摘? 要：在新高考評價(jià)體系下，2022年高考數(shù)學(xué)全國卷與往年相比難度有明顯提升. 究其原因，主要是試題對學(xué)生的思維能力提出了較高的要求. 文章從深刻性、批判性、靈活性、敏捷性、系統(tǒng)性、創(chuàng)新性和邏輯性等思維品質(zhì)出發(fā)，對2022年全國新高考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行歸類分析，并給出高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考的六個(gè)方面的教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：思維品質(zhì)；高考數(shù)學(xué)；復(fù)習(xí)備考；教學(xué)建議

文獻(xiàn)［1］中指出：命題依托高考評價(jià)體系，聚焦關(guān)鍵能力考查，突出思維品質(zhì)和過程，加強(qiáng)情境化設(shè)計(jì)，增強(qiáng)題目的開放性，提高人才選拔質(zhì)量；高考注重考查思維過程，突出邏輯思維和推理能力，使內(nèi)在思考過程外顯，讓理解能力可顯可見、機(jī)械刷題失速失效. 由此可見，在新高考評價(jià)體系下，高考數(shù)學(xué)試題對學(xué)生的思維能力提出了更高的要求. 從2022年全國新高考數(shù)學(xué)試卷的試題分析及學(xué)生的得分情況來看，涉及思維能力和計(jì)算能力的試題較多，而學(xué)生在這兩個(gè)方面的能力又相對較弱，從而導(dǎo)致學(xué)生整體得分偏低.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）把數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理這兩個(gè)思維過程放在首要位置.《標(biāo)準(zhǔn)》在學(xué)業(yè)質(zhì)量內(nèi)容中明確了體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的四個(gè)方面：情境與問題；知識與技能；思維與表達(dá)；交流與反思. 其中也對思維給出了明確要求.

一、思維能力概述

人對外界的認(rèn)識分為兩個(gè)階段. 第一個(gè)階段是感性認(rèn)識階段，人們通過感覺、直覺和表象認(rèn)識事物的表面現(xiàn)象和外部聯(lián)系；第二個(gè)階段是理性認(rèn)識階段，人們通過概念、判斷和推理認(rèn)識事物的本質(zhì)屬性和內(nèi)部聯(lián)系. 第二個(gè)階段的認(rèn)知過程稱為思維，這個(gè)過程常借助語言、表象或動(dòng)作，實(shí)現(xiàn)對客觀事物的概括和間接認(rèn)識，是大腦一種復(fù)雜而高級的認(rèn)知活動(dòng).

《中國高考評價(jià)體系》（以下簡稱《體系》）將邏輯思維能力作為高中數(shù)學(xué)五項(xiàng)關(guān)鍵能力之一，主要考查學(xué)生對問題或資料進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括的能力，用演繹、歸納和類比進(jìn)行推理的能力，以及準(zhǔn)確、清晰、有條理地進(jìn)行表述的能力.

章建躍博士在《數(shù)學(xué)教育隨想錄·下卷》中指出：數(shù)學(xué)思維主要通過一個(gè)結(jié)構(gòu)、兩個(gè)方向、三類語言、四種形式體現(xiàn)出來. 具體而言，即數(shù)學(xué)地認(rèn)識事物的基本結(jié)構(gòu)為“定義概念—推導(dǎo)性質(zhì)—建立聯(lián)系—實(shí)踐應(yīng)用”；思維的兩個(gè)方向?yàn)闅w納和演繹；三類語言為文字語言、符號語言、圖形語言，在思維活動(dòng)中體現(xiàn)為三類語言的相互轉(zhuǎn)化；四種形式為：邏輯推理、代數(shù)運(yùn)算、幾何直觀、數(shù)形結(jié)合.

二、思維品質(zhì)的七個(gè)屬性

思維品質(zhì)的實(shí)質(zhì)是思維活動(dòng)的個(gè)性特征，是人們在思維活動(dòng)過程中智力或思維在不同方向上的特點(diǎn)及差異的集中反映，主要包括七個(gè)方面，分別為：深刻性、批判性、靈活性、敏捷性、系統(tǒng)性、創(chuàng)新性和邏輯性.

思維的深刻性，是指思維活動(dòng)的廣度、深度和難度. 它是一種透過現(xiàn)象看本質(zhì)，抓住事物實(shí)質(zhì)的思維品質(zhì)，表現(xiàn)為事物縱向發(fā)展的關(guān)聯(lián)性和延續(xù)性. 善于厘清事物的本質(zhì)，能揭示表面現(xiàn)象體現(xiàn)的原理方法和一般規(guī)律，善于分析抽象、概括歸納、預(yù)見事物的發(fā)展方向.

思維的批判性，是指思維活動(dòng)過程能獨(dú)立閱讀、分析及思考，獨(dú)立做出判斷與選擇，獨(dú)立發(fā)表觀點(diǎn)和見解，不輕信、不盲從、不人云亦云，做到思想開放、辯駁有理，又尊重他人，能做到在別人評價(jià)或自我評價(jià)中反思并做出有效修正.

思維的靈活性，是指能從多角度、多方面、多層次思考問題，且能用多種方法解決問題. 善于歸納、類比、聯(lián)想，能因地制宜、舉一反三，善于根據(jù)變化調(diào)整方案. 思維的靈活性也受制于個(gè)體思維已經(jīng)形成的思維定式. 例如，某一個(gè)體在日常生活中總是反復(fù)使用某種固定不變的方式處理問題，思維就會形成某種僵化與定型，這種經(jīng)驗(yàn)定型有助于解決較為膚淺的表面遷移問題，但當(dāng)問題的條件發(fā)生變化時(shí)，這種定型將阻礙思維靈活性的發(fā)揮.

思維的敏捷性，是指思維活動(dòng)過程的快速性和簡潔性，能果斷且迅速地做出正確的判斷. 其核心為“快”“準(zhǔn)”“狠”. 思維過程在理解數(shù)學(xué)問題的過程中，既有直覺的成分，又善于迅速抓住問題的實(shí)質(zhì)，巧妙地進(jìn)行恒等變換；在運(yùn)用公式、定理的過程中，善于對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行壓縮；在解決問題的過程中，思路清晰、化繁為簡、直擊要害. 在問題解決的效果上，善于減少不必要的中間環(huán)節(jié)，精簡數(shù)學(xué)推理過程和相關(guān)的運(yùn)算系統(tǒng).

思維的系統(tǒng)性，是指關(guān)聯(lián)地、整體地、系統(tǒng)地思考問題. 能清晰認(rèn)知、找出脈絡(luò)、歸納重點(diǎn)、細(xì)致關(guān)聯(lián)、整合信息，形成結(jié)構(gòu)系統(tǒng). 既能掌握零散內(nèi)容的各自功能，又能抽象、概括出內(nèi)容之間共同的組成要素，分析出這些要素之間的有效聯(lián)結(jié)，從而在鄰近的知識領(lǐng)域中推廣發(fā)散，形成知識網(wǎng)絡(luò)體系，拓展思維和認(rèn)知的空間.

思維的創(chuàng)新性，是指思維活動(dòng)能突破原有具體內(nèi)容的細(xì)節(jié)和固有模式的限制，能根據(jù)原有的表達(dá)產(chǎn)生新理解和新意圖，能按優(yōu)化后的與眾不同的新思路、新設(shè)計(jì)、新方法，產(chǎn)生獨(dú)特的新思想、新觀念，從而實(shí)現(xiàn)思維認(rèn)識過程的飛躍，達(dá)到或完成新的創(chuàng)造. 創(chuàng)造性思維具有突破性、獨(dú)創(chuàng)性、針對性、超前性、綜合性等特點(diǎn). 簡而言之，即獨(dú)辟蹊徑.

思維的邏輯性，是思維品質(zhì)的中心環(huán)節(jié)，是所有思維品質(zhì)的集中展示. 思維的邏輯性是指思維活動(dòng)過程能根據(jù)基本的邏輯形式，遵循嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬕?guī)則，按照正確的邏輯順序進(jìn)行. 無論是思維過程、形式和方法，還是解決問題的最終表達(dá)和交流，總能條理清晰、層次分明、一針見血，有根據(jù)地抓關(guān)鍵，前后連貫不跳躍，不自相矛盾，也不含糊不清.

三、2022年全國新高考數(shù)學(xué)試卷的分類及典型例題分析

根據(jù)思維品質(zhì)的七方面劃分，筆者對2022年全國新高考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行整理分類，具體情況如表1所示.

例1 （全國新高考Ⅱ卷·4）已知向量[a=3，4，][b=1，0，c=a+tb，] 若[a，c=b，c，] 則[t]的值為（? ? ）.

（A）-6 （B）-5 （C）5 （D）6

試題及解法分析：此題是平面向量問題，屬于基礎(chǔ)性試題，考查向量的基本概念、基本公式、向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量運(yùn)算的幾何意義. 若學(xué)生能根據(jù)向量加法的幾何意義，結(jié)合向量夾角相等的條件，得到加法滿足的平行四邊形為菱形這個(gè)結(jié)論，可大幅度縮減解題用時(shí)，提高解題效率.

【解題反思及教學(xué)啟示】此題是開放題，學(xué)生只需要在多個(gè)正確答案中選擇一個(gè)正確答案填入即可. 解答時(shí)需要學(xué)生獨(dú)立地分析、思考和判斷，然后做出最為快捷、高效的回答. 開放題的思維指向是批判性，要求學(xué)生能獨(dú)立分析、思考，獨(dú)立發(fā)表見解. 在教學(xué)中，應(yīng)該設(shè)計(jì)增加師生互動(dòng)的活動(dòng)環(huán)節(jié)，努力營造民主開放的討論氛圍，通過師生、生生之間的相互交流，促進(jìn)學(xué)生思維的橫向擴(kuò)散或水平流動(dòng).

四、學(xué)生思維中存在的問題

從日常學(xué)習(xí)和考試的答題情況來看，學(xué)生的思維能力主要存在以下五個(gè)方面的問題.

第一，學(xué)習(xí)無目標(biāo)，思維無韌性. 高中學(xué)校的調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，把學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)在班級前茅的初中生約占80%，而這一目標(biāo)在高中生中所占比例為45%；把學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)在班級中等的初中生約占17%，而這一目標(biāo)在高中生中所占比例為47%. 由此顯示，高中生在學(xué)習(xí)中降低了學(xué)習(xí)目標(biāo)值，也顯示出面對高中課程內(nèi)容和難度均增加的情況，很多學(xué)生失去了思維的韌性.

第二，學(xué)習(xí)缺乏思想方法，理解不深刻. 高中學(xué)校的調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，善于運(yùn)用實(shí)驗(yàn)和觀察方法的學(xué)生占比約為28%，善于運(yùn)用類比聯(lián)想的學(xué)生占比約為30%，這意味著還有相當(dāng)大一部分學(xué)生對知識概念的理解不夠深刻，仍未掌握突破思維限制、尋求有效解題途徑的思維方式.

第三，思維收斂、線性. 約50%的高中生在解題中經(jīng)常出現(xiàn)思路中斷的情況. 面對思路中斷，學(xué)生沒有攻堅(jiān)克難的毅力，又?；谝?guī)定做題時(shí)間的考量翻閱參考答案然后摘抄思維受阻的那部分解答，以近乎“飲鴆止渴”的方式解決思路中斷的問題. 長此以往，形成收斂的、線性的思維.

第四，思維消極、惰性. 對于學(xué)習(xí)內(nèi)容，部分學(xué)生的態(tài)度是不考的內(nèi)容不學(xué)，上課只聽不想，練習(xí)只重結(jié)果不重過程. 尤其是面對難題時(shí)，約16%的學(xué)生選擇繼續(xù)獨(dú)立思考；約52%的學(xué)生選擇主動(dòng)向教師或其他學(xué)生尋求幫助；約12%的學(xué)生選擇被動(dòng)等待教師的課堂解答；約20%的學(xué)生選擇置之不理.

第五，思維定式、僵化. 從2022年全國新高考Ⅰ卷第17題的學(xué)生得分分布比例看，約22%的學(xué)生存在因思維定式而導(dǎo)致的審題出錯(cuò)的問題.

五、影響學(xué)生思維的因素分析

影響學(xué)生思維的因素是多方面的，以下六點(diǎn)尤為突出.

第一，核心概念的形成缺乏過程，例題的講解缺乏深度和廣度. 教師缺乏對教材內(nèi)容的本質(zhì)理解，課堂教學(xué)中匆忙趕進(jìn)度，缺少對重要內(nèi)容的深入挖掘，缺少對已知條件細(xì)致、全面的分析，缺少對典型例題的廣度發(fā)散.

第二，不強(qiáng)調(diào)思想方法. 習(xí)題課就題論題，不變式、不提升、不拓展、不歸納.

第三，課堂設(shè)計(jì)無互動(dòng)，學(xué)生不深度參與課堂.? “我講你記”的情況依然存在.

第四，重結(jié)論、輕過程. 由于部分題目運(yùn)用二級結(jié)論可迅速得出答案，學(xué)生就以偏概全地認(rèn)為只要多記二級結(jié)論就可以輕松拿分，從而導(dǎo)致生搬硬套、漏洞百出.

第五，大量布置低效作業(yè). 學(xué)生只顧奮筆疾書教師布置的各種作業(yè)，幾乎沒有獨(dú)立自主的思考空間，也沒有解題以后反思、歸納、總結(jié)的時(shí)間，導(dǎo)致學(xué)生只進(jìn)行了知識方法的重復(fù)訓(xùn)練，而沒有掌握解題技能.

第六，不構(gòu)建知識體系. 復(fù)習(xí)備考只重知識要素，而忽視了要素之間的有效連接.

六、高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考建議

文獻(xiàn)［5］中把高考數(shù)學(xué)學(xué)科的功能定位為：發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，以測試數(shù)學(xué)綜合能力、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，通過創(chuàng)新試卷結(jié)構(gòu)與試題形式更好地實(shí)現(xiàn)高考立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)的核心功能. 面對高考改革對高考命題的諸多調(diào)整，在高考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)備考中，筆者建議做到以下六個(gè)方面.

1. 以目標(biāo)為導(dǎo)向，做到知己知彼

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考應(yīng)該以目標(biāo)為導(dǎo)向，沒有目標(biāo)就失去了前進(jìn)的動(dòng)力和方向. 根據(jù)對象的不同，高考目標(biāo)也不同. 在國家層面，選拔人才是高考的重要目標(biāo)；在學(xué)校層面，根據(jù)學(xué)校實(shí)際情況，讓更多學(xué)生考上一所較好的大學(xué)是首要目標(biāo)；對學(xué)生個(gè)體來說，大部分學(xué)生的目標(biāo)是爭取考上一個(gè)自己理想的院校和心儀的專業(yè). 根據(jù)目標(biāo)的成績要求，再比對自己當(dāng)前的實(shí)力，分析出差距后就可以找到努力的方向. 因此，唯有做到知己知彼，方能擁有朝著明確目標(biāo)方向前進(jìn)的無限動(dòng)力.

2. 以整體的高度，做到系統(tǒng)謀劃

從年級數(shù)學(xué)備課組長的角度來說，必須提前做好高考復(fù)習(xí)教學(xué)的系統(tǒng)規(guī)劃. 根據(jù)數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，可以把復(fù)習(xí)教學(xué)系統(tǒng)劃分為復(fù)習(xí)整體設(shè)計(jì)、教學(xué)過程組織、練習(xí)測試安排三個(gè)部分，具體內(nèi)容如圖2所示. 對于每個(gè)環(huán)節(jié)的細(xì)化和具體內(nèi)容，則需要根據(jù)學(xué)校的實(shí)際情況，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)囊?guī)劃和安排.

從班級教師的角度來說，必須做好復(fù)習(xí)內(nèi)容知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)化梳理. 高中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容可劃分為：函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、立體幾何、解析幾何、概率統(tǒng)計(jì)、集合、簡易邏輯、復(fù)數(shù)、向量11個(gè)章節(jié)，各章節(jié)的知識要素和系統(tǒng)化可采取結(jié)構(gòu)圖或思維導(dǎo)圖等形式進(jìn)行梳理. 每位高三數(shù)學(xué)教師都應(yīng)該對每個(gè)章節(jié)內(nèi)容及其結(jié)構(gòu)了如指掌，胸有成竹方能在復(fù)習(xí)中突出重點(diǎn).

從學(xué)生角度來說，需要做到兩個(gè)方面的系統(tǒng)謀劃. 一是個(gè)人復(fù)習(xí)的系統(tǒng)計(jì)劃；二是考試答題的系統(tǒng)策略. 具體如圖3和圖4所示.

高考復(fù)習(xí)備考是一個(gè)系統(tǒng)工程，擁有整體大局觀念和系統(tǒng)性思維方能得到發(fā)展，以高屋建瓴的方式進(jìn)行復(fù)習(xí)，復(fù)習(xí)效果才能事半功倍.

3. 以教材為藍(lán)本，做到溫故知新

教材是教學(xué)之根本，脫離教材開展復(fù)習(xí)是舍本逐末的典型做法. 以教材為藍(lán)本展開復(fù)習(xí)，并不是要把教材全部內(nèi)容重復(fù)講解一遍，而是要在進(jìn)行每個(gè)章節(jié)內(nèi)容的復(fù)習(xí)之前都先重溫教材內(nèi)容，以復(fù)習(xí)課的視角再次審視教材內(nèi)容，對核心概念、定義、定理、公式的內(nèi)容及其形成過程進(jìn)行具有條理性和穿透性的理解，對例題和課后練習(xí)題展開更深層次、更多角度的思考和歸納，由此溫故而知新，提高思維的深刻性.

復(fù)習(xí)教材內(nèi)容時(shí)，需要特別關(guān)注《標(biāo)準(zhǔn)》中新增的內(nèi)容，高考作為教學(xué)改革的引領(lǐng)者，對新增內(nèi)容的考查是有所側(cè)重的.

4. 以思維為核心，做到獨(dú)立靈活

高中數(shù)學(xué)因思維的閃光而大放異彩. 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考應(yīng)該把學(xué)生思維能力的培養(yǎng)放在首要位置. 具體做法如下.

（1）實(shí)驗(yàn)觀察——猜想.

教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要有意識地安排學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象觀察、命題結(jié)論猜想、規(guī)律總結(jié)歸納的相關(guān)練習(xí)，促使學(xué)生逐漸形成根據(jù)問題條件進(jìn)行觀察和猜想的自覺操作，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生思維的深刻性和批判性. 例如，空間位置關(guān)系、數(shù)列、概率模型等內(nèi)容中有較多的載體可以做實(shí)驗(yàn)觀察的教學(xué)設(shè)計(jì)；立體幾何中的折疊問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，在教學(xué)中可以通過設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式，讓學(xué)生在動(dòng)手折疊的實(shí)驗(yàn)過程中觀察圖形從二維平面到三維空間的變化過程，理解空間點(diǎn)、線、面元素的位置、角度、長度等關(guān)系的變化，從而提高學(xué)生的空間想象能力.

（2）變形發(fā)散——設(shè)想.

在教學(xué)過程中，在分析核心概念的形成過程或切入典型問題的探究時(shí)，要進(jìn)行多方面、多層次、多角度的變化的、靈活的思考和理解，在條件的變形、增加、減少等假設(shè)下，以一題多變、多題歸一的方式培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的靈活性. 例如，最值相關(guān)問題和三角恒等變換等內(nèi)容對學(xué)生思維的靈活性要求較高.

（3）遷移類比——聯(lián)想.

聯(lián)想指一種從已經(jīng)掌握的原理和方法中得到啟發(fā)，通過不同對象間的遷移和類比，找到切入和解決新問題的思路和途徑，進(jìn)而得到類似問題的正確結(jié)論或解決同構(gòu)問題的有效方法. 這種遷移聯(lián)想通常是學(xué)生認(rèn)知的橫向發(fā)展和縱向升級過程. 例如，二維平面到三維空間、等式到不等式、等差數(shù)列到等比數(shù)列、向量與復(fù)數(shù)等內(nèi)容，都可以通過類比遷移進(jìn)行學(xué)習(xí)，以實(shí)現(xiàn)方法上可突破、體系上更完整、思維上有創(chuàng)新. 對于聯(lián)想類比過程中可能出現(xiàn)的負(fù)遷移問題，可以通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评斫o予糾正.

（4）數(shù)形結(jié)合——構(gòu)想.

數(shù)形結(jié)合是理解數(shù)學(xué)問題最直觀有效的方式. 教學(xué)過程中要時(shí)刻圍繞數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生從形的角度理解代數(shù)問題，或者從代數(shù)角度去看待幾何問題. 通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，能實(shí)現(xiàn)對學(xué)生思維深刻性、靈活性和敏捷性的有效培養(yǎng). 例如，研究方程、不等式時(shí)構(gòu)造函數(shù)并作出對應(yīng)圖象，研究直線與曲線位置關(guān)系時(shí)建立平面直角坐標(biāo)系并作出相應(yīng)圖形，研究空間位置關(guān)系時(shí)作出直觀圖、三視圖等.

（5）直覺頓悟——奇想.

數(shù)學(xué)直覺源自活躍的思維活動(dòng)，是由對數(shù)學(xué)研究對象的領(lǐng)悟和洞察而產(chǎn)生的一種不包含普通數(shù)理邏輯的直覺悟性，這種直覺常表現(xiàn)出思維的跳躍. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以從數(shù)字敏感、結(jié)構(gòu)感知、同構(gòu)表述等方面創(chuàng)設(shè)情境、誘發(fā)奇想、產(chǎn)生直覺. 例如，勾股數(shù)、單位圓方程、斜率公式、兩點(diǎn)間距離公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式、基本不等式等內(nèi)容都有相應(yīng)的數(shù)據(jù)特征和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，審題時(shí)可以觀察分析條件進(jìn)行特征匹配，由此培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性和敏捷性.

（6）民主交流——暢想.

設(shè)計(jì)課堂互動(dòng)與交流活動(dòng)是提高學(xué)生課堂教學(xué)參與度和教學(xué)效率的有效方式. 課堂上，師生、生生之間的相互交流可以促進(jìn)思維成果的橫向擴(kuò)散或水平流動(dòng). 在課堂教學(xué)中，教師設(shè)計(jì)交流活動(dòng)前期，學(xué)生不同的能力水平將導(dǎo)致學(xué)生的表述未必準(zhǔn)確、成熟，此時(shí)教師切忌輕率地否定學(xué)生的觀點(diǎn)，而是要以鼓勵(lì)的口吻充分肯定學(xué)生思維活動(dòng)中的合理部分，也鼓勵(lì)其他學(xué)生對此提出完善和補(bǔ)充的建議或不同的想法和做法，由此形成平等民主的交流討論氛圍，為學(xué)生思維深刻性、批判性和敏捷性的發(fā)展?fàn)I造良好的環(huán)境和土壤. 暢所欲言，方能碰撞出思維的火花.

5. 以綜合為載體，做到交叉滲透

在《體系》中，高考以測試學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力為目標(biāo)之一，對數(shù)學(xué)試題提出具有學(xué)科特點(diǎn)的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的“四翼”考查要求. 數(shù)學(xué)試題的綜合性強(qiáng)調(diào)的是知識間的交會融合，強(qiáng)調(diào)各分支內(nèi)容和學(xué)科之間的交叉滲透. 這種聯(lián)系可以是數(shù)學(xué)學(xué)科知識的內(nèi)部聯(lián)系，也可以是數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識間的緊密結(jié)合. 考查中要求學(xué)生能根據(jù)多個(gè)角度的內(nèi)容、系統(tǒng)的分析方法和綜合的思維視角，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題.

試題的綜合性常表現(xiàn)在知識的疊加、方法的滲透和工具的運(yùn)用三個(gè)方面. 對于單選類綜合題，復(fù)習(xí)備考中要注重強(qiáng)調(diào)多個(gè)知識的交叉滲透及多種方法的融會貫通（如求最值、參數(shù)范圍等）. 對于多選類綜合題，學(xué)生在學(xué)習(xí)中要建構(gòu)知識體系，通過一個(gè)共同的載體形成多類元素之間的有效連接，由此形成從點(diǎn)到面的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（如函數(shù)的性質(zhì)、圓錐曲線的性質(zhì)、空間幾何體的位置關(guān)系等）. 對于應(yīng)用類綜合題，要嘗試以系統(tǒng)的分析方法、轉(zhuǎn)化的歸類視角，同時(shí)運(yùn)用通性通法（工具）來解決問題（如向量法、導(dǎo)數(shù)法、坐標(biāo)法等）.

學(xué)生的思維唯有在深刻性、靈活性和系統(tǒng)性方面有穩(wěn)固的基礎(chǔ)，面對綜合性試題才能駕輕就熟.

6. 以規(guī)范為準(zhǔn)繩，做到清晰嚴(yán)密

面對高考，學(xué)生通過答卷展示其能力水平. 高考數(shù)學(xué)試卷中也明確了解答題的答題要求：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 因此，清晰、嚴(yán)密、規(guī)范的書寫表達(dá)能讓評卷者更迅速地給出客觀且合理的評判.

（1）計(jì)算求解類解答題.

此類解答題規(guī)范的答題過程一般要求有如下六個(gè)步驟：一是寫出解題所依據(jù)的定理或公式；二是把已知條件的數(shù)據(jù)代入公式中；三是對表達(dá)式進(jìn)行變形運(yùn)算和化簡；四是得出最簡的結(jié)果；五是對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，去偽存真；六是綜述并寫出最終結(jié)論.

但學(xué)生的解題過程往往只體現(xiàn)了步驟二、三、四，甚至只體現(xiàn)步驟二和步驟四. 根據(jù)高考的評卷要求，這種跳步表達(dá)將會丟失未書寫部分對應(yīng)的分值，這也就是平時(shí)常說的“對而不全”的典型問題.

（2）證明類解答題.

證明題重邏輯推理，規(guī)范的證明過程一般要按照演繹推理的三段論形式進(jìn)行表達(dá). 因此，要先寫出定理名稱（大前提），再逐一列舉出具體的條件（小前提），最后得出結(jié)論. 演繹三段論的推理過程是一個(gè)有機(jī)整體，缺少任何一步都會導(dǎo)致推理的邏輯失效. 沒有寫出大前提，會對證明過程產(chǎn)生堆積條件得出結(jié)論的誤解；未列舉小前提的全部條件，則可以認(rèn)為推理的條件不足；只列舉了條件而沒有寫出結(jié)論，則可以認(rèn)為未能掌握根據(jù)條件進(jìn)行有效判斷的方法.

三個(gè)步驟的問題中，又以小前提錯(cuò)誤最多，常見的是條件列舉不全. 例如，在線面垂直的判定定理中，學(xué)生常見的錯(cuò)誤是未列舉出線在平面內(nèi)和兩條直線相交的輔助條件，從而導(dǎo)致證明過程的規(guī)范性不足.

（3）填空題.

填空題屬于只需要寫出最終答案的題目，因?yàn)椴恍枰w現(xiàn)解題過程，所以最終答案必須結(jié)果準(zhǔn)確、形式最簡、書寫規(guī)范.

確保答案的準(zhǔn)確性是解答填空題的最基本要求. 準(zhǔn)確性問題一般會出現(xiàn)在計(jì)算和表達(dá)上. 例如，求直線方程時(shí)，若試題沒有對直線方程形式進(jìn)行要求，則寫出直線方程的任意形式都是準(zhǔn)確的；若試題指定求直線的一般式方程，那么寫出的結(jié)果是斜截式則不符合準(zhǔn)確性要求. 又如，如果求出的函數(shù)是分區(qū)間單調(diào)的，則不能用“∪”連接兩個(gè)區(qū)間. 此外，區(qū)間端點(diǎn)的開閉也是需要注意的問題.

在規(guī)范性要求上，一是要符合標(biāo)準(zhǔn). 例如，對數(shù)式的書寫需要注意底數(shù)符號書寫的大小和位置，學(xué)習(xí)對數(shù)運(yùn)算書寫符號時(shí)，讓學(xué)生清晰認(rèn)識到如圖5所示的這種“井”字型結(jié)構(gòu)，就不會出現(xiàn)底數(shù)與真數(shù)大小相同的不標(biāo)準(zhǔn)表達(dá). 二是要符合題意. 例如，要求定義域，則答案必須是區(qū)間的形式，不能是不等式的形式. 又如，若題目要求“以數(shù)字作答”，則答案必須是具體數(shù)字，不能是組合數(shù)或排列數(shù)形式. 三是不能自創(chuàng)符號. 填空題無解答過程，因此答案中不能出現(xiàn)自定義的符號，以免引起答案指代不清的問題. 例如，求拋物線的準(zhǔn)線，有的學(xué)生將答案寫成[l=-1，] 這就無法辨析這個(gè)符號的含義. 四是不能畫蛇添足. 例如，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，有的學(xué)生會給出[an=2n+1]這種不規(guī)范書寫.

作為學(xué)生，在平時(shí)的解題練習(xí)中，要接受標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范的約束；作為教師，則要以身作則掌握好規(guī)范的表達(dá)，這樣才能在課堂中做出標(biāo)準(zhǔn)的示范，樹立優(yōu)秀的榜樣，在講評中指出學(xué)生規(guī)范性的不足，在作業(yè)或練習(xí)的批改中給出學(xué)生解題規(guī)范性方面的優(yōu)化建議，進(jìn)而提高學(xué)生書寫表達(dá)的規(guī)范性.

無論是解答題，還是填空題，清晰的思路、嚴(yán)密的推理、規(guī)范的表達(dá)都充分體現(xiàn)了學(xué)生在解題過程中思維的敏捷性和邏輯性，以及對數(shù)學(xué)的深刻理解，這些都閃耀著學(xué)生思維的火花.

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考是一個(gè)系統(tǒng)工程，我們應(yīng)該盡力適應(yīng)新的要求，堅(jiān)韌不拔、迎難而上. 學(xué)生有信心、不惶恐，需要勇毅接受并面對各種難度試題的挑戰(zhàn)；教師態(tài)度不消極，認(rèn)清形勢、找準(zhǔn)方向，并不斷學(xué)習(xí)更新理念和方法；學(xué)校決策不糊涂，為學(xué)科教學(xué)的協(xié)同進(jìn)步做堅(jiān)強(qiáng)后盾和有力保障.

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作者簡介：廖偉君（1980— ），男，中學(xué)一級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.