任韶山

［摘 要］文章以“直線與圓的位置關(guān)系”的復(fù)習(xí)課為例，探討指向夯實基礎(chǔ)、思維進階、直指本質(zhì)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)路徑，以幫助學(xué)生夯實基礎(chǔ)，促進學(xué)生思維進階，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］直線；圓；位置關(guān)系；復(fù)習(xí)課

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ? ? ［文獻標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）36-0087-03

一堂優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)讓學(xué)生通過溫習(xí)知識、回顧知識，建立知識之間的邏輯聯(lián)系，促進學(xué)生思維進階，同時掌握新方法，不斷積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，從而實現(xiàn)講一題得一法、會一類通一片的教學(xué)效果。本文以“直線與圓的位置關(guān)系”的復(fù)習(xí)課為例進行分析探討。

一、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)目標(biāo)

“圓”這一章包含了圓的認識、與圓有關(guān)的位置關(guān)系、圓中的計算問題及正多邊形和圓等知識內(nèi)容，而“直線與圓的位置關(guān)系”是“與圓有關(guān)的位置關(guān)系”的重要內(nèi)容。這部分內(nèi)容反映了圖形的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系之間的一一對應(yīng)關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。同時，這部分內(nèi)容還可與相似三角形、全等三角形等知識綜合。因此，該內(nèi)容一直是各省市中考命題的熱點。基于此，教師在組織這部分知識的復(fù)習(xí)時，既要讓學(xué)生理解和應(yīng)用一些重要結(jié)論，又要讓學(xué)生了解其中的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

教學(xué)目標(biāo)：（1）了解直線與圓有相離、相切與相交三種位置關(guān)系，理解并掌握圓的切線證明方法；（2）掌握處理“直線與圓的位置關(guān)系”這類問題的基本思路，重點關(guān)注切線的性質(zhì)定理、切線的判定定理、垂徑定理與切線長定理四個定理；（3）明白復(fù)雜問題實際就是簡單問題的組合，學(xué)會將復(fù)雜的問題分解為幾個簡單的問題。

二、教學(xué)過程

以一次模擬考試的一道試題為線索，設(shè)計關(guān)于“直線與圓的位置關(guān)系”的復(fù)習(xí)課，幫助學(xué)生回憶知識，運用學(xué)習(xí)經(jīng)驗解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生解決此類問題的方法路徑，促進學(xué)生的思維進階。

這是一道考查直線與圓的位置關(guān)系的試題。學(xué)生需要運用圓的切線的判定定理來判定直線[CD]是否是圓的切線；運用垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論證明四邊形[DEFC]是矩形；運用直角三角形的性質(zhì)求角度和邊長；利用平行線間同底等高的三角形面積相等轉(zhuǎn)化圖形面積；利用扇形面積公式求陰影部分的面積。該題考查了圓的重要定理及直角三角形的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想，考查了學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力。而把一個復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為幾個簡單的問題，把一個陌生的問題轉(zhuǎn)化為一個熟悉的問題，是解決問題的關(guān)鍵。

（一）回憶舊知，導(dǎo)入試題

教師指導(dǎo)學(xué)生解決直線與圓的位置關(guān)系問題時，不能急于解決最終的問題，而是要回歸直線與圓的關(guān)系的本原問題，讓學(xué)生通過討論和回憶喚醒對知識的記憶。

【問題1】直線[l]與圓[O]可能存在哪幾種位置關(guān)系？如何用數(shù)量關(guān)系予以表達？

在學(xué)生理解利用圓心到直線的距離與圓半徑的關(guān)系可以確定直線與圓的位置關(guān)系后，筆者進行了追問。

追問1：在圖2中，當(dāng)直線[l]從下往上運動時，什么量發(fā)生了改變？什么量沒變？

學(xué)生2：圓心到直線[l]的距離[d]在改變，圓的半徑[r]沒變。

追問2：如何表示圓心[O]到直線[l]的距離呢？（教師指導(dǎo)學(xué)生過點[O]作直線[l]的垂線，垂線段[OA]就是圓心[O]到直線[l]的距離。）

追問3：當(dāng)直線[l]與圓[O]相切時，你還能得到什么結(jié)論呢？

學(xué)生3：垂線段[OA]是圓[O]的半徑。

追問4：如圖3，當(dāng)圓心[O]到直線[l]的距離[d]不變，圓的半徑不斷增大時，圓[O]與直線[l]有哪幾種位置關(guān)系？在此過程中變化的量是什么？不變的量是什么？

學(xué)生4：在圖3中，當(dāng)圓心[O]到直線[l]的距離不變，圓的半徑不斷擴大時，圓[O]與直線[l]仍有三種位置關(guān)系，即相離、相切、相交。在此過程中，圓心到直線[l]的距離[d]不變，圓的半徑r在不斷變化。

通過觀察圖形、動手畫圖，學(xué)生直觀感受到了直線與圓的三種位置關(guān)系及其對應(yīng)的三個數(shù)量關(guān)系，學(xué)會了逆向思考問題。

（二）厘清試題，理順?biāo)悸?/p>

【問題2】原題中的第（1）小題：判定直線[CD]與[⊙O]的位置關(guān)系，并說明理由。

教師：觀察圖1，你認為直線[CD]與圓[O]的位置關(guān)系可能是什么？為什么？

學(xué)生5：觀察圖1可知，直線[CD]與圓[O]的位置關(guān)系可能是相切，因為直線[CD]與圓[O]只有一個公共點。

學(xué)生6：我發(fā)現(xiàn)連接[OC]后，直線[CD]垂直于[OC]。

學(xué)生7：我發(fā)現(xiàn)圓心[O]到直線[CD]的距離等于圓[O]的半徑。

教師：上述三位同學(xué)各說了一種證明圓的切線的方法，分別是直線與圓的公共點個數(shù)為1個；直線[CD]垂直于圓的半徑[OC]；圓心[O]到直線[CD]的距離等于半徑。根據(jù)題意，哪一種方法比較適合呢？

學(xué)生8：應(yīng)該采用第二種方法，因為點[C]就是圓[O]上的一點，證明[CD⊥OC]即可。

教師：如何證明[CD⊥OC]呢？

學(xué)生認識事物的過程是螺旋上升的過程。在問題1的基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生解答原題的第（1）小題。在此過程中，學(xué)生提出了證明圓的切線的三種方法，雖然三種方法都可以說明一條直線是否是圓的切線，但是較為常用的還是切線的判定定理。而利用[d=r]證明圓的切線，只有不確定點[C]是否是圓上一點時才用，此時要過圓心作直線的垂線，然后證明[d=r]。

（三）延伸拓展，深度學(xué)習(xí)

【問題3】原題中的第（2）小題：①求證：四邊形[DEFC]是矩形；②求圖中陰影部分的面積。

教師：判定一個四邊形是矩形的方法有哪些？

學(xué)生10：一個角是直角的平行四邊是矩形；三個角是直角的四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形。

教師：根據(jù)本題的情況，這里應(yīng)采用哪種方法來判定四邊形[DEFC]是矩形呢？為什么？

學(xué)生11：應(yīng)根據(jù)“三個角是直角的四邊形是矩形”來判定。因為[EC=BC]，根據(jù)垂徑定理的推論“平分弧的直徑垂直平分弦”，得[OC⊥BE]，[BF=EF]，即[∠EFC=90°]；因為[AB]是[⊙O]的直徑，根據(jù)“直徑所對圓周角是直角”，得[∠AEB=90°]，即[∠FED=90°]，所以[∠FED=∠D=∠EFC=90°]，根據(jù)“有三個角是直角的四邊形是矩形”，得四邊形[DEFC]是矩形。

教師：圖1中的陰影部分是一個不規(guī)則圖形，欲求不規(guī)則圖形的面積，該如何轉(zhuǎn)化？

學(xué)生12：求不規(guī)則圖形的面積需要轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積，可通過割補的方法將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和或差，或者通過等積轉(zhuǎn)化的方法轉(zhuǎn)化為另一個規(guī)則圖形的面積。

教師：圖1中的陰影部分面積該如何轉(zhuǎn)化？

學(xué)生13：陰影部分的面積=直角三角形[ADC]的面積-由線段[AE]、[AC]、弧[EC]圍成的圖形的面積。

教師：這個分解是正確的，但是由線段[AE]、AC、弧[EC]圍成的圖形也是不規(guī)則圖形，又該如何轉(zhuǎn)化呢？

學(xué)生14：連結(jié)[EC]，如果能證明[EC]平行于[AB]，那么由線段[AE]、[AC]、弧[EC]圍成的圖形的面積就能轉(zhuǎn)化為扇形[EOC]的面積。

經(jīng)過師生互動、生生互動，最終把問題轉(zhuǎn)化為“求證[EC]∥[AB]”。筆者先讓學(xué)生獨立思考，然后小組討論交流，最后小組派代表展示。

通過對上述三個問題由淺入深、由易到難地分析，引導(dǎo)學(xué)生對直線與圓的位置關(guān)系的知識進行了回顧，并將其與直角三角形、垂徑定理、圓周角定理、圓心角定理建立了聯(lián)系，幫助學(xué)生拓寬了分析問題的思路，推動了學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，促進了學(xué)生思維品質(zhì)的進階。

三、教學(xué)感悟

（一）夯實基礎(chǔ)，追求效率

中考復(fù)習(xí)教學(xué)，要使學(xué)生對基礎(chǔ)知識達到理解與掌握的要求。設(shè)置問題1的目的在于引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)直線與圓的三種位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系之間的對應(yīng)關(guān)系。學(xué)生通過分析在兩種不同情況下變化的量是什么、不變的量是什么，并找到表示圓心到直線的距離的線段，進而歸納出三種情況下直線與圓的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系之間的一一對應(yīng)關(guān)系，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)。如此，學(xué)生在解題時便能從記憶系統(tǒng)中檢索出有關(guān)信息，找到最佳解題路徑，優(yōu)化解題過程。

（二）喚醒思維，逐層進階

中考復(fù)習(xí)課不同于新授課，要讓學(xué)生參與到具體的問題解決中，促進學(xué)生思維進階。這就需要教師設(shè)計可以引發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生親身經(jīng)歷探索問題的過程，從而喚醒學(xué)生思維，使學(xué)生在逐層進階中增長數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。如問題3，在證明四邊形DEFC是矩形之前，讓學(xué)生回顧判定矩形的三種方法，思考根據(jù)題意應(yīng)該選擇哪種方法；在求不規(guī)則圖形的面積時，則讓學(xué)生先對如何轉(zhuǎn)化圖形面積進行了回顧與總結(jié)。

（三）變式轉(zhuǎn)化，直指本質(zhì)

變式教學(xué)是在本質(zhì)不變的基礎(chǔ)上變換問題，或變換條件，以促進學(xué)生換位思考問題，產(chǎn)生積極的聯(lián)想。高質(zhì)量的變式問題能夠拓寬學(xué)生思維路徑，在循序漸進中直達問題的本質(zhì)。如問題3可通過變式轉(zhuǎn)化為求證EC∥AB，直指求圖中陰影部分面積的本質(zhì)。在變式轉(zhuǎn)化中，學(xué)生的思維向深處不斷漫溯，拾級而上，有效實現(xiàn)了問題的解決。

總之，一堂好的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)夯實學(xué)生基礎(chǔ)，喚醒學(xué)生思維，促進學(xué)生思維進階，進而培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。這就需要教師洞察學(xué)情、深研教材，厘清知識之間的相互聯(lián)系，精心設(shè)計學(xué)習(xí)活動，讓數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課走向高效。

（責(zé)任編輯 羅 艷）