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連點(diǎn)成線,滲透函數(shù)思想
——“正比例圖像”教學(xué)設(shè)計(jì)及評(píng)析

2022-10-23 07:28顧文亞許志君
江西教育 2022年38期
關(guān)鍵詞:正比例路程直線

■ 顧文亞 許志君

在正比例教學(xué)中滲透函數(shù)思想,能有效銜接中小學(xué)教學(xué)內(nèi)容,為學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)圖像埋下伏筆?!罢壤龍D像”是蘇教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容,本節(jié)課主要通過(guò)正比例圖像的教學(xué),立足生長(zhǎng)點(diǎn),關(guān)注細(xì)節(jié)點(diǎn),發(fā)展延伸點(diǎn),加深學(xué)生對(duì)正比例關(guān)系中數(shù)值變化規(guī)律的認(rèn)識(shí),初步滲透函數(shù)思想。

一、復(fù)習(xí)舊知,錨定起點(diǎn)

師:上節(jié)課我們通過(guò)研究表格里兩種相關(guān)聯(lián)量的數(shù)據(jù)變化,認(rèn)識(shí)了正比例。誰(shuí)來(lái)具體說(shuō)說(shuō)圖1 中的表格所呈現(xiàn)的路程和時(shí)間為什么成正比例關(guān)系?

生:因?yàn)槁烦毯蜁r(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量,時(shí)間變化,路程也隨著變化。通過(guò)計(jì)算,路程和相對(duì)應(yīng)時(shí)間的比值一定,也就是速度總是一定。所以表中汽車行駛的路程和時(shí)間成正比例關(guān)系。

師:誰(shuí)還記得正比例關(guān)系可以用怎樣的式子表示?

生:y/x=k(一定)。

師:像圖1這樣的正比例關(guān)系,不僅可以用式子表示,還可以用圖像來(lái)表示。今天我們一起來(lái)學(xué)習(xí)正比例圖像。

圖1

【評(píng)析】正比例的學(xué)習(xí),是學(xué)生第一次正式接觸“變量”關(guān)系,是函數(shù)思想在小學(xué)階段的初步滲透。本環(huán)節(jié)的復(fù)習(xí),應(yīng)用正比例的意義判斷兩種量是不是成正比例,為正比例圖像的認(rèn)識(shí)、理解與繪制做鋪墊。

二、化靜為動(dòng),理解圖像

師:我們將表格里的時(shí)間欄畫成橫軸,橫軸上一格表示多少小時(shí)?(課件演示:從0開始,把橫軸向右拉動(dòng),動(dòng)態(tài)出示刻度線和相應(yīng)的數(shù)據(jù),如圖2所示)

圖2

生:橫軸上的一格表示1小時(shí)。

師:隨著時(shí)間的變化,路程也隨著變化。這里的縱軸表示路程,縱軸上一格表示多少千米?

(課件演示:把縱軸向上拉動(dòng),動(dòng)態(tài)出示刻度線和相應(yīng)的數(shù)據(jù),如圖2所示)

生:縱軸上的一格表示80千米。

師:橫軸和縱軸就表示表中兩種相關(guān)聯(lián)的量。

師:如果要用1 個(gè)點(diǎn)表示1 小時(shí)行駛80 千米。這個(gè)點(diǎn)在哪里?你們是怎么找的?

師:如果要用1 個(gè)點(diǎn)表示2 小時(shí)行駛160 千米呢?5小時(shí)呢?

(學(xué)生在作業(yè)紙上找一找)

師(指著圖3 中的一個(gè)點(diǎn)):老師在這張圖上也找了一個(gè)點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)表示什么意思?

生:這個(gè)點(diǎn)橫軸指向7,縱軸指向560,表示7 小時(shí)行駛了560千米。

師:是的,我們用一個(gè)點(diǎn)就能表示這輛汽車行駛某段時(shí)間所對(duì)應(yīng)的路程。你們還能找到像這樣的點(diǎn)嗎?

(學(xué)生同桌交流)

師(指著圖3 中的點(diǎn)):其實(shí)像這樣的點(diǎn)還有很多,比如,這個(gè)點(diǎn),表示汽車1.2小時(shí)行駛96千米;這個(gè)點(diǎn),表示汽車1.5小時(shí)行駛120千米;這個(gè)點(diǎn),表示汽車4.3小時(shí)行駛344千米;這個(gè)點(diǎn),表示汽車4.7小時(shí)行駛376千米……

圖3

師:把這些點(diǎn)連起來(lái),你們有什么發(fā)現(xiàn)?

生:我發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)連起來(lái)是一條直線。

生:這些點(diǎn)連起來(lái)是一條線段。

師:對(duì),這些點(diǎn)都在一條直線上,這條直線可以向兩端延長(zhǎng)。瞧,這個(gè)“0”點(diǎn),表示汽車處于什么狀態(tài)?

生:汽車還沒(méi)有啟動(dòng),處于靜止?fàn)顟B(tài)。

師:是的,這條直線上的每一個(gè)點(diǎn)都可以表示一組對(duì)應(yīng)的量。瞧,汽車以同樣的速度繼續(xù)行駛,路程就隨著時(shí)間的變化而變化。這條直線上的每個(gè)點(diǎn)都可以看出汽車行駛的時(shí)間和所對(duì)應(yīng)的路程,這個(gè)圖像就表示了時(shí)間和路程的正比例關(guān)系(如圖4)。

圖4

師:根據(jù)圖4 中的圖像,你們知道這輛汽車2.5小時(shí)行駛多少千米?行駛440 千米需要多少小時(shí)?你們是怎么知道的?

生:我用直尺畫兩條虛線,就可以看出這輛汽車2.5小時(shí)行駛了200千米。

生:我用三角尺比一比,一條直角邊指向橫軸上的2.5,三角尺直角的頂點(diǎn)和這條直線相交,然后再看另一條直角邊指向幾就可以知道2.5 小時(shí)行駛了200千米。

師:是個(gè)好辦法。根據(jù)已知數(shù)值2.5,找到圖像上對(duì)應(yīng)的點(diǎn),再順著這個(gè)點(diǎn)找到相對(duì)應(yīng)的路程。

師:行駛440千米需要多少小時(shí)呢?

生:我用三角尺比一比,根據(jù)已知數(shù)值440,找到圖像上對(duì)應(yīng)的點(diǎn),再順著這個(gè)點(diǎn)找到相對(duì)應(yīng)的時(shí)間。440千米需要5.5小時(shí)。

師:同學(xué)們巧用學(xué)具,根據(jù)圖像找到了相應(yīng)的數(shù)據(jù)。接下來(lái),請(qǐng)大家算一算路程和時(shí)間的比值是多少。

生:200÷2.5=80,比值是80。生:400÷5=80,比值是80。

生:我覺(jué)得不管選哪個(gè)點(diǎn),只要是在這條直線上,路程和時(shí)間的比值都是80。

師:在計(jì)算、觀察中同學(xué)們又有了新的發(fā)現(xiàn)和理解,這輛汽車行駛過(guò)程中隨著時(shí)間的變化,路程也隨之變化,但是速度不變??粗鴪D4,我們還可以找到、聯(lián)想到更多這樣的點(diǎn)。所以,正比例圖像一般是從0開始畫一條射線。

師:點(diǎn)(4,160)在這條直線上嗎?為什么?

生:我從圖上看出,這個(gè)點(diǎn)不在這條直線上。

生:這輛汽車每小時(shí)行駛80千米,4小時(shí)應(yīng)該行駛320千米,所以這個(gè)點(diǎn)不在這條直線上。

生:我也是這樣計(jì)算的,如果用160除以4,速度只有40,所以這個(gè)點(diǎn)不在這條直線上。

師:看來(lái),利用正比例圖像,可以幫助我們解決實(shí)際問(wèn)題。

【評(píng)析】這一環(huán)節(jié)的教學(xué)既要讓學(xué)生“看到”這些點(diǎn)在一條直線上,同時(shí)讓學(xué)生通過(guò)“算一算”,感受這些數(shù)值是特殊的,并通過(guò)反例“點(diǎn)(4,160)為什么不在這條直線上”的追問(wèn),明確只有當(dāng)路程和時(shí)間的比值是80時(shí),所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)才在這條直線上。在畫圖的過(guò)程中,清楚地感受到這條直線所包含的無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)的共同特征,感知符合不變規(guī)律的“每組數(shù)”的無(wú)限性,即體會(huì)直線背后所蘊(yùn)含的知識(shí)內(nèi)核。

三、生活運(yùn)用,感受價(jià)值

師:第1題(如圖5),請(qǐng)同學(xué)們自己做一做。

圖5

生:根據(jù)圖像是一條直線,可以知道小玲打字的數(shù)量和時(shí)間成正比例。

生:我用三角尺幫助看圖,根據(jù)省略號(hào)所繪制的圖像可以看出,小玲5 分鐘可以打250 個(gè)字,打750個(gè)字要超過(guò)14分鐘。

師:同學(xué)們學(xué)會(huì)了根據(jù)圖像分析、解決問(wèn)題,再仔細(xì)觀察,圖6中這兩個(gè)圖像有什么相同的地方?

圖6

生:兩種量都表示正比例關(guān)系,所呈現(xiàn)的圖像都是一條射線。

生:每個(gè)點(diǎn)所表示的對(duì)應(yīng)量的比值是一定的。

師:對(duì),正比例關(guān)系的圖像就是像這樣的一條直線。上節(jié)課我們通過(guò)計(jì)算比值是否一定來(lái)判斷兩種量是否成正比例,現(xiàn)在我們還可以根據(jù)這樣的圖像直接判斷。

師:接下來(lái),你們會(huì)根據(jù)圖7中的圖像直接判斷嗎?

生:圖7中的圖像是一條射線,所以路程和時(shí)間成正比例。

圖7

生:用三角尺比畫,從圖上可以看出,20分鐘所行的路程在4 千米到8 千米之間,更接近4 千米,我估計(jì)比5千米多一些。

生:行10 千米,10 正好在8 和12 的中間,所以,我的三角尺這樣擺,順著另一條直角邊看下來(lái),在30分和40分之間,我估計(jì)要行35分鐘。

師:同學(xué)們會(huì)使用工具,而且也做出了比較精準(zhǔn)的比照和預(yù)估,真不錯(cuò)。接下來(lái)根據(jù)這里的數(shù)據(jù),你們能畫出圖像嗎?請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)手畫一畫。

【評(píng)析】在練習(xí)環(huán)節(jié),教師安排了三個(gè)層次的練習(xí)。第1題,以形變數(shù),根據(jù)圖像直接判斷兩種量之間的關(guān)系;第2 題,以數(shù)化形,根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫圖,理解關(guān)系,拓展優(yōu)化畫圖方法,進(jìn)一步凸顯圖像的本質(zhì),滲透函數(shù)思想;第3題,形數(shù)互變,讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中感受圖像的價(jià)值,更直觀、更清楚,有助于學(xué)生分析與推理問(wèn)題,滲透函數(shù)思想。

四、歸納整理,拓展延伸

師:今天我們認(rèn)識(shí)了正比例圖像,誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)你的收獲?

師:如果橫軸上的量用x表示,縱軸上的量用y表示,在這樣的圖像上,可以找到任意一個(gè)x所對(duì)應(yīng)的y。同學(xué)們,隨著以后的學(xué)習(xí),這條直線還可以向其他方向延伸,你們覺(jué)得會(huì)形成怎樣的圖像呢?課后大家可以繼續(xù)研究。

【評(píng)析】正比例圖像是一種特殊的一次函數(shù)圖像,函數(shù)圖像既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念,又是研究函數(shù)的重要工具,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)觀念和數(shù)形結(jié)合思想具有重要作用。

【總析】

1.立足生長(zhǎng)點(diǎn),讓正比例關(guān)系“看得見”。在正比例圖像的形成過(guò)程中,“一個(gè)點(diǎn)能表示這輛汽車行駛某段時(shí)間及相應(yīng)路程這樣一組對(duì)應(yīng)的數(shù)值”,這是學(xué)生上節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容,在此基礎(chǔ)上教師提問(wèn)“你們還能找到像這樣的點(diǎn)嗎”?預(yù)估學(xué)生找到的都是格點(diǎn)上的點(diǎn),及時(shí)補(bǔ)充“其實(shí)像這樣的點(diǎn)還有很多”,隨機(jī)出示格點(diǎn)之間的點(diǎn),不斷增加點(diǎn)的密度,讓學(xué)生初步感受這些點(diǎn)可能在一條直線上,清晰地看見這條直線上有很多個(gè)這樣的點(diǎn),從而感受正比例圖像的連續(xù)性,滲透函數(shù)的連續(xù)性。

2.關(guān)注細(xì)節(jié)點(diǎn),讓正比例關(guān)系“看得清”。正比例圖像是用一條直線把一些特殊的點(diǎn)連接起來(lái)。在連點(diǎn)成線的過(guò)程中,學(xué)生最容易忽視兩點(diǎn):一是對(duì)圖像起點(diǎn)的認(rèn)識(shí),二是對(duì)圖像終點(diǎn)的認(rèn)識(shí)。因此,本節(jié)課教學(xué)從“橫軸和縱軸的出示”“各點(diǎn)位置的確定”到“圖像的形成”,都以動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)?;o為動(dòng),在教學(xué)中關(guān)注橫軸與縱軸所表示的意思,關(guān)注點(diǎn)的位置的確定過(guò)程,在逐步呈現(xiàn)的過(guò)程中幫助學(xué)生經(jīng)歷圖像的形成過(guò)程,促進(jìn)學(xué)生對(duì)點(diǎn)所表示意思的理解,滲透函數(shù)思想。

3.發(fā)展延伸點(diǎn),讓正比例關(guān)系“看得遠(yuǎn)”。本節(jié)課教學(xué)從例題到習(xí)題的設(shè)計(jì),數(shù)形結(jié)合,動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)。連點(diǎn)成線是繪制正比例圖像的方法和步驟,體現(xiàn)了正比例圖像的工具性。從有數(shù)個(gè)點(diǎn)走向無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn),體現(xiàn)了正比例圖像的意義。

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