弱

中美選入的所有項目中，都融入了跨學(xué)科素養(yǎng)，而且中美的數(shù)學(xué)項目都很關(guān)注合作，對于批判性的關(guān)注則相對較少。通過對比發(fā)現(xiàn)，在融入跨學(xué)科素養(yǎng)的數(shù)學(xué)項目數(shù)量方面，美國的項目數(shù)量比中國的項目數(shù)量多(如表3)。

表3 中美數(shù)學(xué)項目中融入跨學(xué)科素養(yǎng)的項目數(shù)量

如圖5，美國的40個數(shù)學(xué)項目全部融合了跨學(xué)科素養(yǎng)，其中有33個項目都關(guān)注合作。例如，讓學(xué)生合作成立一個公司，通過市場研究和競爭分析，創(chuàng)立能夠?qū)崿F(xiàn)財富成功的方案；讓學(xué)生一起合作完成一本可以教別人數(shù)學(xué)知識的漫畫書；讓學(xué)生合作設(shè)計小組的理想大學(xué)，并制作出理想大學(xué)的模型。

圖5 中美數(shù)學(xué)項目中驅(qū)動性問題融入跨學(xué)科素養(yǎng)

中國的40個數(shù)學(xué)項目也都融入了跨學(xué)科素養(yǎng)。90%的項目都融入了1個或者2個跨學(xué)科素養(yǎng)，只有4個項目融入了2個以上的跨學(xué)科素養(yǎng)。其中，國內(nèi)數(shù)學(xué)項目融合最多的跨學(xué)科素養(yǎng)是合作和交流，對創(chuàng)造性和批判性融合得較少。例如在“概率在生活中的應(yīng)用”項目中，學(xué)生以小組的形式體驗概率在生活中的應(yīng)用，并用數(shù)學(xué)的語言來解釋一些真實生活中的概率問題，學(xué)生的合作和溝通交流融入其中，但是創(chuàng)造性和批判性卻很少體現(xiàn)。

五、 結(jié)論與討論

中美數(shù)學(xué)項目的驅(qū)動性問題設(shè)計在上述維度上存在異同。通過對比研究，為了促進我國未來數(shù)學(xué)項目更好的設(shè)計與實施，本文針對數(shù)學(xué)項目中的驅(qū)動性問題設(shè)計提出了如下建議進行討論。

(一) 數(shù)學(xué)項目中的驅(qū)動性問題設(shè)計可以包含更多樣、綜合的概念和思想

中國數(shù)學(xué)項目在數(shù)學(xué)知識上通常會選擇統(tǒng)計與概率(20個)、圖形(10個)、計算(7個)、測量(3個)。美國的數(shù)學(xué)項目，除了上述這些更常被用于項目中的數(shù)學(xué)知識，還會有金融數(shù)學(xué)、建筑數(shù)學(xué)等更廣闊領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)知識。比如在“為未來做打算”項目中，學(xué)生需要為家庭制作一個財政計劃，中國的項目要求學(xué)生進行調(diào)查和統(tǒng)計之后得出方案即可，但是在美國這個項目中，學(xué)生會在專業(yè)財政專家和數(shù)學(xué)教師的幫助下，理解基礎(chǔ)的具有指數(shù)和對數(shù)功能的金融原理和公式，從而解決問題。

史寧中將數(shù)學(xué)思想概括為抽象、推理和模型。[41]中國數(shù)學(xué)項目比較關(guān)注推理中的數(shù)學(xué)決策、最優(yōu)化和數(shù)學(xué)分析，而美國數(shù)學(xué)項目除此之外還會關(guān)注模型中的數(shù)學(xué)建模。比如在“利潤的拋物線”項目中，學(xué)生需要扮演市場調(diào)查分析師為當?shù)毓痉?wù)。他們會分析成本和已售產(chǎn)品數(shù)量之間的線性關(guān)系，以及總利潤和單位價格之間的二次關(guān)系，并建立模型，最終確定一個商品或服務(wù)的最佳價格點，幫助企業(yè)實現(xiàn)利益最大化。

通過對中美數(shù)學(xué)項目中驅(qū)動性問題所包含知識點的分析，我們發(fā)現(xiàn)，這80個項目中的驅(qū)動性問題都包含數(shù)學(xué)知識，但是相比于美國，中國項目中的知識略顯單一，教師在設(shè)計時更注重知識點的解決，往往這類驅(qū)動性問題中只包含1—2個數(shù)學(xué)知識點，而沒有站在更高位的概念、結(jié)構(gòu)視角來統(tǒng)整知識點，驅(qū)動性問題中也沒有綜合更多的特定領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)知識。而數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育需要學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并加以分析和解決，需要學(xué)生能夠靈活地運用多種數(shù)學(xué)知識，而非單一的知識點。因此中國的數(shù)學(xué)項目在指向數(shù)學(xué)素養(yǎng)的驅(qū)動性問題設(shè)計上，可以在現(xiàn)有的基礎(chǔ)上嘗試更多樣的數(shù)學(xué)知識類型，探索更上位的數(shù)學(xué)概念和思想，設(shè)計更具挑戰(zhàn)性的驅(qū)動性問題。

(二) 數(shù)學(xué)項目與真實而復(fù)雜的世界的關(guān)聯(lián)可以再增強，尤其要關(guān)注社會情境和專業(yè)情境，豐富對“數(shù)學(xué)生活化”的理解

我們要深刻認識復(fù)雜真實的問題情境在核心素養(yǎng)的培育和評價中的重要價值。應(yīng)對各種復(fù)雜開放性的現(xiàn)實情境，是學(xué)生核心素養(yǎng)形成和培養(yǎng)的途徑和方式，也是當前創(chuàng)新人才培養(yǎng)的途徑與方式。學(xué)生在學(xué)校所“獲得”的學(xué)科知識或技能，之所以無法遷移到現(xiàn)實生活中，關(guān)鍵在于學(xué)校的學(xué)習(xí)活動所依存的情境人為地過分簡化和抽象，喪失了與現(xiàn)實生活的連接。[42]

中國數(shù)學(xué)項目都比較關(guān)注學(xué)生個體周圍的生活，所以項目的情境大多數(shù)都是學(xué)生比較熟悉的個人情境。個人情境相較于社會情境，會更便于教師進行管理。而且教師為了項目更聚焦于知識點，會選擇簡化一些外在因素，設(shè)計凈化真實的項目。

但是隨著時代的發(fā)展，我們培養(yǎng)的人應(yīng)該有能力解決真實世界的復(fù)雜問題，數(shù)學(xué)生活化也不應(yīng)僅僅指向?qū)W生個體周圍的生活，還應(yīng)該包括真實的社會生活。現(xiàn)實生活中人們所遇到的問題很少是單純的數(shù)學(xué)問題。美國數(shù)學(xué)項目中更強調(diào)與社會復(fù)雜問題相匹配的真實情境、真實專家的介入等，比較有利于數(shù)學(xué)知識在真實世界中的遷移與生活化。相較而言，中國的數(shù)學(xué)項目更注重課內(nèi)學(xué)習(xí)的知識。在設(shè)計中通常只融入1—2個知識點，也都只涉及數(shù)學(xué)學(xué)科的知識，較少融入其他學(xué)科的知識與技能，較少站在科學(xué)情境、專業(yè)情境、社會情境下設(shè)計數(shù)學(xué)的驅(qū)動性問題。未來，我們的數(shù)學(xué)項目可以更多嘗試以這些多樣化的真實情境為載體的驅(qū)動性問題設(shè)計，這樣的數(shù)學(xué)項目可以自然地代入跨學(xué)科的視角，提高給學(xué)生解決復(fù)雜問題的機會的比例。

(三) 數(shù)學(xué)項目中指向數(shù)學(xué)素養(yǎng)培育的驅(qū)動性問題設(shè)計可以融入更多跨學(xué)科素養(yǎng)

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育不僅是指數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)能力，在解決問題中會自然地帶動學(xué)生的問題解決、溝通交流、合作、創(chuàng)造性與批判性等跨學(xué)科素養(yǎng)，如前文所述，兩者之間是相輔相成的關(guān)系。對基礎(chǔ)教育階段的學(xué)生而言，在數(shù)學(xué)問題解決中有意識地設(shè)計同時指向這兩個維度的學(xué)習(xí)支架，將為學(xué)生奠定解決更復(fù)雜問題的心智基礎(chǔ)。學(xué)生具備了這兩方面的素養(yǎng)后，才能更好地調(diào)用已有的知識，結(jié)合情境進行問題解決。但從研究結(jié)果來看，我們的數(shù)學(xué)項目在這方面的意識還不是很強。未來我們在進行數(shù)學(xué)項目的驅(qū)動性問題設(shè)計時，可以考慮如何更自然地融入更多樣化的跨學(xué)科素養(yǎng)。比如在“地墊設(shè)計師”項目中，驅(qū)動性問題是“如何為體質(zhì)檢測室鋪上長方形的地墊”，在這個項目中，項目目標是讓學(xué)生計算長方形的面積來密鋪體質(zhì)監(jiān)測室。但是如果我們將驅(qū)動性問題改為“如何為體質(zhì)檢測室鋪上既美觀又實用的幾何地墊”，那么，學(xué)生在解決這一驅(qū)動性問題時，對地墊形狀的選擇就不再局限于長方形，從而引發(fā)學(xué)生批判性的思考——地墊一定要是長方形的嗎？從更合理的角度，地墊可以用怎樣的圖形，甚至組合的密鋪圖形？而且“美觀又實用”的限制性條件，也可以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)意味著學(xué)生同時習(xí)得了一種心智上的獨立、審慎、批判性思考的傾向性，而這種傾向性的培養(yǎng)不是與數(shù)學(xué)知識分離的，而是整合在項目中的。驅(qū)動性問題的調(diào)整為這種理想的實現(xiàn)提供了一個可見的載體。

(四) 應(yīng)開展適合中國教學(xué)的數(shù)學(xué)項目

適合中國課堂的數(shù)學(xué)項目是怎樣的？這是一個需要長期探索的命題。這篇文章還不能給出答案，但是上文已經(jīng)給出了一些嘗試的方向。我們還想要強調(diào)的是，照搬美國數(shù)學(xué)項目的設(shè)計方向，不一定就是最好的。上文所提出的各項建議都需要根據(jù)我們現(xiàn)實的情境，考慮比例、學(xué)生已有的基礎(chǔ)、課時等限制條件。以上述建議中所提到的真實復(fù)雜的問題為例，這類項目往往會采用現(xiàn)實真實的問題情境，而現(xiàn)實真實的問題情境會包含很多無關(guān)的、冗余的信息，它們都會對學(xué)生形成沖擊和干擾，尤其是小學(xué)、初中階段的學(xué)生，可能很難去把握其中的核心問題和核心知識。而且，現(xiàn)實真實條件下的項目，操作起來需要花費非常多的時間。比如“作為市場調(diào)查分析師，如何幫助企業(yè)利益最大化”這個問題是現(xiàn)實真實的問題，項目目標是希望學(xué)生運用數(shù)字建模、數(shù)學(xué)函數(shù)等方法為企業(yè)提出分析與建議，如果直接讓學(xué)生解決這個問題，會花費大量的時間，學(xué)生也會被企業(yè)中的其他信息所干擾，無法直接運用核心知識來解決問題。因此教師可以對這個問題進行簡化處理，提取出企業(yè)中與問題相關(guān)的信息，來讓學(xué)生解決。對于實踐探索經(jīng)驗和能力較充份的學(xué)校，每年為學(xué)生提供機會接觸現(xiàn)實真實的問題情境，經(jīng)歷真實世界中的問題解決的探索歷程，是非常有意義的，但對于剛開始嘗試的學(xué)校，大量地實踐現(xiàn)實真實的項目將會造成混亂。在課時緊張的情況下，中國的學(xué)校和教師會很難駕馭，也缺少類似的經(jīng)驗，在項目進行中會遇到各種各樣不確定的因素，學(xué)生和教師很容易受到?jīng)_擊而感到沮喪。為此，對這一類的學(xué)校而言，模擬真實和有一定凈化程度的“構(gòu)造的真實”(即上文提到的“凈化真實”)可能更適合。這類項目中，學(xué)生可以在不算特別復(fù)雜的情境中，探索需要用什么樣的知識來解決問題，從而加強對核心概念的理解和轉(zhuǎn)化。甚至，從更有利于大范圍的課堂育人范式轉(zhuǎn)型而言，我們的數(shù)學(xué)項目可以先不專注設(shè)計“典型的項目化學(xué)習(xí)”，而是設(shè)計能促進學(xué)生數(shù)學(xué)思考的微項目。在日常教學(xué)中，通過設(shè)計指向核心知識的真實性、挑戰(zhàn)性問題來促進學(xué)生的數(shù)學(xué)實踐，生活化數(shù)學(xué)課堂也是很有意義的，比如一些學(xué)校開展的測量操場、統(tǒng)計光盤率等微項目。雖然這種類型的微項目在一些嚴格的項目化學(xué)習(xí)標準中被看作“甜點”，但是我們認為，能夠真實地促進學(xué)生的數(shù)學(xué)探索和實踐都是有價值的，對學(xué)生的成長來說，要比構(gòu)造一個宏大但難以實行或空心化的項目更有意義。

最后，本文解析了80個項目的驅(qū)動性問題設(shè)計，這是我們分析項目化學(xué)習(xí)設(shè)計的一個重要視角，但完整的項目化學(xué)習(xí)的質(zhì)量和學(xué)生學(xué)習(xí)的質(zhì)量并不完全依托于驅(qū)動性問題。問題如何破解，學(xué)生在問題中經(jīng)歷了怎樣的數(shù)學(xué)實踐，形成了怎樣的數(shù)學(xué)理解，是否產(chǎn)生了富有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)項目成果，都可以進行更深層次的對比分析，而這些研究也是我們建構(gòu)更深層次的各學(xué)科的項目化學(xué)習(xí)設(shè)計和實施中國之路的基礎(chǔ)。