［摘 ?要］ 當(dāng)今的數(shù)學(xué)教育注重學(xué)生在課堂中的主體地位，強調(diào)學(xué)生主觀能動性的調(diào)動與發(fā)揮，以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)為宗旨. 這就需要教師通過切實有效的措施，將啟發(fā)式教學(xué)應(yīng)用到教學(xué)的方方面面. 文章以“函數(shù)零點”的復(fù)習(xí)教學(xué)為例，從“提取信息，暴露問題”“引發(fā)質(zhì)疑，重新建構(gòu)”“綜合應(yīng)用，強化理解”“加強反思，總結(jié)提升”等方面，具體談?wù)剢l(fā)式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的實施.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)；啟發(fā)式教學(xué)；思維；互動

作者簡介：張文妍（1993—），本科學(xué)歷，中學(xué)二級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，采用不同的教學(xué)方式，可以獲得不同的教學(xué)效果. 這就意味著教學(xué)方式對學(xué)生的學(xué)習(xí)起著重要的影響作用，而站在教師的角度去精心選擇并優(yōu)化教學(xué)方式，也就成了一個重要的任務(wù). 復(fù)習(xí)是教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，復(fù)習(xí)起著幫助學(xué)生整合數(shù)學(xué)學(xué)科知識、促進學(xué)生知識建構(gòu)的作用，選擇與復(fù)習(xí)相匹配的教學(xué)方式，對學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的影響更加明顯. 在諸多教學(xué)方式當(dāng)中，啟發(fā)式教學(xué)由于能夠促進學(xué)生的思維發(fā)展、能夠促進學(xué)生有效建構(gòu)知識體系，故其有更好的幫助學(xué)生復(fù)習(xí)的作用. 當(dāng)然，作為一種優(yōu)秀的教學(xué)方式，其作用能否在復(fù)習(xí)的過程中充分發(fā)揮出來，還取決于教師對啟發(fā)式教學(xué)的理解與實踐.

啟發(fā)式教學(xué)是指教師根據(jù)教學(xué)目標與學(xué)情，綜合應(yīng)用各種教學(xué)手段，啟發(fā)學(xué)生思考，建構(gòu)認知體系的過程. 這不僅是一種教學(xué)方法，還是一種教學(xué)原則、思想與觀念［1］.

理解啟發(fā)式教學(xué)，先要理解何為啟發(fā). “啟發(fā)”這個教育思想可追溯到孔子的“不憤不啟，不悱不發(fā)”之說，也就是要在學(xué)生積極、努力思考后再去啟發(fā)他. 學(xué)生若不思則不啟，而學(xué)生的思尚未達到“憤”的程度也不啟. 無獨有偶的是，不僅中國的傳統(tǒng)教育強調(diào)啟發(fā)的作用，西方的教育對啟發(fā)也高度重視，尤其是西方發(fā)達國家，常常通過探究式教學(xué)來幫助學(xué)生建構(gòu)知識，實際上這一教學(xué)方式當(dāng)中的啟發(fā)意味就非常濃郁，不少人認為探究式教學(xué)的基礎(chǔ)就是啟發(fā)式教學(xué).在具體實施的時候，教師的首要任務(wù)就是去啟發(fā)學(xué)生，去激活學(xué)生思維，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)的過程當(dāng)中，能夠有效整合已經(jīng)學(xué)過的知識，并且有新的發(fā)現(xiàn). 具體一點說，高中數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)，在學(xué)生思維的困惑處運用啟發(fā)式教學(xué)，能為學(xué)生的思維指明方向，幫助學(xué)生突破思維障礙，達到鞏固、提升的效果. 尤其是高三復(fù)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)建立基本的知識架構(gòu)，掌握了常用的知識技能和思想方法，解題時擁有自己獨特的見解與想法，在學(xué)生思維的瓶頸處加以啟發(fā)，可點亮學(xué)生的感悟思維，讓學(xué)生在總結(jié)、反思中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

提取信息，暴露問題

復(fù)習(xí)是對記憶中的信息進行提取、加工與應(yīng)用的過程. 信息提取主要是對之前學(xué)過的概念、定理、法則、數(shù)學(xué)思想方法或公式等信息的回憶過程. 此環(huán)節(jié)中，教師要充分調(diào)動學(xué)生的積極性，讓學(xué)生展現(xiàn)出主人翁意識，鼓勵學(xué)生采取分類線索或任務(wù)等方式主動提取信息，并積極表述. 教師在學(xué)生的表述過程中，發(fā)現(xiàn)思維的薄弱點，從而有針對性地進行啟發(fā)、引導(dǎo)，以達到重點明確的復(fù)習(xí)效果. 可以說，提取信息就是啟發(fā)式教學(xué)運用的基礎(chǔ)，信息提取得越成功，學(xué)生思維加工的載體就越豐富，學(xué)生就越容易發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念或規(guī)律之間的關(guān)系. 當(dāng)然，這一連續(xù)發(fā)現(xiàn)的過程離不開教師的“啟”，而考驗教師復(fù)習(xí)智慧的，也正是這個“啟”. 教師通過適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，幫助學(xué)生掃除知識理解中的障礙，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念或規(guī)律之間的關(guān)系. 尤其在具體解題的時候，能夠讓學(xué)生認識到看似沒有關(guān)系的數(shù)學(xué)概念或規(guī)律，卻可以在同一個問題解決的過程中得以運用，這就可以幫助學(xué)生有所發(fā)現(xiàn).

函數(shù)零點的定義是學(xué)生熟悉的，想要發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的弱點，就要與學(xué)生積極地互動交流，讓學(xué)生在交流的過程中呈現(xiàn)問題. 本節(jié)課中，筆者進行了以下幾個教學(xué)環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)1：在概念回顧中暴露認知偏差

師：請大家說說你們對函數(shù)零點是怎么理解的.

在此交流環(huán)節(jié)中，關(guān)鍵要點明“函數(shù)零點”并不是“點”，而是一個“解”. 從代數(shù)的角度來看，學(xué)生的理解基本沒有問題，那么相對應(yīng)的幾何理解又是怎樣的呢？大部分學(xué)生能回憶到函數(shù)f（x）與x軸相交點的橫坐標. 教師可在此處強調(diào)，代數(shù)與幾何相通的思想，即f（x）=0相對應(yīng)的自變量x→代數(shù)方程，f（x）和x軸相交點的橫坐標→幾何圖象. 厘清這兩者間的辯證關(guān)系后，接下來可從代數(shù)與幾何兩種思維的角度展開復(fù)習(xí).

環(huán)節(jié)2：在解題中暴露認知偏差

例1 函數(shù)f（x）=lnx－的零點大致在區(qū)間（ ?）

A. （2，3） B. （1，2）

C. （3，4） D. （4，5）

師：面對此題，你們首先想到的是什么？

大部分學(xué)生表示自己首先想到的是求導(dǎo). 通過交流發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的想法與筆者原本的預(yù)設(shè)有所差別. 若遇到這種情況，教師先要穩(wěn)住陣腳，切不可簡單、粗暴地否定學(xué)生的想法，或直接呈現(xiàn)正確的解題方法. 這些是典型的越俎代庖、喧賓奪主的教學(xué)行為，會抑制學(xué)生的思維發(fā)展.

作為一名優(yōu)秀的教師，應(yīng)先思考學(xué)生產(chǎn)生偏差想法的原因，然后利用反問、追問、提示、轉(zhuǎn)問等手段啟發(fā)學(xué)生思維，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題的根源，從而提煉出正確答案. 如針對例1提問：“求導(dǎo)的目的是什么？”讓學(xué)生將自己的想法呈現(xiàn)出來.

學(xué)生之所以會出現(xiàn)認知偏差，主要原因是學(xué)生的解題經(jīng)驗不足，以及對知識的理解不夠深刻，在提取信息時出現(xiàn)模糊不清、定位偏差等現(xiàn)象. 通過啟發(fā)式教學(xué)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于零點的存在是知道的，只是沒有達到靈活應(yīng)用的程度. 啟發(fā)式教學(xué)可讓學(xué)生盡可能地自主表達、提取信息、修正信息，達到梳理并完善認知結(jié)構(gòu)的目的.

引發(fā)質(zhì)疑，重新建構(gòu)

復(fù)習(xí)不僅要完善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，還要實現(xiàn)知識體系的重新建構(gòu). 其目的在于讓學(xué)生自主梳理對知識的理解，形成有序、條理清晰、立體以及高效的認知體系，為新的數(shù)學(xué)圖式結(jié)構(gòu)的形成夯實基礎(chǔ)，此過程離不開教師的啟發(fā)與引導(dǎo). 大量的教學(xué)經(jīng)驗表明，要讓學(xué)生在復(fù)習(xí)的過程中有效整合并建構(gòu)知識體系，最強的動力來自學(xué)生質(zhì)疑. 學(xué)生質(zhì)疑意味著學(xué)生有了疑問，而疑問可以打破原有的認知平衡. 當(dāng)學(xué)生的認知平衡被打破后，學(xué)生也就容易形成整合知識的動力，這意味著知識體系的重新建構(gòu)有了更大的可能，學(xué)生在質(zhì)疑中獲得靈活處理問題的能力將會大大增強. 從這個角度來看，啟發(fā)式教學(xué)要想得以有效運用，引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑很重要. 可以說質(zhì)疑就是啟發(fā)式教學(xué)的內(nèi)在動力. 當(dāng)然，引發(fā)質(zhì)疑也是有技巧的，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)引發(fā)質(zhì)疑，通常能夠起到較好的復(fù)習(xí)效果.

環(huán)節(jié)3：互動中引發(fā)質(zhì)疑

筆者針對以上環(huán)節(jié)，追問學(xué)生對于函數(shù)零點存在性定理的認識. 學(xué)生提出了“單調(diào)”“一正一負”的理解. 此時，學(xué)生在理解上的偏差就暴露出來了.

師：從大家的理解來看，只需要曲線連續(xù)，一正一負中間就必定存在零點，若帶上“單調(diào)”呢？

生眾：那就是唯一零點了.

師：是否唯一零點就必須是單調(diào)的？

生1：這不一定，比如某二次函數(shù)的頂點位置恰好在x軸上，其零點就只有一個.

通過簡短的互動交流，筆者成功地引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑，使學(xué)生重新梳理了知識脈絡(luò)，對自己原有的知識體系重新進行了建構(gòu). 在此過程中，學(xué)生通過函數(shù)圖象模型的應(yīng)用與類比不僅有效完善了認知結(jié)構(gòu)，還帶動了同伴思考.

若想強化學(xué)生對“零點唯一性”的辨析，幫助那些思維仍逗留在函數(shù)單調(diào)性層面的學(xué)生重新建構(gòu)知識體系，教師還可以增加如下環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)4：從多方位的互動中重新建構(gòu)知識體系

例2 已知函數(shù)f（x）=x2－2x+a（ex-1+e1-x）存在唯一的零點，求a的值.

生2：解決此題應(yīng)該從單調(diào)性的角度出發(fā).

生3：我不這么認為，若將“x－1”視為整體，則可以得到一個關(guān)于x=1對稱的函數(shù)，既然為對稱的關(guān)系，那么零點必然也是成對出現(xiàn)，除非在對稱軸處恰好是單個.

師：這么理解的話，本題是從對稱性的角度來判斷了？唯一性的本質(zhì)與對稱性相關(guān)嗎？

生2：我還是覺得從單調(diào)性的角度來分析比較合理，若a>0，當(dāng)x<1時，f（x）遞減，當(dāng)x>1時，f（x）遞增，先減后增，通過畫圖即可一目了然，若只有一個零點，唯最小值為0時.

師：零點的唯一性到底和誰有關(guān)系呢？

生4：不僅與單調(diào)性相關(guān)，還與最值、圖象位置相關(guān).

變式例題的應(yīng)用，有效促進了學(xué)生多方位互動交流，在自主質(zhì)疑、分析、推斷、辨析中實現(xiàn)了知識體系的重新建構(gòu).

綜合應(yīng)用，強化理解

知識的綜合應(yīng)用是對知識、技能、數(shù)學(xué)思想方法的綜合遷移，需要學(xué)生從認知結(jié)構(gòu)中選擇、提取、加工信息，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型. 學(xué)生常通過分類、探究、聯(lián)想等方式，提高應(yīng)用能力［2］.

環(huán)節(jié)5：多角度互動中實現(xiàn)生成

例3 函數(shù)f（x）=x－a·ex（a∈R），有且僅有一個零點，則a的取值范圍是什么？

生5：對原函數(shù)求導(dǎo)，得f′（x）=1－a·ex. 當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，有且僅有一個零點；當(dāng)a&gt;0時，函數(shù)f（x）的最大值為0，也就是fln=0，解得a=.

師：能區(qū)分這兩類零點嗎？

生6：可稱為單調(diào)零點與最值零點.

……

因?qū)W生的思維方式存在一定的差異，可將偏向代數(shù)或幾何的觀點結(jié)合起來進行辨析，以提高學(xué)生對知識的實際應(yīng)用能力.

加強反思，總結(jié)提升

及時反思是復(fù)習(xí)課的重要環(huán)節(jié)之一. 反思時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生站到命題者的角度去俯瞰試題的結(jié)構(gòu)，以揭開試題的神秘面紗. 同時，試題的講評應(yīng)適可而止，只有落于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的引導(dǎo)，才更具啟發(fā)意義. 反思環(huán)節(jié)，應(yīng)注重從特殊到一般的橫向推廣與類比，并深入問題的本質(zhì)進行縱向延伸，為形成良好的反思能力奠定基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)6：在反思中再次探索

經(jīng)過以上探索過程，學(xué)生對函數(shù)的單調(diào)性、實根分布、圖象以及參數(shù)分離等都有了更深層次的認識，且能完整地解讀出零點與無零點的圖象特征及分類情況，學(xué)生充分感受到參變分離的優(yōu)勢. 為強化學(xué)生認知，筆者又增加了一個反思應(yīng)用，供學(xué)生思考.

例4 已知函數(shù)f（x）=sin2+sinωx－（ω>0），x∈R. 如果f（x）于區(qū)間（π，2π）上無零點，求ω的取值范圍.

學(xué)生經(jīng)過探索，認為解決本題的關(guān)鍵思路為：不論函數(shù)是否單調(diào)，只要曲線是連續(xù)的，保證值域同號即可解決本題，解題時要結(jié)合圖象進行判斷.

至此，本節(jié)課趨于尾聲. 下課前，筆者讓學(xué)生做一個知識結(jié)構(gòu)整理，以思維導(dǎo)圖的方式呈現(xiàn)出來. 這是幫助學(xué)生完善認知結(jié)構(gòu)的重要手段. 學(xué)生通過知識梳理，形成了一個完整的知識架構(gòu)（見圖1）.

結(jié)構(gòu)圖可作為課堂小結(jié)，也可用于復(fù)習(xí)課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，以填空的形式啟發(fā)學(xué)生提取信息. 學(xué)生完善結(jié)構(gòu)圖的過程就是梳理知識結(jié)構(gòu)、清晰思維的過程.

總之，啟發(fā)式教學(xué)在高中復(fù)習(xí)課中的應(yīng)用十分廣泛，啟發(fā)過程中的互動尤為關(guān)鍵. 互動交流過程就是處理師生、生生與復(fù)習(xí)內(nèi)容之間關(guān)系的過程. 學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，積極思考，將復(fù)習(xí)落到實處. 當(dāng)學(xué)生能用自己的方式，從不同角度來表達對問題的看法時，就實現(xiàn)了理解與創(chuàng)新的過渡.

參考文獻：

［1］ 孫幸榮. 淺談啟發(fā)式教學(xué)實施途徑及幾個誤區(qū)［J］. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究（教研版），2009（09）：14-15.

［2］ 邱云. “四維”反思 提升高考復(fù)習(xí)實效——講評一道試題有感［J］. 中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2017（11）：6-9.