文|陳力

“雙減”背景下作業(yè)或練習(xí)的設(shè)計(jì)與管理成為大家研究的一個(gè)焦點(diǎn)，有效設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)練習(xí)也成為數(shù)學(xué)教學(xué)中減負(fù)增效的一個(gè)突破口。數(shù)學(xué)是一門關(guān)于結(jié)構(gòu)的科學(xué)，運(yùn)用“結(jié)構(gòu)”的力量可以促進(jìn)學(xué)生牢固記憶、深刻理解和有效遷移。因此，“結(jié)構(gòu)化練習(xí)”是數(shù)學(xué)練習(xí)中追求輕負(fù)高質(zhì)的一個(gè)重要“腳手架”。

數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)化練習(xí)”以模塊題組為載體，以結(jié)構(gòu)化超越碎片化，以“題組”取代“題?！?，追求輕負(fù)高質(zhì)的練習(xí)效果。具體來(lái)說(shuō)，它是指數(shù)學(xué)教師把新知分解成一個(gè)個(gè)模塊（以一節(jié)課或一個(gè)單元為界），弄清模塊的結(jié)構(gòu)組成，圍繞模塊結(jié)構(gòu)中核心要素的生發(fā)過(guò)程，運(yùn)用結(jié)構(gòu)化的思想設(shè)計(jì)相配套的練習(xí)題組，通過(guò)結(jié)構(gòu)化題組的訓(xùn)練，促進(jìn)學(xué)生對(duì)新知模塊結(jié)構(gòu)化理解的形成、鞏固、深化與拓展，從而以最優(yōu)的題組結(jié)構(gòu)練習(xí)實(shí)現(xiàn)“以少勝多”的目的?！敖Y(jié)構(gòu)化練習(xí)”以“題組”形式呈現(xiàn)，但不是一組題的簡(jiǎn)單拼湊，而是在某一知識(shí)模塊共同數(shù)學(xué)本質(zhì)或思想方法統(tǒng)領(lǐng)下設(shè)計(jì)出來(lái)的具有內(nèi)在關(guān)聯(lián)性和最優(yōu)結(jié)構(gòu)的好題組合。

根據(jù)上述界定，以“模塊題組”為載體的數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)化練習(xí)”有兩個(gè)著力點(diǎn)：一方面要精準(zhǔn)吃透“模塊結(jié)構(gòu)”的內(nèi)涵與組成，弄清該數(shù)學(xué)知識(shí)模塊的數(shù)學(xué)本質(zhì)，對(duì)它進(jìn)行結(jié)構(gòu)剖析，解析出核心要素及其相互關(guān)聯(lián)，并圍繞該模塊結(jié)構(gòu)的生發(fā)與完善過(guò)程提供相應(yīng)的練習(xí)；另一方面要盡力優(yōu)化“題組結(jié)構(gòu)”設(shè)計(jì)策略，遵循分層漸進(jìn)的原則，安排形成題、基礎(chǔ)題、變式題、拓展題等練習(xí)梯度，采取結(jié)構(gòu)化的對(duì)比辨析、同模變題、逆向編題、內(nèi)聯(lián)溝通等方法進(jìn)行最優(yōu)組題。

因?yàn)閿?shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)化練習(xí)”著眼于模塊結(jié)構(gòu)視角設(shè)計(jì)配套練習(xí)，充分挖掘題組的結(jié)構(gòu)性優(yōu)勢(shì)實(shí)現(xiàn)題目的優(yōu)化組合，所以根據(jù)數(shù)學(xué)模塊結(jié)構(gòu)發(fā)生流程中的各階段特點(diǎn)，可設(shè)計(jì)以下一些同步的題組結(jié)構(gòu)練習(xí)。

一、模塊結(jié)構(gòu)“生成”階段，設(shè)計(jì)“形成性”題組結(jié)構(gòu)練習(xí)

以一節(jié)新授課作為一個(gè)模塊結(jié)構(gòu)來(lái)看，教師要給學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)材料，通過(guò)有序的認(rèn)知流程，幫助學(xué)生建立一個(gè)初步的新知認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)材料通常以主題情境題目或嘗試練習(xí)的形式來(lái)呈現(xiàn)，為了有效促進(jìn)學(xué)生新知結(jié)構(gòu)的順利生成，教師要找準(zhǔn)新知模塊結(jié)構(gòu)中的核心要點(diǎn)，針對(duì)這些要點(diǎn)提供配套的“形成性練習(xí)”，并使這些練習(xí)題之間具有某種結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性，通過(guò)結(jié)構(gòu)化題組形成合力，共同促進(jìn)學(xué)生新知模塊雛形的初步動(dòng)態(tài)生成。

例如，學(xué)習(xí)《商不變規(guī)律》一課，通過(guò)導(dǎo)入環(huán)節(jié)，學(xué)生明確了今天是研究“除法里被除數(shù)和除數(shù)怎樣變化商才不變”這一主題?！渡滩蛔円?guī)律》這一模塊的本質(zhì)是“除法里變中有不變的要素特征”，其結(jié)構(gòu)組成中的核心要點(diǎn)有：同時(shí)乘、同時(shí)除以、相同的數(shù)（0 除外）等。這些要點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性是：“同時(shí)”“相同”與“乘除”之間的條件性組合。為了促進(jìn)《商不變規(guī)律》模塊結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)生成，教師出示“（60○□）÷（20○□）=3”讓學(xué)生嘗試練習(xí)，在學(xué)生練習(xí)后選擇部分代表性作品組成“形成性練習(xí)”結(jié)構(gòu)題組：①（60×2）÷（20×2）=3；②（60×2）÷（20×3）=2；③（60÷4）÷（20÷4）=3；④（60÷3）÷（20÷5）=5；⑤（60×2）÷（20÷2）=12；⑥（60×3）÷（20÷4）=36；⑦（60+20）÷（20＋20）=2；⑧（60－10）÷（20－10）=5。教師運(yùn)用這些“形成性練習(xí)”結(jié)構(gòu)題組讓學(xué)生展開進(jìn)一步探索：先按商不變的和商變了的進(jìn)行分類，觀察商不變的題目有什么特點(diǎn)，并按這些特點(diǎn)再次舉例驗(yàn)證；對(duì)商變了的題目思考為什么會(huì)變，如果要使商不變可以怎樣修改？并探究“被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)加上或減去相同的數(shù)”商變不變？通過(guò)對(duì)上述這些正反材料的結(jié)構(gòu)化辨析，學(xué)生初步生成了“被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0 除外），商才不變”這一模塊結(jié)構(gòu)，為后續(xù)的進(jìn)一步鞏固和深化認(rèn)識(shí)奠定了基礎(chǔ)。

二、模塊結(jié)構(gòu)“鞏固”階段，設(shè)計(jì)“基礎(chǔ)性”題組結(jié)構(gòu)練習(xí)

前一環(huán)節(jié)中學(xué)生通過(guò)形成性學(xué)習(xí)已初步生成了新知模塊的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)還不是很穩(wěn)定，需要進(jìn)行一些鞏固基礎(chǔ)的活動(dòng)。教師要對(duì)新知模塊結(jié)構(gòu)進(jìn)行深度剖析，找準(zhǔn)結(jié)構(gòu)中起決定性作用的本質(zhì)要素，針對(duì)這些本質(zhì)要素安排“基礎(chǔ)性”題組結(jié)構(gòu)練習(xí)進(jìn)行即時(shí)鞏固。“基礎(chǔ)性”題組結(jié)構(gòu)練習(xí)的設(shè)計(jì)策略有：圍繞該模塊結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)專項(xiàng)鞏固本質(zhì)內(nèi)涵或組成要素的結(jié)構(gòu)化題組，該題組遵循由封閉到半開放再到全開放的循序漸進(jìn)原則，由具體到抽象，逐步遞進(jìn)，抓住相同點(diǎn)進(jìn)行提煉，根據(jù)不同點(diǎn)進(jìn)行辨析，以少而精的基礎(chǔ)性練習(xí)對(duì)初步形成的模塊結(jié)構(gòu)進(jìn)行首次鞏固。

例如，學(xué)習(xí)《乘法分配律》一課，當(dāng)學(xué)生通過(guò)探索初步獲得“（a+b）×c=a×c+b×c”的模型結(jié)構(gòu)后，教師圍繞該模塊中的“兩個(gè)數(shù)的和與第三個(gè)數(shù)相乘”“這兩個(gè)數(shù)分別與第三個(gè)數(shù)相乘后的積再相加”“得數(shù)不變”等核心要素給學(xué)生提供以下專項(xiàng)的基礎(chǔ)性結(jié)構(gòu)題組進(jìn)行鞏固：①（42＋35）×2=42×□＋35×□；②27×12＋43×12=（27＋□）×□；③15×26＋□×11=（□＋□）×□；④（□＋□）×□=18×14＋□×□。該題組的結(jié)構(gòu)組成是：前兩題是封閉題，第③題是半開放題（有兩種不同組合），第④題是全開放題（自由確定第3 個(gè)數(shù)后再進(jìn)行兩種不同組合），通過(guò)這些步步推進(jìn)的結(jié)構(gòu)化題組練習(xí)初步鞏固了乘法分配律的模塊結(jié)構(gòu)。

又如，學(xué)習(xí)《小數(shù)的意義》一課，小數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵是“十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種表示形式”，學(xué)生學(xué)了這一課后，要能準(zhǔn)確地說(shuō)出任何一個(gè)小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)意義之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。新授之后為了鞏固這一模塊結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，可給學(xué)生設(shè)計(jì)這樣的結(jié)構(gòu)化題組：①0.5、0.05、0.005 這三個(gè)小數(shù)分別表示什么意義？為什么都有“5”，但表示的意義卻不一樣？②0.5、0.50、0.500 分別表示什么意義？這三個(gè)小數(shù)都占了整個(gè)正方形的一半，為什么表示的意義不一樣？③比較0.05 和0.50、0.005 和0.500，每組的兩個(gè)小數(shù)之間有什么相同的地方和不同的地方？通過(guò)多維度的結(jié)構(gòu)化辨析，使學(xué)生對(duì)小數(shù)意義的數(shù)學(xué)本質(zhì)有一定的結(jié)構(gòu)化理解。

三、模塊結(jié)構(gòu)“深化”階段，設(shè)計(jì)“變式性”題組結(jié)構(gòu)練習(xí)

學(xué)生在鞏固階段的訓(xùn)練，是以基礎(chǔ)性和模仿性為主，其目的是把新知的模塊結(jié)構(gòu)牢固地建立起來(lái)。但學(xué)習(xí)并沒有結(jié)束，還需要經(jīng)過(guò)一個(gè)深化階段才能靈活地解釋和應(yīng)用模塊知識(shí)，并使技能向技巧發(fā)展。精心設(shè)計(jì)“變式性”題組結(jié)構(gòu)練習(xí)讓學(xué)生在課堂上當(dāng)堂鞏固，就可以通過(guò)少而精的結(jié)構(gòu)化求聯(lián)訓(xùn)練獲得深刻而靈活的理解與掌握，進(jìn)而減輕練習(xí)負(fù)擔(dān)?！白兪叫浴鳖}組結(jié)構(gòu)練習(xí)是指圍繞新知模塊結(jié)構(gòu)，變化呈現(xiàn)形式和應(yīng)用角度來(lái)設(shè)計(jì)一組具有內(nèi)在結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的練習(xí)題，目的是訓(xùn)練學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行靈活變通的能力。

設(shè)計(jì)“變式性”題組結(jié)構(gòu)練習(xí)可采取同模變題、逆向編題、舉一反三等策略。

例如，前面提到的《商不變規(guī)律》一課，在深化階段可為學(xué)生設(shè)計(jì)以下“變式性”題組練習(xí)，幫助學(xué)生深入認(rèn)識(shí)“商不變”的模塊結(jié)構(gòu)：判斷對(duì)錯(cuò)，①35÷7=（35÷3）÷（7÷3）；②18÷6=（18+18）÷（6+6）；③24÷8=（24-12）÷（8-4）；④12×6=（12÷2）×（6÷2）。運(yùn)用結(jié)構(gòu)化題組讓學(xué)生展開辯論，獲得深度認(rèn)識(shí)：第①題使學(xué)生明白，只要條件具備了就要堅(jiān)信商不變，至于計(jì)算中有余數(shù)等以后學(xué)了分?jǐn)?shù)就能解決了；第②題和第③題讓學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，前面探究時(shí)得出的結(jié)論是“同時(shí)加上或減去相同的數(shù)商會(huì)變”，但這兩題是“加上和自己相同的數(shù)或減去自己的一半”，其實(shí)質(zhì)是同時(shí)乘2 或同時(shí)除以2，所以商是不變的；第④題是讓學(xué)生防止上當(dāng)，要看清適用的對(duì)象是除法中的商不變而不是積不變。總之，各個(gè)題目不管形式怎樣變化，其訓(xùn)練的模塊結(jié)構(gòu)本質(zhì)是相同的（同模變題）。

又如，學(xué)習(xí)《小數(shù)乘法》一課，其模塊結(jié)構(gòu)是：先按整數(shù)乘法去乘，積的小數(shù)位數(shù)等于所有乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)之和。圍繞該模塊結(jié)構(gòu)，在學(xué)生進(jìn)行了基礎(chǔ)性的順向鞏固之后，可采用逆向編題的策略設(shè)計(jì)“變式性”題組：已知3.2×5.4=17.28，在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，①3.2×（）=172.8；②0.32×（）=0.1728；③（）×5.4=1.728；④（）×0.054=17.28；⑤（）×（）=0.01728。通過(guò)該題組的結(jié)構(gòu)化訓(xùn)練，深化認(rèn)識(shí)小數(shù)乘法的算法，并發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力。

四、模塊結(jié)構(gòu)“拓展”階段，設(shè)計(jì)“延伸性”題組結(jié)構(gòu)練習(xí)

當(dāng)某一模塊的知識(shí)經(jīng)過(guò)了基礎(chǔ)性練習(xí)和變式性練習(xí)得到鞏固與深化后，根據(jù)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的思想，最后還有一個(gè)結(jié)構(gòu)拓展環(huán)節(jié)，主要是將該模塊結(jié)構(gòu)拓展延伸到新情境中應(yīng)用，擴(kuò)大使用對(duì)象，并將結(jié)構(gòu)相同的不同對(duì)象之間進(jìn)行溝通歸總，使學(xué)生領(lǐng)悟內(nèi)在相通性，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)性類推遷移，最終形成結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。該階段主要為學(xué)生設(shè)計(jì)“延伸性”題組結(jié)構(gòu)練習(xí)，通過(guò)練一組題通一類題，發(fā)現(xiàn)題目之間的本質(zhì)聯(lián)系，找到其中的通性通法，進(jìn)而將學(xué)生引向高階思維與深度學(xué)習(xí)之中。“延伸性”題組結(jié)構(gòu)練習(xí)可采取一題多延、一模拓用、求聯(lián)歸總等策略進(jìn)行設(shè)計(jì)與應(yīng)用。

例如，學(xué)習(xí)“解決比一個(gè)數(shù)多百分之幾的問(wèn)題”，當(dāng)學(xué)生對(duì)基本模型結(jié)構(gòu)已掌握之后，可在拓展練習(xí)階段為學(xué)生設(shè)計(jì)以下的“延伸性題組”進(jìn)行結(jié)構(gòu)化辨析：①立新煤礦二月份挖煤60 萬(wàn)噸，三月份挖煤75 萬(wàn)噸，三月份比二月份多挖百分之幾？算式為“（75-60）÷60”；②立新煤礦三月份挖煤75 萬(wàn)噸，比二月份多挖15 萬(wàn)噸，三月份比二月份多挖百分之幾？算式為“15÷（75-15）”；③立新煤礦三月份挖煤75 萬(wàn)噸，比二月份多挖15 萬(wàn)噸，二月份比三月份少挖百分之幾？算式為“15÷75”；④立新煤礦二月份挖煤60 萬(wàn)噸，比三月份少挖15 萬(wàn)噸，二月份比三月份少挖百分之幾？算式為“15÷（60+15）”。解題之后，讓學(xué)生將①和②進(jìn)行對(duì)比辨析：發(fā)現(xiàn)模型結(jié)構(gòu)并沒有變，都是“多挖的數(shù)量÷二月份的數(shù)量=多挖了百分之幾”，只是已知條件發(fā)生了變化。接著將②和③進(jìn)行對(duì)比辨析：發(fā)現(xiàn)已知條件都相同，但所求問(wèn)題發(fā)生了變化，其模型結(jié)構(gòu)拓展成了“少挖的數(shù)量÷三月份的數(shù)量=少挖了百分之幾”。最后將③和④進(jìn)行對(duì)比辨析：發(fā)現(xiàn)所求問(wèn)題沒有變，也就是模型結(jié)構(gòu)沒有變，但已知條件發(fā)生了變化。通過(guò)一題多延并進(jìn)行了三次結(jié)構(gòu)化辨析后，讓學(xué)生進(jìn)行歸總溝通，上升到共同本質(zhì)高度來(lái)認(rèn)識(shí)，發(fā)現(xiàn)這組題不管怎樣變，其本源結(jié)構(gòu)是相同的。

又如，學(xué)習(xí)《長(zhǎng)方體和正方體的體積》一課，當(dāng)學(xué)生已經(jīng)比較熟練地掌握并應(yīng)用了“長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高”和“正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)”后，可在拓展練習(xí)環(huán)節(jié)帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行求聯(lián)歸總，探索出“長(zhǎng)方體和正方體的體積=底面積×高”，并通過(guò)課件動(dòng)態(tài)演示來(lái)體驗(yàn)“底面累加升高形成長(zhǎng)方體或正方體”的過(guò)程。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行同結(jié)構(gòu)類推遷移，為學(xué)生設(shè)計(jì)以下“延伸性題組”進(jìn)行結(jié)構(gòu)化練習(xí)：已知各個(gè)立體圖形的底面積（長(zhǎng)方形、正方形、三角形、梯形、五邊形、六邊形的面積）和各自的高，計(jì)算它們的體積。通過(guò)練習(xí)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)所有的直柱體都有共同的本質(zhì)：就是“底面累加升高形成直柱體”，因此都可以用“底面積×高”來(lái)計(jì)算體積，最終建立起了直柱體體積計(jì)算的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

上述四個(gè)階段是一個(gè)有機(jī)整體，它們共同促進(jìn)數(shù)學(xué)新知結(jié)構(gòu)的順利形成與完善。

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化練習(xí)是結(jié)構(gòu)化教學(xué)思想在練習(xí)環(huán)節(jié)的應(yīng)用，它以共同的模塊本質(zhì)結(jié)構(gòu)為統(tǒng)領(lǐng)，以題組結(jié)構(gòu)練習(xí)為手段進(jìn)行結(jié)構(gòu)化鞏固與升華，為學(xué)生開展數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)提供了練習(xí)保障，為走出題海戰(zhàn)術(shù)指明了一條道路。