高小紅

(江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)獨(dú)墅湖學(xué)校，215000)

“簡約”源于大道至簡的理念,“智慧”指向課堂教學(xué)的本真．?dāng)?shù)學(xué)具有深刻性,數(shù)學(xué)表達(dá)具有求簡性,數(shù)學(xué)教學(xué)具有智慧性．教師應(yīng)努力引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)由繁而簡,由亂而序,由散而整,由表及里的過程．在學(xué)?！昂喖s智慧”課堂教學(xué)改革實(shí)踐的背景下,筆者以一次函數(shù)的應(yīng)用(行程問題)為例,談?wù)勛约旱膶?shí)踐與體會(huì)．

一、教材分析與設(shè)計(jì)理念

本課屬于蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第六章“一次函數(shù)”的內(nèi)容．通過七年級(jí)的學(xué)習(xí),學(xué)生已經(jīng)掌握了一元一次方程和一元一次不等式的相關(guān)內(nèi)容,能用一元一次方程和一元一次不等式解決實(shí)際問題．本課是在學(xué)習(xí)完“一次函數(shù)”章節(jié)后進(jìn)行的專題復(fù)習(xí)．行程問題是一次函數(shù)應(yīng)用中的熱點(diǎn)題型．這類題型多以文字和圖象的形式呈現(xiàn),對(duì)學(xué)生分析問題、解決問題的能力要求較高．

設(shè)計(jì)理念基于“簡約智慧”數(shù)學(xué)課堂的理念,本課以一個(gè)問題為導(dǎo)向,通過兩個(gè)變式,三個(gè)步驟,將一次函數(shù)行程問題中涉及的單線和雙線類型一網(wǎng)打盡．

教學(xué)目標(biāo)

1.能看懂一次函數(shù)圖象呈現(xiàn)的行程信息,從一次函數(shù)圖象中讀取行程信息．

2.會(huì)用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式,能理解圖象中特殊點(diǎn)表示的實(shí)際意義．

3.能用一次函數(shù)模型解決實(shí)際行程問題,感受用函數(shù)圖象法解決問題的優(yōu)越性．

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)結(jié)合函數(shù)圖象,厘清各變量之間的關(guān)系．

教學(xué)難點(diǎn)利用函數(shù)知識(shí),解決實(shí)際問題,體會(huì)函數(shù)圖象法的優(yōu)越性．

二、教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1

問題A，B兩城相距200千米,甲、乙兩車同時(shí)從A城出發(fā)駛向B城,甲車到達(dá)B城后立即返回.如圖1是他們離A城的距離y(千米)與行駛時(shí)間x(小時(shí))之間的函數(shù)圖象.

信息讀取:(1)由圖象知,甲車從A城出發(fā)駛向B城的速度為______km/h,甲車到達(dá)B城后返回的速度為______km/h,乙車的速度為______km/h.

圖象理解:(2)圖象中交點(diǎn)M表示的實(shí)際意義是什么?并求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

問題解決:(3)求甲從開始出發(fā)行駛了多少小時(shí),兩車相遇?

分析從圖象上看,橫軸表示行駛時(shí)間,縱軸表示甲、乙兩車與A城的距離．由圖象可知,直線DM與直線OC的表達(dá)式均可求．結(jié)合實(shí)際意義可知,甲車從A城出發(fā)駛向B城的速度100 km/h,甲車到達(dá)B城后返回的速度為80 km/h,乙車的速度為40 km/h．交點(diǎn)M表示甲到達(dá)B城后返回的途中與乙相遇．

設(shè)計(jì)意圖以此問題為導(dǎo)向,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)審題、讀取信息．將圖象信息翻譯成文字信息前,先要弄清楚橫縱軸表示的意義以及甲乙兩車分別由哪條線段表示,特別理解圖中關(guān)鍵點(diǎn)(交點(diǎn)、拐點(diǎn))的意義．在求交點(diǎn)M的坐標(biāo)時(shí),用待定系數(shù)法求解是學(xué)生很容易想到的．理解了交點(diǎn)M的實(shí)際意義,第3小問便迎刃而解．也有學(xué)生會(huì)考慮用方程思想解決,在這里一并展示,列一元一次方程解決此問題也不難,但比較兩種方法后，顯然該問題用函數(shù)圖象法解決更加快捷．

變式1甲、乙兩車分別從相距200千米的A，B兩城同時(shí)出發(fā)相向而行,甲到B地后立即返回,乙到A地后停止行駛,圖2是他們離開各自出發(fā)地的距離y(km)與行駛時(shí)間x(h)之間的函數(shù)圖象.

信息讀取:(1)本題與上一題相比,哪些信息一致?哪些信息不一致?

圖象理解:(2)求出函數(shù)圖象交點(diǎn)M的坐標(biāo)并指出該交點(diǎn)坐標(biāo)的實(shí)際意義?

問題解決:(3)求甲、乙兩車從各自出發(fā)地駛出后經(jīng)過多長時(shí)間相遇?

分析甲、乙兩車從兩地同時(shí)出發(fā)相向而行．從圖象上看,橫軸表示行駛時(shí)間,縱軸表示甲、乙兩車離開各自出發(fā)地的距離．甲、乙兩車的行駛速度以及交點(diǎn)M的坐標(biāo)與上一題一致．交點(diǎn)M表示甲乙兩車行駛3小時(shí)后,離各自出發(fā)地都是120 km．第3小問需要分甲返回前和返回后兩種情況討論．在這里學(xué)生可能會(huì)有不同的解題策略:一種是畫線段示意圖,使用一元一次方程解決,其中甲返回后的追及問題可能容易出錯(cuò);另一種是直接利用函數(shù)方法解決．

設(shè)計(jì)意圖本題承接上題,函數(shù)圖象一模一樣,但表達(dá)的信息卻大不相同,可見讀取信息,厘清各變量之間關(guān)系的重要性．因?yàn)榭v軸的意義發(fā)生了變化,第3小問求相遇時(shí)間顯然比上一題的第3小問要難一些．通過兩種解題策略(函數(shù)圖象法和方程法)讓學(xué)生感受和比較不同方法的聯(lián)系與區(qū)別．

變式2甲、乙兩車分別從A，B兩城同時(shí)出發(fā),相向而行.設(shè)行駛xh時(shí),兩車之間的路程為ykm.圖3中折線AECD表示y與x的函數(shù)關(guān)系.

信息讀取:(1)A，B兩城的距離為______km; (2)點(diǎn)E表示的實(shí)際意義是什么?

圖象理解:(3)慢車的速度為______km/h,快車的速度為______km/h;

(4)解釋圖中點(diǎn)C的實(shí)際意義,求出點(diǎn)C的坐標(biāo);

問題解決:(5)慢車行駛多長時(shí)間,兩車相距150 km?

設(shè)計(jì)意圖變量y(路程)與x(時(shí)間)之間的變化關(guān)系由前面問題中的雙線型變?yōu)閱尉€型,但分析問題的方法不變．通過信息讀取,弄清橫縱軸表示的意義以及圖中關(guān)鍵點(diǎn)(交點(diǎn)、拐點(diǎn))表示的實(shí)際意義．第5小問通過兩種解題策略(函數(shù)圖象法和方程法)感受用函數(shù)圖象解決問題的優(yōu)越性．

環(huán)節(jié)2應(yīng)用實(shí)踐

1.A，B兩城相距600千米,甲、乙兩車同時(shí)從A城出發(fā)駛向B城,甲車到達(dá)B城后立即返回.圖4是他們離A城的距離y(千米)與行駛時(shí)間x(小時(shí))之間的函數(shù)圖象.

(1)求甲車行駛過程中y與x之間的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍.

(2)當(dāng)他們行駛了7小時(shí)時(shí),兩車相遇,求乙車速度.

2.一列快車從甲地勻速駛往乙地,一列慢車從乙地勻速駛往甲地.設(shè)一輛車先出發(fā)xh后,另一輛車也開始行駛,兩車之間的距離為ykm.當(dāng)兩車均到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí),運(yùn)動(dòng)停止.圖5是y與x之間函數(shù)關(guān)系的部分圖象.

(1)由圖象知,慢車的速度為______km/h,快車的速度為______km/h;

(2)請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全函數(shù)圖象;

(3)求當(dāng)x為多少時(shí),兩車之間的距離為300 km.

設(shè)計(jì)意圖本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了兩道題,包含單線和雙線兩種類型,能較好地檢測學(xué)生本節(jié)課的課堂效果．其中第2題需要學(xué)生通過讀題審題,運(yùn)用所學(xué),自行畫出剩余部分的函數(shù)圖象,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力要求更高．

環(huán)節(jié)3回顧總結(jié)

設(shè)計(jì)意圖先由學(xué)生通過自己總結(jié)本節(jié)課收獲,再以知識(shí)框架思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)本節(jié)課的主要內(nèi)容以及所蘊(yùn)含的主要思想方法．思維導(dǎo)圖的形式簡明扼要、直觀清晰,便于學(xué)生將所學(xué)內(nèi)容更好地內(nèi)化吸收,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡約之美(圖6)．

二、“簡約智慧”理念下的教學(xué)反思

1.精選素材,以簡馭繁

“簡約智慧”教學(xué),要求教師認(rèn)真研讀教材,還能對(duì)各種教學(xué)素材綜合精當(dāng)取舍、取其精華、以簡馭繁．剛開始設(shè)計(jì)本節(jié)課環(huán)節(jié)一部分時(shí),筆者從相遇問題和追及問題兩個(gè)類別分別設(shè)計(jì)了兩道題(包含單線和雙線型),但問題背景不同,顯得有點(diǎn)雜．基于“簡約智慧”教學(xué)理念,教師最終選定了本課開始所呈現(xiàn)的一個(gè)問題背景,并在此基礎(chǔ)上,對(duì)該問題素材進(jìn)行了適當(dāng)改編．通過兩個(gè)變式,展示問題本質(zhì)的同時(shí)保持了問題情境的連貫性,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡約之妙．

2.返璞歸真,簡而不減

好的數(shù)學(xué)課是自然流淌的課．教師要關(guān)注學(xué)生已有的知識(shí)積累及最近思維發(fā)展區(qū),還要預(yù)設(shè)學(xué)生的不同解題策略.摒棄作秀、返璞歸真,才是真正尊重學(xué)生思維的自然生長．在本課的教學(xué)過程中,通過展示方程法和函數(shù)法兩種不同的方法,在對(duì)比中使學(xué)生感知函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)系與區(qū)別,以及用函數(shù)圖象解決問題的優(yōu)越性,比單純的說教、灌輸更有效．簡潔的問題設(shè)計(jì)、自然的課堂生成、豐富的數(shù)學(xué)方法、深刻的數(shù)學(xué)思想是“簡約智慧”數(shù)學(xué)課堂所追求的內(nèi)在品質(zhì)．

3. 簡約于形,精思于心

“簡約智慧”課堂既著力于教學(xué)的深刻表達(dá),又關(guān)注于學(xué)生的學(xué)習(xí)啟迪,還簡于形而精于心．?dāng)?shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)求簡性的重要表現(xiàn)．簡約的數(shù)學(xué)符號(hào)、圖象背后蘊(yùn)含了大大的數(shù)學(xué)奧秘．“立意于象”“立象盡意”“尋象觀意”都表達(dá)了這個(gè)意思．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是兒童數(shù)學(xué)思維豐富、學(xué)習(xí)情智豐富的過程．喻理于形,“形”可變,問題情境可變,但“理”不變．應(yīng)用實(shí)踐的第2題需要學(xué)生運(yùn)用所學(xué)來補(bǔ)全函數(shù)圖象,是對(duì)所學(xué)成果的檢驗(yàn),也是智慧生成的體現(xiàn)．利用思維導(dǎo)圖結(jié)構(gòu)化的總結(jié),既藏“神”于“形”,又簡中有趣．